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Gravitationswellen

Die linearisierten Einsteingleichungen (8.84) lassen im Vakuum, $ T^{mn}= 0$, Abweichungen vom flachen Raum zu, die aus ebenen Wellen zusammengesetzt sind. Diese Gravitationswellen sind Lösungen der Lorenzbedingung $ \partial_m \bar{h}^{mn}$ und der homogenen Wellengleichung $ \Box \bar{h}^{mn} = 0$ und sind daher wie das elektromagnetische Viererpotential (5.90) Wellenpakete und von der Form

$\displaystyle \bar{h}^{mn}(x)=\int\! \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2 k^0}\,\sum_{\tau=1...
...})\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k\cdot x} \bigl )_{\vert _{k^0=\sqrt{\vec{k}^2}}}\ .$ (8.101)

Hierbei haben wir die 10 Amplituden $ a^{\dagger\,mn}(\vec{k})=a^{\dagger\,nm}(\vec{k})$ als Linearkombination von 10 Basiselementen, den Polarisationstensoren $ \epsilon^{*\,mn}_{\tau}(k)$ geschrieben, mit denen sich leichter die Lorenzbedingung (8.83), die Auswirkung der verbleibenden Koordinatentransformationen sowie das Verhalten der physikalischen Amplituden unter Drehungen klären lassen.

Abbildung 8.2: Polarisationsvektoren
\begin{wrapfigure}{l}{41mm}
\special{em:linewidth 0.4pt}\setlength{\unitlength...
...n_1$}}
\put(84.00,60.00){\makebox(0,0)[lc]{$n_2$}}
\end{picture}\end{wrapfigure}

Um die Polarisationstensoren angeben zu können, ergänzen wir wie in Abbildung 8.2 den lichtartigen Vierervektor $ k=(k^0,\vec{k})=(\vert\vec{k}\vert,\vec{k})$, $ k\ne 0$, durch einen weiteren lichtartigen Vektor $ \bar{k}=(\vert\vec{k}\vert,-\vec{k})$ und zwei dazu senkrechte, normierte, raumartige Vektoren $ n_i$, $ i=1,2$, zu einer vierdimensionalen Basis. Diese Polarisationsvektoren haben Skalarprodukte

\begin{displaymath}\begin{split}k^2= 0 = \bar{k}^2\ ,\quad k\cdot \bar{k}&= 2 \v...
...\cdot n_j &= - \delta_{ij}\ ,\quad i,j\in\{1,2\}\ . \end{split}\end{displaymath} (8.102)

Als Polarisationstensoren $ \epsilon^{*\,mn}_{\tau}(k)$, $ \tau=1,\dots, 10$, verwenden wir

\begin{equation*}\begin{aligned}\epsilon_{1}^{*\,mn}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(n^...
...gl(\bar{k}^m n^n_i+\bar{k}^n n^m_i\bigr )\ i=1,2\ . \end{aligned}\end{equation*}

Damit ergibt sich

$\displaystyle \partial_m \bar{h}^{mn} =\int\! \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2 k^0}\bigl...
...ert a_9^\dagger n^n_1 + \vert\vec{k}\vert a_{10}^\dagger n^n_2\bigr )+ \dots\ ,$ (8.104)

wobei die Punkte für die komplex konjugierten Terme stehen. Die Lorenzbedingung ist genau dann erfüllt, wenn die Amplituden von $ \partial_m \bar{h}^{mn}$ verschwinden, wenn also

$\displaystyle 0=a_4^\dagger=a_5^\dagger=a_9^\dagger=a_{10}^\dagger$ (8.105)

gilt. Nur 6 der 10 Amplituden erfüllen auch die Lorenzbedingung.

Gilt die Lorenzeichung in einem Koordinatensystem, dann gilt sie auch in Koordinaten $ x^\prime (x)$, wenn die neuen Koordinatenfunktionen die Wellengleichung

$\displaystyle \sqrt{\mathrm{g}}g^{kl}\partial_k\partial_lx^{\prime\, n}= 0$ (8.106)

erfüllen (F.6). Dabei ändert sich die metrische Dichte $ \sqrt{\mathrm{g}}g^{mn}=\eta^{mn}-\bar{h}^{mn}$ gemäß

$\displaystyle \sqrt{\mathrm{g}^\prime}g^{\prime\,mn}(x^\prime)=\sqrt{\mathrm{g}}g^{kl} \partial_k x^{\prime\,m}\partial_l x^{\prime\,n}$   det$\displaystyle \left \vert \frac{\partial x}{\partial x^\prime}\right \vert\ .$ (8.107)

Ändern sich die Koordinaten nur wenig um $ \xi^m$, $ x^{\prime\, m}= x^m - \xi^m$, und entwickeln wir nach $ \xi^m$ und $ \bar{h}^{mn}$, so bewirkt solch eine kleine Koordinatentransformation in erster Ordnung die Änderung

$\displaystyle \delta \bar{h}^{mn}= \partial^m \xi^n + \partial^n \xi^m - \partial_l \xi^l \eta^{mn}$ (8.108)

der Abweichung der Metrik vom flachen Raum.

Dabei müssen in dieser Näherung die Felder $ \xi^m$ die Wellengleichung $ \Box \xi^m=0$ erfüllen. Sie sind daher Wellenpakete, die sich mit den Polarisationsvektoren als

$\displaystyle \xi^{m}(x)=\int\! \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2 k^0}\, \mathrm{e}^{\mat...
...r + n^m_2 c_2^\dagger + k^m c_3^\dagger + \bar{k}^m c_4^\dagger \bigr ) + \dots$ (8.109)

schreiben lassen. Bei der zugehörigen Koordinatentransformation ändert sich $ \bar{h}^{mn}$ um

$\displaystyle \partial^m\xi^{n}+\partial^n\xi^{m}-\partial_l \xi^l \eta^{mn}=$ (8.110)
$\displaystyle \int\! \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2 k^0}\, \mathrm{i} \bigl ( (k^m n^n...
...ec{k}^2 c_4^\dagger \eta^{mn} \bigr )\mathrm{e}^{\mathrm{i}k\cdot x} + \dots\ .$    

Für die Koeffizienten bei $ c_4^\dagger$ gilt

$\displaystyle k^m\bar{k}^n+k^n\bar{k}^m - 2 \vec{k}^2 \eta^{mn}= 2 \sqrt{2} \vec{k}^2 \epsilon_{6}^{*\,mn}\ .$ (8.111)

denn auf die Basis $ k_n$, $ \bar{k}_n$, $ n_{1\,n}$ und $ n_{2\,n}$ angewendet stimmen beide Seiten überein.

Demnach lassen sich mit infinitesimalen Koordinatentransformationen (8.112) die vier Amplituden $ a_7^\dagger,a_8^\dagger,a_3^\dagger$ und $ a_6^\dagger$ durch die vier Amplituden $ c^\dagger$ additiv verändern und wegeichen

$\displaystyle 0= a_3^\dagger = a_6^\dagger = a_7^\dagger = a_8^\dagger\ .$ (8.112)

Eine Gravitationswelle enthält folglich pro Wellenvektor $ 10-4-4=2$ unabhängige, physikalische Amplituden, nämlich $ a^\dagger_1$ und $ a^\dagger_2$. In der durch (8.116) ergänzten Lorenzeichung ist die Gravitationswelle doppelt transversal, das heißt, ihre Amplituden erfüllen $ k_m a^{\dagger\, mn}= 0$ und $ \bar{k}_m a^{\dagger\, mn}= 0$, und sie ist spurfrei $ \eta_{mn} a^{\dagger\, mn}= 0$.

Weil sie spurfrei ist, stimmt bei einer Gravitationswelle $ h_{mn}$ (8.74) mit $ \eta_{mk}\eta_{nl}\bar{h}^{kl}$ überein.



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