Die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel

Es seien $\op{A}$ und $\op{B}$ beliebige Operatoren. Dann gilt

$$\exp(\op{A}) \op{B} \exp(-\op{A})=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \comm{\op{A}}{\op{B}}_{n} ,$$ (B.0.1)

wobei der ,,Multikommutator`` rekursiv durch

$$\comm{\op{A}}{\op{B}}_{0}=\op{B}, \quad \comm{\op{A}}{\op{B}}_{n}= \comm{\op{A}}{\comm{\op{A}}{\op{B}}_{n-1}}$$ (B.0.2)

definiert ist.

Zum Beweis betrachten wir die Funktion

$$\op{F}(z)=\exp(z \op{A}) \op{B} \exp(-z \op{A})$$ (B.0.3)

und entwickeln diese Funktion nach Potenzen von $z$ . Offenbar gilt

$$\op{F}'(z)=\op{A} \op{F}(z)-\op{F}(z){\op{A}}=\comm{\op{A}}{\op{F}(z)},$$ (B.0.4)

und weiter durch Iteration

$$\op{F}^{(n)}(z)=\comm{\op{A}}{\op{F}(z)}_{n}.$$ (B.0.5)

Die Potenzreihenentwicklung lautet wegen $\op{F}(0)=\op{B}$ also

$$\op{F}(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \comm{\op{A}}{\op{B}}_{n},$$ (B.0.6)

und für $z=1$ folgt die Behauptung. QED.

Als Anwendung der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel (BCHF) beweisen wir noch folgenden Satz:

Seien $\op{A}$ und $\op{B}$ Operatoren, für die

$$\comm{\op{A}}{\comm{\op{A}}{\op{B}}}=\comm{\comm{\op{A}}{\op{B}}}{\op{B}}=0$$ (B.0.7)

gilt, so ist

$$\exp(\op{A}+\op{B})=\exp{\op{A}} \exp{\op{B}} \exp \left(-\frac{1}{2} \comm{\op{A}}{\op{B}} \right ).$$ (B.0.8)

Zum Beweis wenden wir die BCHF (B.0.1) wie folgt an. Zunächst definieren wir

$$\op{F}(z)=\exp[z(\op{A}+\op{B})].$$ (B.0.9)

Wegen der Annahmen (B.0.7) bricht die BCHF bereits nach einem Term ab:

$$\begin{split}\op{F}(z) \op{A} \op{F}^{-1}(z)=\op{A}+z \comm{\... ...\op{F}(z) \op{B}-z \comm{\op{A}}{\op{B}} \op{F}(z). \end{split}$$ (B.0.10)

Ableiten nach von (B.0.9) nach $z$ liefert hingegen mit Hilfe dieser Gleichung

$$\op{F}(z)=\op{F}(\op{A}+\op{B})=\op{A} \op{F}(z) + \op{F}(z) \op{B}-z \comm{\op{A}}{\op{B}} \op{F}(z).$$ (B.0.11)

Offenbar wird diese Differentialgleichung durch

$$\op{F}(z)=\exp(z \op{A}) \exp(z \op{B}) \exp \left (-\frac{z^2}{2} \comm{\op{A}}{\op{B}} \right)$$ (B.0.12)

gelöst, und für $z=1$ folgt (B.0.8). QED.