Satz von Frobenius

Wenn in einem $d$-dimensionalen Raum in einer Umgebung durch jeden Punkt mit Koordinaten $x^i,y^a$, $\ i=1,\dots,p$, $a=1,\dots, d- p,$ $p$-dimensionale Flächen $y^a(x)$ gehen, die die Differentialgleichungen

$$\theta^a:=dy^a - dx^i u_i{}^a=0 (\partial_i\partial_j-\partial_j\partial_i)y^a = 0$$

$$\partial_i y^a = u_i{}^a(x,y)\partial_i u_j{}^a + u_i{}^b\partial_b u_j{}^a -\partial_j u_i{}^a - u_j{}^b\partial_b u_i{}^a= 0$$ (9.15)

nicht nur als Identität in $x$, wenn man für $y$ eine Lösung $y(x)$ einsetzt, sondern als Identität in den Variablen $x$ und $y$, da (A.16) an jedem Punkt $x$ für alle $y$ gilt.

Umgekehrt existieren in einer genügend kleinen Umgebung jedes Punktes $\underline{x}$ Lösungen $y^a(x)$ von (A.16) für jeden beliebigen, bei $\underline{x}$ vorgegebenem Wert $\underline{y}^a=y^a(\underline{x})$, wenn die Integrabilitätsbedingung (A.17) identisch in $x$ und $y$ erfüllt ist.

Zum Beweis dieses Satzes von Frobenius betrachten wir in einer Umgebung eines Punktes $\underline{x}$ eine Schar von Kurven $\Gamma_t:s\mapsto x(s,t)$ durch diesen Punkt, $x(0,t)=\underline{x}$. Die Umgebung sei genügend klein, so daß alle Verbindungskurven zweier Punkte ineinander verformt werden können. Für jeden Wert von $t$ definiert die Lösung $z^a(s,t)$ des gewöhnlichen Differentialgleichungssystems

$$\frac{\partial z^a}{\partial s}= \frac{\partial x^i}{\partial s} u_i{}^a(x,z)\ ,\quad z^a(0,t)=\underline{y}^a\ ,$$ (9.16)

stetig differenzierbare Funktionen von $s$ und $t$.

Für die Ableitung von $\partial_t z^a - \partial_t x^i u_i{}^a(x,z)$ folgt wegen $\partial_s\partial_t z^a=\partial_s\partial_t z^a$ nach Differenzieren und nach Einsetzen von (A.18)

$$\begin{split}\frac{\partial}{\partial s} \bigl ( \frac{\parti... ...al_b u_i{}^a - u_i{}^b\partial_b u_j{}^a \bigr )\ . \end{split}$$ (9.17)

Dies ist ein linear homogenes Differentialgleichungssystem für $\partial_t z^a - \partial_t x^i u_i{}^a$, denn die zweite Zeile verschwindet (A.17), und die Lösung $\partial_t z^a - \partial_t x^i u_i{}^a= 0$ ist eindeutig durch die Anfangswerte $\partial_t z^a{}_{\vert _{s=0}}=0=\partial_t x^i{}_{\vert _{s=0}}$ bestimmt.

Wegen $\partial_t z^a - \partial_t x^i u_i{}^a= 0$ hängt der Funktionswert $z^a(s,t)$ nur vom Punkt $x(s,t)$ und nicht von der Kurve $\Gamma_t$ von $\underline{x}$ nach $x(s,t)$ ab: gehen nämlich zwei Kurven durch denselben Punkt $\overline{x}$, so können sie ineinander verformt werden und gehören zu einer Schar $\Gamma_t$ von Kurven durch diesen Punkt. Für diese Schar gilt $x(\overline{s},t)=\overline{x}$ identisch in $t$, also $\partial_t x^i(\overline{s},t)=0$ und $\partial_t z^a(\overline{s},t)=0$. Folglich hängt $z^a(\overline{s},t)$ nicht von $t$, also nicht von der Kurve zum Punkt $\overline{x}$ ab. Es definiert daher $z^a(s,t)$ durch $z^a(s,t)=y^a(x(s,t))$ überall in der Umgebung von $\underline{x}$ Funktionen $y^a(x)$. Weil dort überall $\partial_t z^a = \partial_t x^i \partial_i y^a = \partial_t x^i u_i{}^a$ gilt, egal welchen Wert $\partial_t x^i$ hat, löst $y^a(x)$ die Gleichung $\partial_i y^a = u_i{}^a$ (A.16).