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Tangentialvektor

Die koordinatenunabhängige Definition des Tangentialvektors $ u$ im Punkt $ x(0)$ an eine Kurve $ x(s)$ geht davon aus, daß reelle Funktionen $ f(x)$ auf der Kurve $ x(s)$ nach dem Bahnparameter abgeleitet werden können. Der Tangentialvektor ist die Ableitung nach dem Kurvenparameter, also eine lineare Abbildung $ u$, die Funktionen $ f$ reelle Zahlen $ u(f)$ zuordnet und der Produktregel genügt9.1

\begin{equation*}\begin{aligned}&u(f)=\frac{d}{ds}f(x(s))_{\vert _{s=0}}= \frac{...
...{R}}\ ,\\ &u(f_1 \cdot f_2)=u(f_1)f_2+f_1 u(f_2)\ . \end{aligned}\end{equation*}

Tangentialvektoren am Punkt $ x$ gehören zu Äquivalenzklassen von Kurven durch $ x$, die in einer Umgebung dieses Punktes in erster Ordnung übereinstimmen.

Tangentialvektoren an Kurven durch $ x$ bilden einen Vektorraum $ \mathcal{T}_x$, den Tangentialraum am Punkt $ x$, denn Summe und Vielfache sind wiederum Tangentialvektoren an Kurven durch $ x$. Insbesondere sind die partiellen Ableitungen $ \partial_{m_{\vert _x}}$ die Tangentialvektoren an die Koordinatenlinien und bilden eine Basis des Tangentialraumes am Punkt $ x$, in der jeder Tangentialvektor entwickelt werden kann, $ u=u^m\partial_m$. In dieser Basis hat der Tangentialvektor an die Kurve $ x(s)$ die Komponenten

$\displaystyle u^m=\frac{dx^m(s)}{ds}\ .$ (9.4)

Gibt man an jedem Punkt $ x$ einen Vektor an, also ein Vektorfeld mit Komponentenfunktionen $ u^m(x)$, so kann man umgekehrt (A.4) als Differentialgleichung für eine Schar von Kurven $ x(s)$, die Integralkurven des Vektorfeldes $ u$, betrachten. In einem anderen Koordinatensystem $ x^\prime (x)$ hat nach Kettenregel

$\displaystyle \frac{d}{ds}x^{\prime\, m}(x(s))=\frac{\partial x^{\prime\, m}}{\partial x^n}\frac{dx^n}{ds}$ (9.5)

dasselbe Vektorfeld die Komponenten

$\displaystyle u^{\prime\, m}(x^\prime(x))=\frac{\partial x^{\prime\, m}}{\partial x^n}u^n(x)\ .$ (9.6)

Insbesondere besagt die Kettenregel für die Basis in $ x^\prime$-Koordinaten

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x^{\prime\, k}}= \frac{\partial x^m}{\partial x^{\prime\,k}}\frac{\partial}{\partial x^m}\ ,$ (9.7)

und der Tangentialvektor $ u$ hängt nicht von der Basis ab

$\displaystyle u^{\prime\, m}\partial^{\,\prime}_m{}_{{\bigl \vert}_{x^\prime(x)}} = u^{m}\partial_m{}_{{\bigl \vert}_{x}} \ .$ (9.8)




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