Ebene Welle

Besteht die Gravitationswelle in einem $\vec{x}$-Bereich nur aus Anteilen mit Wellenvektoren gleicher Richtung, weil sie von einer von $\vec{x}$ weit entfernten Quelle abgestrahlt wurde, und wählen wir die Richtung zur Quelle als negative $z$-Achse, so hat die physikalische Amplitude $a^\dagger_1(\vec{k})$ näherungsweise die Form

$$a^\dagger_1(\vec{k})=2\sqrt{2}(2\pi)^2 \delta(k_x)\delta(k_y)\vert k_z\vert\Theta(k_z)\,a^\dagger(k_z)$$ (8.113)

und die zugehörige Gravitationswelle ist in diesem Bereich

$$h_{11}=-h_{22}= \int_0^\infty\! \frac{dk}{2\pi}\,\bigl ( \mathrm{... ...\int\! \frac{dk}{2\pi}\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}k(t-z)}\tilde{h}(k) =\,h(x^-)\ ,$$ (8.114)

$$\tilde{h}(k)=\left \{ \begin{array}{lll} a^\dagger(k)&\text{falls}& k > 0\\ a(-k) &\text{falls}& k < 0 \end{array} \right . \ ,$$ (8.115)

$$x^-=t-z\ .$$ (8.116)

Entsprechend gehört die zweite physikalische Amplitude $a^\dagger_2$ einer Gravitationswelle in $z$-Richtung zu

$$h_{12}=h_{21}=k(x^-)$$ (8.117)

Eine ebene Gravitationswelle, die sich in $z$-Richtung ausbreitet, gehört also zur Metrik

$$g_{mn}dx^m dx^n = (dt)^2 -(dx)^2 -(dy)^2 -(dz)^2 + h(x^-)((dx)^2-(dy)^2) + 2 k(x^-)dx \,dy$$ (8.118)

Die Gravitationswelle besteht aus Anteilen der Helizität $+2$ und $-2$. Das heißt, unter Drehungen, die den Wellenvektor $\vec{k}$ invariant lassen, in unserem Fall unter Drehungen um die $z$-Achse,

$$x = x^\prime \cos \alpha - y^\prime \sin \alpha\ , \quad y = x^\prime \sin \alpha + y^\prime \cos \alpha\ ,$$ (8.119)

transformieren $h$ und $k$ mit dem doppelten Drehwinkel. Denn es gilt

$$\begin{pmatrix}h & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix}(dx)^2 - (dy)^2... ...n{pmatrix}(dx^\prime)^2 - (dy^\prime)^2\\ 2 dx^\prime \,dy^\prime \end{pmatrix}$$ (8.120)

und daher

$$\begin{pmatrix}h^\prime\\ k^\prime \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}... ...in 2 \alpha & \cos 2 \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}h\\ k \end{pmatrix}\ .$$ (8.121)

Insbesondere sind die komplexen Linearkombinationen $h\pm \mathrm{i}k$ Eigenvektoren

$$h^\prime\pm \mathrm{i}k^\prime = \mathrm{e}^{\mp 2\mathrm{i}\alpha} (h\pm \mathrm{i}k)\ .$$ (8.122)

Der hierbei auftretende Koeffizient bei $\mathrm{i}\alpha$, $\mp 2$, ist die Helizität.