Gerade und ungerade Permutationen

Permutationen $\pi$ der natürlichen Zahlen bis $n$ sind invertierbare Selbstabbildungen

$$\pi:(1,2,\dots, n)\mapsto (\pi(1),\pi(2),\dots,\pi(n))\ .$$ (9.18)

Sie bilden die Permutationsgruppe von $n$ Elementen, die auch symmetrische Gruppe heißt und daher mit S$_n$ bezeichnet wird.

Die Abfolge $a(\pi)$ zählt in $(\pi(1),\pi(2),\dots,\pi(n))$ ab, wie oft ein $\pi(i)$ größer als ein rechts davon stehendes $\pi(j)$ ist. Mit der Stufenfunktion (5.76) schreibt sich die Abfolge als $a(\pi)=\sum_{i<j}\Theta(\pi(i)-\pi(j))$. Wenn $a(\pi)$ gerade ist, heißt $\pi$ gerade, sonst ungerade. Das Signum $\sign \pi=(-1)^{a(\pi)}$ einer Permutation ist $1$, wenn sie gerade ist, sonst $-1$.

Jede Paarvertauschung $(k,l)$, die $k$ auf $l$, $l$ auf $k$ und die übrigen Zahlen auf sich abbildet, verändert die Abfolge um eine ungerade Zahl, $\sign ( (k,l)\circ \pi ) = - \sign (\pi)$. Dies sieht man zunächst für Nachbarvertauschungen $(k,k+1)$ ein: sie ändern die Abfolge um $\pm 1$, weil sie in genau einem Paar aus $(\pi(1),\pi(2),\dots,\pi(n))$ ändern, ob die linksstehende Zahl größer als die rechtsstehende ist. Aus $(l,k+1)=(k,k+1)\circ(l,k)\circ(k,k+1)$ folgt dann durch Induktion, daß jede Paarvertauschung die Abfolge einer Permutation um eine ungerade Anzahl ändert.

Es läßt sich jede Permutation $\pi$ aus Paarvertauschungen zusammensetzen. Wenn die Abfolge $a(\pi)$ gerade (ungerade) ist, muß die Zahl dieser Paarvertauschungen gerade (ungerade) sein. Also gibt $\sign (\pi)$ an, ob $\pi$ aus einer geraden oder ungeraden Anzahl von Paarvertauschungen zusammengesetzt ist, und es gilt

$$\sign (\pi^\prime\circ\pi)=\sign (\pi^\prime)\sign (\pi)\ .$$ (9.19)