Tangentialvektor

Die koordinatenunabhängige Definition des Tangentialvektors $u$ im Punkt $x(0)$ an eine Kurve $x(s)$ geht davon aus, daß reelle Funktionen $f(x)$ auf der Kurve $x(s)$ nach dem Bahnparameter abgeleitet werden können. Der Tangentialvektor ist die Ableitung nach dem Kurvenparameter, also eine lineare Abbildung $u$, die Funktionen $f$ reelle Zahlen $u(f)$ zuordnet und der Produktregel genügt^9.1

$$\begin{aligned}&u(f)=\frac{d}{ds}f(x(s))_{\vert _{s=0}}= \frac{... ...{R}}\ ,\\ &u(f_1 \cdot f_2)=u(f_1)f_2+f_1 u(f_2)\ . \end{aligned}$$

Tangentialvektoren am Punkt $x$ gehören zu Äquivalenzklassen von Kurven durch $x$, die in einer Umgebung dieses Punktes in erster Ordnung übereinstimmen.

Tangentialvektoren an Kurven durch $x$ bilden einen Vektorraum $\mathcal{T}_x$, den Tangentialraum am Punkt $x$, denn Summe und Vielfache sind wiederum Tangentialvektoren an Kurven durch $x$. Insbesondere sind die partiellen Ableitungen $\partial_{m_{\vert _x}}$ die Tangentialvektoren an die Koordinatenlinien und bilden eine Basis des Tangentialraumes am Punkt $x$, in der jeder Tangentialvektor entwickelt werden kann, $u=u^m\partial_m$. In dieser Basis hat der Tangentialvektor an die Kurve $x(s)$ die Komponenten

$$u^m=\frac{dx^m(s)}{ds}\ .$$ (9.4)

Gibt man an jedem Punkt $x$ einen Vektor an, also ein Vektorfeld mit Komponentenfunktionen $u^m(x)$, so kann man umgekehrt (A.4) als Differentialgleichung für eine Schar von Kurven $x(s)$, die Integralkurven des Vektorfeldes $u$, betrachten. In einem anderen Koordinatensystem $x^\prime (x)$ hat nach Kettenregel

$$\frac{d}{ds}x^{\prime\, m}(x(s))=\frac{\partial x^{\prime\, m}}{\partial x^n}\frac{dx^n}{ds}$$ (9.5)

dasselbe Vektorfeld die Komponenten

$$u^{\prime\, m}(x^\prime(x))=\frac{\partial x^{\prime\, m}}{\partial x^n}u^n(x)\ .$$ (9.6)

Insbesondere besagt die Kettenregel für die Basis in $x^\prime$-Koordinaten

$$\frac{\partial}{\partial x^{\prime\, k}}= \frac{\partial x^m}{\partial x^{\prime\,k}}\frac{\partial}{\partial x^m}\ ,$$ (9.7)

und der Tangentialvektor $u$ hängt nicht von der Basis ab

$$u^{\prime\, m}\partial^{\,\prime}_m{}_{{\bigl \vert}_{x^\prime(x)}} = u^{m}\partial_m{}_{{\bigl \vert}_{x}} \ .$$ (9.8)