Nachweis von Gravitationswellen

Eine Gravitationswelle verändert richtungsabhängig die Laufzeit von Licht zwischen ruhenden, unbeschleunigten Teilchen. Um dies zu messen, hängt man in Detektoren wie GEO600 [58] oder LIGO [59] Strahlteiler und Spiegel eines Interferometers im Schwerefeld der Erde so auf, daß sie von störenden Erschütterungen genügend entkoppelt sind und in Richtung des Lichtstrahls frei beweglich sind, oder man läßt sie bei LISA [60] auf Satelliten, abgeschirmt vom Sonnenwind, hinter der Erde die Sonne im freien Fall umkreisen, wobei ihr gegenseitiger Abstand nahezu unverändert bleibt. Den darüber hinausgehenden gravitativen Einfluß von Erde und Sonne auf den Detektor kann man vernachlässigen: sie bewirken analog zur Lichtablenkung eine vernachlässigbar geringe Ablenkung der Gravitationswelle.

In der folgenden Berechnung vereinfachen wir daher die Weltlinien von Strahlteiler, Spiegel und Licht zu geodätischen Weltlinien der Metrik (8.122) und bestimmen die Auswirkung der Gravitationswelle in erster Ordnung in $h$ und $k$. Die Laufzeitänderung

Abbildung 8.3: Auswirkung einer Gravitationswelle

des Lichts, $\Delta \tau$, weist man durch Interferenz mit einem zweiten Lichtstrahl nach, der im zweiten Arm des Interferometers die Gravitationswelle in einer anderen Richtung durchläuft.

So wie ein Magnetfeld nicht auf ruhende Ladungen wirkt, so beeinflußt die Gravitationswelle nicht die Weltlinien $y(s)$ des ruhenden Spiegels $\mathcal{S}$ und des ruhenden Strahlteilers $\mathcal{T}$ des Interferometers

$$(y^- , y^1 , y^2 , y^+ ) = ( s-a^3 , a^1 , a^2 , s+a^3 ) \ .$$ (8.123)

Hierbei sind $y^-=t-z$ und $y^+=t+z$ Lichtkegelkoordinaten und $(a^1,a^2,a^3)$ sind die jeweiligen konstanten Ortskoordinaten. Unabhängig von den Amplituden $h$ und $k$ der Gravitationswelle sind (8.127) geodätisch, denn die Gravitationswelle ist in mitfallenden Koordinaten (F.11) gegeben.

Explizit überprüft man die Geodätengleichung im Koordinatensystem $(x^-,x^1,x^2,x^+)$ mit der Metrik

$$\begin{pmatrix}g_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}& & &\frac{1... ...matrix}& & & 2 \\ & -1-h & -k & \\ & -k & -1+h & \\ 2 & & & \\ \end{pmatrix}\ ,$$ (8.124)

wobei wir nur in erster Ordnung in $h$ und $k$ rechnen, und mit den Christoffelsymbolen

$$-\Gamma_{-1}{}^1= \Gamma_{-2}{}^2 = -\frac{1}{2}\Gamma_{11}{}^+ =... ...{}^1 =\frac{1}{2}\Gamma_{12}{}^+ = -\frac{1}{2}\frac{dk^{\phantom{-}}}{dx^-}\ .$$ (8.125)

Ebenso bestätigt man in erster Ordnung in $h$ und $k$, daß die Vektoren $e_-$, $e_1$, $e_2$ und $e_+$ mit Komponenten

$$\begin{gathered}e_a{}^m=\delta_a{}^m + \delta e_a{}^m\ ,\quad... ...ad \delta e_2{}^m = \frac{1}{2} (0 ,k , -h , 0 ) \end{gathered}$$ (8.126)

längs der ruhenden Weltlinien $y(s)$ parallel und drehungsfrei (C.140) verschoben werden

$$\frac{d e_a{}^m}{ds}+ \frac{dy^l}{ds}\Gamma_{ln}{}^m e_a{}^n = 0\ .$$ (8.127)

Den Lichtstrahl $x+\delta x$ vom Strahlteiler zu Spiegel zerlegen wir in die Weltlinie $x(\lambda)$, die er ohne Gravitationswelle durchlaufen würde

$$x^m(\lambda)= x^m(0)+\lambda (1-\cos\theta , \sin\theta\cos\varphi , \sin\theta\sin\varphi , 1+\cos\theta )\ ,$$ (8.128)

und die von der Welle hervorgerufene Abweichung $\delta x(\lambda)$, die wir in erster Ordnung berechnen. Hierbei ist $\theta$ der Winkel zwischen der Richtung $\vec{n}$ des Lichtstrahls und der Ausbreitungsrichtung der Gravitationswelle.

Die Geodätengleichung besagt für die Abweichung $\delta x$

$$\frac{d^2 \delta x^m}{d \lambda^2}= - \Gamma_{kl}{}^m \frac{dx^k}{d\lambda}\frac{dx^l}{d\lambda}\ .$$ (8.129)

und $\delta x$ kann durch zweifache Integration über $\lambda$ berechnet werden. Wir setzen (8.129) und $\frac{dx^k}{d\lambda}$ ein und verwenden $\frac{dh}{d\lambda}=\frac{dx^-}{d\lambda}\frac{dh^{\phantom{-}}}{dx^-}= (1 -\cos\theta) \frac{dh^{\phantom{-}}}{dx^-}$

$$\begin{gathered}\frac{d^2 \delta x^-}{d \lambda^2} = 0\ , \qu... ...{d}{d\lambda}\sin\theta(-h\sin\phi+k\cos\phi)\ . \end{gathered}$$ (8.130)

Berücksichtigt man $\frac{\sin^2\theta}{1-\cos\theta}=1+\cos\theta$ und die Winkeladditionstheoreme der trigonometrischen Funktionen, so erhält man nach Integration

$$\begin{gathered}\frac{d \delta x^-}{d \lambda} = c^-\ ,\quad ... ... = c^2+\sin\theta(-h\sin\varphi+k\cos\varphi)\ . \end{gathered}$$ (8.131)

Die Integrationskonstanten sind dadurch festgelegt, daß der Lichtstrahl unabhängig von der Gravitationswelle im selben Ereignis startet, $\delta x^m(0)=0$, und daß die Gravitationswelle auch nicht die anfängliche Richtung des Lichtstrahls, bezogen auf die drehungsfrei transportierten Vektoren $e_a$ (8.130), ändert

$$\begin{aligned}\frac{d\delta x^m}{d\lambda} =_{\bigl \vert _{\l... ...+k\sin\varphi , -h\sin\varphi+k\cos\varphi , 0 )\ . \end{aligned}$$

Dies ergibt die Integrationskonstanten

$$\begin{aligned}c^- &= 0\ , & c^+&= (1+\cos\theta)(\underline{h}... ...nderline{h}\sin\varphi+\underline{k}\cos\varphi)\ , \end{aligned}$$

wobei $\underline{h}=h(x(0))$ und $\underline{k}=k(x(0))$ die Werte von $h$ und $k$ beim Start des Lichtstrahls bezeichnen. Wir setzen in (8.135) ein und integrieren ein zweites Mal über $\lambda$. Auf der rechten Seite ersetzen wir mit $(1-\cos\theta) d\lambda =\frac{dx^-}{d\lambda^{\phantom{-}}}d\lambda = dx^-$ die Integrationsvariable

$$\begin{aligned}\delta x^- &= 0\ ,\quad \delta x^+ = \frac{1+\co... ...arphi + (k-\frac{1}{2}\underline{k})\cos\varphi)\ . \end{aligned}$$

Die Änderung des Lichtstrahls hat zur Folge, daß er erst beim Parameterwert $\lambda=l+\delta \lambda$ die Spiegelebene $\{\vec{y}:(\vec{y}-\underline{\vec{x}})\cdot \vec{n}=l\}$ erreicht. Wir setzen $\vec{y}=\vec{x}+\delta \vec{x}=\underline{\vec{x}} + ( l+ \delta \lambda) \vec{n}+ \delta \vec{x}(l)$ ein und lösen nach $\delta \lambda$ auf

$$-\delta \lambda = \frac{\delta x^+-\delta x^-}{2}\cos \theta + \sin\theta(\delta x^1\cos\varphi+\delta x^2\sin\varphi)\ .$$ (8.135)

Damit erhalten wir schließlich die Laufzeitveränderung $\Delta_1 x^0= \frac{dx^0}{d\lambda}\delta \lambda + \delta x^0=\delta \lambda + \delta x^0$ während des Hinweges, wobei $x^0=\frac{1}{2}(x^+ - x^-)$ und $x^-(l)=\overline{x}^-=l(1-\cos\theta)+ \underline{x}^-$ ist,

$$\Delta_1 x^0 = -\frac{1+\cos\theta}{2}\int_{\underline{x}^-}^{\underline{x}^-+l(1-\cos\theta)} \!\! dx\, (h(x)\cos(2\varphi)+k(x)\sin(2\varphi))\ .$$ (8.136)

Der Rückweg verläuft in umgekehrter Richtung $\theta^\prime=\pi - \theta$, $\varphi^\prime=\varphi+\pi$. Auf ihm ändert sich die Laufzeit folglich um

$$\Delta_2 x^0 = -\frac{1-\cos\theta}{2}\int_{\underline{x}^-+l(1-\... ...heta)}^{\underline{x}^-+2l}\!\! dx\, (h(x)\cos(2\varphi)+k(x)\sin(2\varphi))\ .$$ (8.137)

Ist das Interferometer kurz im Vergleich zur Wellenlänge der Gravitationswelle, dann kann man die beiden Integrale mit dem Zwischenwertsatz nähern: das Integral für $\Delta_1 x^0$ ist Intervallänge $l(1-\cos\theta)$ mal einem Zwischenwert des Integranden und es gilt etwa

$$\int_{\underline{x}}^{\underline{x}+l(1-\cos\theta)} \!\! dx\, (h... ... (1-\cos\theta)\int_{\underline{x}}^{\underline{x}+l} \!\! dx\, (h(x)\dots )\ .$$ (8.138)

Entsprechendes gilt für $\Delta_2 x^0$. Zusammengenommen ist $\Delta \tau = \Delta_1 x^0+\Delta_2 x^0$ etwa

$$\Delta \tau \approx - H(t,l)\,a_+(\theta,\varphi) - K(t,l)\,a_{\times\!}(\theta,\varphi)$$ (8.139)

wobei die Funktionen

$$H(t,l)=\frac{1}{2}\int_{t-2l}^{t}\!\! dx\,h(x)\ ,\quad K(t,l)=\frac{1}{2}\int_{t-2l}^{t}\!\! dx\,k(x)$$ (8.140)

die Amplituden der Gravitationswelle über die Laufzeit im Interferometer integrieren und die Winkelabhängigkeit durch Produkte der Komponenten des Richtungsvektors $\vec{n}$ gegeben ist

$$a_+(\theta,\varphi)= n_x n_x -n_y n_y = \sin^2\theta \cos(2\varph... ...\quad a_{\times\!}(\theta,\varphi) = 2 n_x n_y = \sin^2\theta \sin(2\varphi)\ .$$ (8.141)

Dies Ergebnis für $\Delta \tau$ behält seine Form, wenn der Lichtstrahl mehrfach im Interferometer gespiegelt wird, bevor man das Interferenzbild ausliest.

Gegenüber Licht in einem gleichlangen, zweiten Interferometerarm in Richtung $(\theta^\prime,\varphi^\prime)$ ist die Laufzeit um $\delta \tau$ verschoben,

$$\delta \tau \approx - H(t,l) \bigl ( a_+(\theta,\varphi) - a_+(\t... ...imes\!}(\theta,\varphi) - a_{\times\!}(\theta^\prime,\varphi^\prime) \bigr )\ .$$ (8.142)

Das Detektorsignal ist proportional zur Amplitude der Gravitationswelle. Es wird nicht ein Energieübertrag von der Gravitationswelle auf den Detektor gemessen, er wäre quadratisch in $h$ und $k$, sondern eine Phasenverschiebung des Lichts. Daher nimmt die Empfindlichkeit des Detektors als Funktion des Abstands $r$ zur Quelle der Gravitationswelle wie $1/r$ und nicht wie $1/r^2$ ab.

Es gibt eine für den Gravitationswellennachweis optimale Verweildauer des Lichts im Detektor, nämlich die halbe Schwingungsdauer der Gravitationswelle. Danach vermindert sich das Signal.

Das gleiche Verschwinden des Signals bei langer Wechselwirkungsdauer ergibt eine feldtheoretische Rechnung. Die Wechselwirkung von Licht und Gravitationswelle ist in niedrigster Ordnung durch die Entwicklung von $W_{\text{Maxwell}}$ (7.37) gegeben

$$W_{\text{Photon, Graviton}}=\frac{1}{8\pi c}\int d^4 x\, \bar{h}^{mn}(F_{mk}F_n{}^{k}-\frac{1}{4} \eta_{mn}F_{rs}F^{rs})\ .$$ (8.143)

Sie erlaubt die Absorption eines Gravitons durch ein Photon, das dadurch in ein Photon mit geändertem Impuls und Energie übergeht. Wäre die Wechselwirkungszone von Licht und Gravitationswelle groß und die Wechselwirkungsdauer lang, so gäbe es Impulserhaltung und Energieerhaltung. Aber dann wäre solch eine Absorption unmöglich, denn Photonen und Gravitonen sind masselos und die Summe der Viererimpulse masseloser Teilchen hat eine positive Masse (3.57), gehört also nicht wieder zu einem Photon. Dauert die Wechselwirkung nur eine halbe Schwingungsdauer der Gravitationswelle, so ist die Energieunschärfe von der Größenordnung der Energie $\hbar \omega$ des Gravitons und die Absorption eines Gravitons ist möglich.

Auch wenn diese Begriffe zur Quantenmechanik gehören und auch wenn wir heutzutage Quantenphysik und Allgemeine Relativitätstheorie nicht gemeinsam verstehen, so ist die Betrachtung dennoch gerechtfertigt: sie macht nur davon Gebrauch, daß Elektrodynamik und Allgemeine Relativitätstheorie Feldtheorien sind und hängt nicht daran, ob das Feld Quanten erzeugt und vernichtet.