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Das eindimensionale Gaußintegral

Wir beginnen mit der Berechnung des Integrals

$\displaystyle I=\int_{-\infty}^{\infty} \dd x \; \exp(-x^2).$ (A.1.1)

Es läßt sich mit folgendem Trick geschlossen auswerten. Dazu schreiben wir

$\displaystyle I^2=\int_{-\infty}^{\infty} \dd x \; \exp(-x^2) \int_{-\infty}^{\infty} \dd y \; \exp(-y^2)=\int_{\R^2} \dd^2 x \; \exp(-\vec{x}^{\,2}).$ (A.1.2)

Substituieren wir darin Polarkoordinaten $ \vec{x}=r (\cos \varphi,\sin
\varphi)$, $ \dd^2 x=r \, \dd r \, \dd \varphi$, erhalten wir

$\displaystyle I^2=\int_0^{2 \pi} \dd \varphi \int_0^{\infty} \dd r \; r \exp(-r^2) = -2 \pi \left .\frac{1}{2} \exp(-r^2) \right \vert _{r=0}^{\infty} = \pi.$ (A.1.3)

Da $ I>0$, folgt also

$\displaystyle I=\sqrt{\pi}.$ (A.1.4)

Dieses Resultat können wir nun verwenden, um auch das allgemeinere Integral

$\displaystyle I(a,b)=\int_{-\infty}^{\infty} \dd x \; \exp(-a x^2+b x), \quad a,b \in \C$ (A.1.5)

zu berechnen. Damit das Integral konvergiert, muß offenbar $ \re a>0$ sein. Mit einer quadratischen Ergänzung folgt zunächst

\begin{displaymath}\begin{split}I(a,b)&=\exp \left(\frac{b^2}{4a} \right) \int_{...
...xp \left[-a \left(x-\frac{b}{2a} \right)^2 \right]. \end{split}\end{displaymath} (A.1.6)

Nun substituieren wir $ y=\sqrt{a} [x-b/(2a)]$. Dabei wählen wir von den beiden komplexen Wurzeln diejenige, für die

$\displaystyle a=\vert a\vert \exp(\ii \varphi), \quad \sqrt{a}=\sqrt{\vert a\vert} \exp(\ii \varphi/2), \quad \varphi \in (-\pi/2,\pi/2)$ (A.1.7)

liegt, für die also der Realteil der Wurzel positiv ist. Die Integration erfolgt dann in der komplexen $ y$-Ebene entlang einer Geraden, die mit der reellen Achse den Winkel $ \varphi/2 \in
(-\pi/4,\pi/4)$ einschließt und durch $ y_0=b/(2 \sqrt{a})$ verläuft (vgl. Abb. A.1).

\includegraphics[width=0.4\linewidth]{compl-gauss}
Zur Auswertung des Integrals (A.1.6).
Ergänzen wir die Kontur mit den gestrichelt eingezeichneten Strecken zu einer geschlossenen Kurve, ergibt das Integral 0, denn der Integrand ist eine ganze Funktion. Da die vertikalen Teile im Unendlichen nichts zum Integral beitragen, schließen wir, daß die ursprüngliche Integrationskontur zur Integration entlang der reellen $ y$-Achse deformiert werden darf, ohne daß sich das Integral ändert. Damit ist

$\displaystyle I(a,b)=\exp \left (\frac{b^2}{4a} \right ) \frac{1}{\sqrt{a}} \in...
...\pi}{\vert a\vert}} \exp \left (\frac{b^2}{4a} - \frac{\ii \varphi}{2} \right )$ (A.1.8)

Die Gaußverteilung schreibt man am bequemsten in der Form

$\displaystyle P(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left (-\frac{(x-x_0)^2}{2 \sigma^2} \right )$   mit$\displaystyle \quad \sigma>0, \quad x_0 \in \R.$ (A.1.9)

Mit (A.1.8) erhält man nach einigen einfachen Umformungen, daß diese Funktion normiert ist, d.h.

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dd x \; P(x)=1.$ (A.1.10)

Den Erwartungswert der Verteilung erhält man aus

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dd x \; (x-x_0) P(x)=\erw{x}-x_0=0 \, \Rightarrow \, \erw{x}=x_0.$ (A.1.11)

Um die Standardabweichung zu berechnen, gehen wir von der erzeugenden Funktion

$\displaystyle F(z)=\int_{-\infty}^{\infty} \dd x \; \exp \left [-z (x-x_0)^2 \right]=I(z,0)=\sqrt{\frac{\pi}{z}}$ (A.1.12)

aus. Durch Ableiten nach $ z$ folgt

$\displaystyle F'(z)=-\int_{-\infty}^{\infty} \dd x \; (x-x_0)^2 \exp \left [-z (x-x_0)^2 \right] =-\frac{1}{2z} \sqrt{\frac{\pi}{z}}.$ (A.1.13)

Daraus ergibt sich

$\displaystyle \Delta x^2=\erw{(x-x_0)^2}=\int_{-\infty}^{\infty} \dd x \; (x-x_0)^2 P(x)=\sigma^2.$ (A.1.14)

Die Gaußverteilung (A.1.9) beschreibt also eine Zufallsgröße $ x$ mit Mittelwert $ x_0$ und Standardabweichung $ \Delta x=\sigma$.




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