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Mehrdimensionale Gaußintegrale

Mehrdimensionale Gaußintegrale können leicht auf den eben behandelten eindimensionalen Fall zurückgeführt werden. Sei dazu $ \hat{A} \in
\C^{n \times n}$ eine selbstadjungierte Matrix ( $ \hat{A}^{\dagger}=\hat{A}$), für die die Bilinearform $ \vec{x}^{t}
\hat{A} \vec{x}$ positiv definit ist. Dann fragen wir nach dem Integral

$\displaystyle I(\hat{A})=\int_{\R^n} \dd^n x \exp \left (-\vec{x}^t \hat{A} \vec{x} \right).$ (A.2.1)

Aufgrund des Satzes von der Hauptachsentransformation können wir stets eine unitäre Matrix $ \hat{U}$ mit Determinante $ 1$ finden (also $ U \in \mathrm{SU}(n)$), sodaß

$\displaystyle \hat{A}'=\hat{U} \hat{A} \hat{U}^{\dagger}=\diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_n).$ (A.2.2)

Wegen der oben vorausgesetzten Selbstadjungiertheit und positiven Definitheit von $ \hat{A}$ sind die Eigenwerte positiv reell ( $ \lambda_k>0$). Substituieren wir nun

$\displaystyle \vec{y}=\hat{U} \vec{x}, \quad \dd^n y=\det \hat{U} \dd^n x,$ (A.2.3)

erhalten wir

$\displaystyle I(\hat{A})=\int_{\R^n} \dd^n y \exp \left(-\sum_{k=1}^{n} \lambda_k x_k^2 \right).$ (A.2.4)

Dabei haben wir verwendet, daß man für jedes $ y_k$ den Integrationsweg in der komplexen Ebene beliebig deformieren können, weil die Exponentialfunktion überall analytisch ist. Mit (A.2.4) ist aber das mehrdimensionale Gaußintegral auf das Produkt von einzelnen Gaußintegralen zurückgeführt. Verwenden wir (A.1.6) mit $ b=0$, erhalten wir also

$\displaystyle I(\hat{A})=\sqrt{\frac{\pi^n}{\prod_{k=1}^{n} \lambda_k}}$ (A.2.5)

Nun ist aber

$\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \lambda_k=\det \hat{A}'=\det \hat{A},$ (A.2.6)

d.h. wir erhalten das Resultat

$\displaystyle I(\hat{A})=\sqrt{\frac{\pi^n}{\det \hat{A}}}.$ (A.2.7)




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