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Gerade und ungerade Permutationen

Permutationen $ \pi$ der natürlichen Zahlen bis $ n$ sind invertierbare Selbstabbildungen

$\displaystyle \pi:(1,2,\dots, n)\mapsto (\pi(1),\pi(2),\dots,\pi(n))\ .$ (9.18)

Sie bilden die Permutationsgruppe von $ n$ Elementen, die auch symmetrische Gruppe heißt und daher mit S$ _n$ bezeichnet wird.

Die Abfolge $ a(\pi)$ zählt in $ (\pi(1),\pi(2),\dots,\pi(n))$ ab, wie oft ein $ \pi(i)$ größer als ein rechts davon stehendes $ \pi(j)$ ist. Mit der Stufenfunktion (5.76) schreibt sich die Abfolge als $ a(\pi)=\sum_{i<j}\Theta(\pi(i)-\pi(j))$. Wenn $ a(\pi)$ gerade ist, heißt $ \pi$ gerade, sonst ungerade. Das Signum $ \sign \pi=(-1)^{a(\pi)}$ einer Permutation ist $ 1$, wenn sie gerade ist, sonst $ -1$.

Jede Paarvertauschung $ (k,l)$, die $ k$ auf $ l$, $ l$ auf $ k$ und die übrigen Zahlen auf sich abbildet, verändert die Abfolge um eine ungerade Zahl, $ \sign ( (k,l)\circ \pi ) = - \sign (\pi)$. Dies sieht man zunächst für Nachbarvertauschungen $ (k,k+1)$ ein: sie ändern die Abfolge um $ \pm 1$, weil sie in genau einem Paar aus $ (\pi(1),\pi(2),\dots,\pi(n))$ ändern, ob die linksstehende Zahl größer als die rechtsstehende ist. Aus $ (l,k+1)=(k,k+1)\circ(l,k)\circ(k,k+1)$ folgt dann durch Induktion, daß jede Paarvertauschung die Abfolge einer Permutation um eine ungerade Anzahl ändert.

Es läßt sich jede Permutation $ \pi$ aus Paarvertauschungen zusammensetzen. Wenn die Abfolge $ a(\pi)$ gerade (ungerade) ist, muß die Zahl dieser Paarvertauschungen gerade (ungerade) sein. Also gibt $ \sign (\pi)$ an, ob $ \pi$ aus einer geraden oder ungeraden Anzahl von Paarvertauschungen zusammengesetzt ist, und es gilt

$\displaystyle \sign (\pi^\prime\circ\pi)=\sign (\pi^\prime)\sign (\pi)\ .$ (9.19)




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