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Dualraum

Dual zu Vektoren am Punkt $ x$ sind die linearen Abbildungen $ \omega$, die Vektoren $ u\in\mathcal{T}_x$ am Punkt $ x$ in die reellen Zahlen abbilden $ \omega: u\mapsto\omega(u)\in {\mathbb{R}}$. Die linearen Abbildungen können addiert und mit reellen Zahlen multipliziert werden und bilden an jedem Punkt $ x$ einen Vektorraum, den Dualraum $ \mathcal{T}_x^*$ des Tangentialraumes $ \mathcal{T}_x$. Gibt man an jedem Punkt $ x$ einen dualen Vektor $ \omega_{\vert _x}$ an, so nennt man die Abbildung $ \omega: x\mapsto \omega_{\vert _x}$ ein duales Vektorfeld.

Jede Funktion $ f$ definiert durch Anwenden von $ u$ auf $ f$ eine lineare Abbildung $ df_{\vert _x}$ von Tagentialvektoren $ u=u^n\partial_n$ am Punkt $ x$ in die reellen Zahlen

$\displaystyle df_{\vert _x} : u \mapsto u(f)_{\vert _x}=u^m\partial_m f_{\vert _x}\ .$ (9.9)

Dabei sind zwei Funktionen äquivalent und definieren denselben dualen Vektor bei $ x$, wenn dort ihre ersten Ableitungen übereinstimmen. Die Äquivalenzklasse von Funktionen, die bei $ x$ dieselben Ableitungen wie $ f$ haben, und die zugehörige Abbildung von Tangentialvektoren $ u\in\mathcal{T}_x$ in die reellen Zahlen bezeichnen wir als $ df_{\vert _x}$ oder, kürzer, als das Differential oder die Änderung $ df$.

Die Äquivalenzklassen $ dx^n$ der Koordinatenfunktionen $ x^n$, die Koordinatendifferentiale, bilden an jedem Punkt $ x$ die zur Basis $ \partial_m$ des Tangentialraumes duale Basis des Dualraumes $ \mathcal{T}^*$. Sie bilden also die Tangentialvektoren $ \partial_m$ auf Eins oder Null ab, jenachdem ob der Wert von $ m$ mit dem Wert von $ n$ übereinstimmt,9.2

$\displaystyle dx^n(\partial_m) = \partial_m x^n = \delta_m{}^n\ ,$ (9.10)

$\displaystyle \delta_m{}^n =\left\{ \begin{array}{r c l} 0& \text{falls}& m\neq...
...\\ 1& \text{falls}& m=n\ , \end{array} \right .\index{daelta@$ \delta_{m}{}^n$}$   zum Beispiel $\displaystyle \delta_1{}^1 =1, \ \delta_1{}^2 = 0\ ,$ (9.11)

und sind eine Basis für duale Vektoren, $ \omega_{\vert _x}=dx^m \omega_m(x)$ mit $ \omega_m(x)=\omega(\partial_m)_{\vert _x}$,

$\displaystyle \omega(u)_{\vert _x} = u^m(x)\, \omega(\partial_m)_{\vert _x} = dx^m(u)_{\vert _x}\, \omega_m(x)\ .$ (9.12)

Ein duales Vektorfeld heißt auch Differentialform oder Einsform.

Insbesondere ist die Änderung $ df$ einer Funktion die Summe der Änderungen $ dx^n$ ihrer Argumente multipliziert mit den partiellen Ableitungen

$\displaystyle df = dx^n \partial_n f \ .$ (9.13)

Für die Koordinatendifferentiale $ dx^\prime$ eines anderen Koordinatensystems besagt dies


Auch sie bilden eine Basis des Dualraumes. Aus $ \omega=dx^{\prime\, l}\omega^\prime_l =d x^n\frac{\partial x^{\prime\,l}}{\partial x^n}\omega^\prime_l=d x^n\omega_n $ liest man ab


$\displaystyle dx^{\prime\, l}= d x^n \frac{\partial x^{\prime\,l}}{\partial x^n...
...tial x^{\prime\,l}}{\partial x^n}\,\omega^\prime_l(x^\prime(x))= \omega_n(x)\ .$ (9.14)




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