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Satz von Frobenius

Wenn in einem $ d$-dimensionalen Raum in einer Umgebung durch jeden Punkt mit Koordinaten $ x^i,y^a$, $ \ i=1,\dots,p$, $ a=1,\dots, d- p,$ $ p$-dimensionale Flächen $ y^a(x)$ gehen, die die Differentialgleichungen


oder, in Formensprache, $ \theta^a:=dy^a - dx^i u_i{}^a=0$ erfüllen, dann folgt aus $ (\partial_i\partial_j-\partial_j\partial_i)y^a = 0$ notwendig die Integrabilitätsbedingung


$\displaystyle \partial_i y^a = u_i{}^a(x,y)\partial_i u_j{}^a + u_i{}^b\partial_b u_j{}^a -\partial_j u_i{}^a - u_j{}^b\partial_b u_i{}^a= 0$ (9.15)

nicht nur als Identität in $ x$, wenn man für $ y$ eine Lösung $ y(x)$ einsetzt, sondern als Identität in den Variablen $ x$ und $ y$, da (A.16) an jedem Punkt $ x$ für alle $ y$ gilt.

Umgekehrt existieren in einer genügend kleinen Umgebung jedes Punktes $ \underline{x}$ Lösungen $ y^a(x)$ von (A.16) für jeden beliebigen, bei $ \underline{x}$ vorgegebenem Wert $ \underline{y}^a=y^a(\underline{x})$, wenn die Integrabilitätsbedingung (A.17) identisch in $ x$ und $ y$ erfüllt ist.

Zum Beweis dieses Satzes von Frobenius betrachten wir in einer Umgebung eines Punktes $ \underline{x}$ eine Schar von Kurven $ \Gamma_t:s\mapsto x(s,t)$ durch diesen Punkt, $ x(0,t)=\underline{x}$. Die Umgebung sei genügend klein, so daß alle Verbindungskurven zweier Punkte ineinander verformt werden können. Für jeden Wert von $ t$ definiert die Lösung $ z^a(s,t)$ des gewöhnlichen Differentialgleichungssystems

$\displaystyle \frac{\partial z^a}{\partial s}= \frac{\partial x^i}{\partial s} u_i{}^a(x,z)\ ,\quad z^a(0,t)=\underline{y}^a\ ,$ (9.16)

stetig differenzierbare Funktionen von $ s$ und $ t$.

Für die Ableitung von $ \partial_t z^a - \partial_t x^i u_i{}^a(x,z)$ folgt wegen $ \partial_s\partial_t z^a=\partial_s\partial_t z^a$ nach Differenzieren und nach Einsetzen von (A.18)

\begin{displaymath}\begin{split}\frac{\partial}{\partial s} \bigl ( \frac{\parti...
...al_b u_i{}^a - u_i{}^b\partial_b u_j{}^a \bigr )\ . \end{split}\end{displaymath} (9.17)

Dies ist ein linear homogenes Differentialgleichungssystem für $ \partial_t z^a - \partial_t x^i u_i{}^a$, denn die zweite Zeile verschwindet (A.17), und die Lösung $ \partial_t z^a - \partial_t x^i u_i{}^a= 0$ ist eindeutig durch die Anfangswerte $ \partial_t z^a{}_{\vert _{s=0}}=0=\partial_t x^i{}_{\vert _{s=0}}$ bestimmt.

Wegen $ \partial_t z^a - \partial_t x^i u_i{}^a= 0$ hängt der Funktionswert $ z^a(s,t)$ nur vom Punkt $ x(s,t)$ und nicht von der Kurve $ \Gamma_t$ von $ \underline{x}$ nach $ x(s,t)$ ab: gehen nämlich zwei Kurven durch denselben Punkt $ \overline{x}$, so können sie ineinander verformt werden und gehören zu einer Schar $ \Gamma_t$ von Kurven durch diesen Punkt. Für diese Schar gilt $ x(\overline{s},t)=\overline{x}$ identisch in $ t$, also $ \partial_t x^i(\overline{s},t)=0$ und $ \partial_t z^a(\overline{s},t)=0$. Folglich hängt $ z^a(\overline{s},t)$ nicht von $ t$, also nicht von der Kurve zum Punkt $ \overline{x}$ ab. Es definiert daher $ z^a(s,t)$ durch $ z^a(s,t)=y^a(x(s,t))$ überall in der Umgebung von $ \underline{x}$ Funktionen $ y^a(x)$. Weil dort überall $ \partial_t z^a = \partial_t x^i \partial_i y^a = \partial_t x^i u_i{}^a$ gilt, egal welchen Wert $ \partial_t x^i$ hat, löst $ y^a(x)$ die Gleichung $ \partial_i y^a = u_i{}^a$ (A.16).




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