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Strukturen auf Mannigfaltigkeiten

Die Raumzeit hat die mathematische Struktur einer Mannigfaltigkeit $ {\mathcal M}$. Sie besteht aus Punkten $ p$, die wir Ereignisse nennen und durch Koordinaten $ x=(x^1,x^2,\dots, x^d)$ bezeichnen. Wir nennen die Raumzeit kürzer Raum, wenn keine Mißdeutungen zu befürchten sind. Hier sollen kurz die für Mannigfaltigkeiten wichtigsten Begriffe zusammengestellt werden und dabei die Physikern geläufigen Schlampigkeiten in Kauf genommen werden. Eine genaue Darstellung findet sich zum Beispiel knapp zusammengefaßt bei [61] und in vielen mathematischen Lehrbüchern [62,63,64].

Wir setzen voraus, daß zu jedem Punkt $ p$ eine Umgebung gehört, die durch eine Koordinatenabbildung bijektiv und beiderseits stetig in eine Umgebung von $ x(p)\in {\mathbb{R}}^d$ abgebildet wird. Weil jede Koordinatenabbildung lokal bijektiv ist, gestatten wir uns, die Koordinaten $ x$ zur Benennung der Punkte $ p$ zu verwenden, also vom Punkt $ x$ zu reden, statt vom Punkt $ p$ mit Koordinaten $ x(p)$.

In einem anderen Koordinatensystem bezeichnen wir dieselben Punkte mit Koordinaten $ x^\prime (x)$. Diese Koordinaten können in ihrem gemeinsamen Gültigkeitsbereich ineinander umgerechnet werden, das heißt, umgekehrt sind die Koordinaten $ x$ Funktionen $ x(x^\prime)$. Wir setzen voraus, daß die Koordinatentransformationen und alle Funktionen genügend oft differenzierbar sind.

Die Anzahl $ d$ der Koordinaten, die zur Bezeichnung eines Punktes benötigt werden, ist die Dimension der Mannigfaltigkeit. Ohne es weiter zu erwähnen, verschieben wir oft den Indexbereich zu $ (x^0,x^1, \dots,x^{d-1})$. Die physikalische Raumzeit ist vierdimensional, allerdings ist dies ein Befund, der sich bei höherer experimenteller Auflösung ändern könnte. Was uns als Punkt erscheint, ist möglicherweise in weitere Dimensionen ausgedehnt und nur klein.

Wenn wir es nicht ausdrücklich anders sagen, beschränken wir uns auf zusammenhängende Mannigfaltigkeiten, in denen jeder Punkt durch einen Weg mit jedem anderen Punkt verbunden werden kann.

Mit den Koordinaten können wir jede reelle Funktion

$\displaystyle f:\left \{ \begin{array}{c c l} \mathcal{M} &\rightarrow & {\mathbb{R}}\\ p &\mapsto & f(p) \end{array} \right .$ (9.1)

in einer Umgebung eines Punktes $ p$ als eine Funktion $ f(x^0,x^1,\dots,x^{d-1})$ angeben. Im Koordinatensystem $ x^\prime (x)$ ist dieselbe Funktion durch $ f^\prime(x^\prime)$ gegeben

$\displaystyle f^\prime(x^\prime(x))=f(x)$ oder $\displaystyle f^\prime(x^\prime)=f(x(x^\prime))\ .$ (9.2)

Weltlinien $ \Gamma$ sind Kurven in der Raumzeit, die in Koordinaten durch reelle Funktionen $ (x^0(s),x^1(s),\dots,x^{d-1}(s))$ einer reellen Variablen $ s$ gegeben sind. Die Koordinaten $ x^\prime(s)$ derselben Kurve $ \Gamma$ ergeben sich einfach aus der Kettenregel $ x^\prime(s)=x^{\prime}(x(s))$.



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