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Differentialformen

Vektoren $ u_{1}, u_{2}, \dots, u_{p}$ des Tangentialraumes $ \mathcal{T}_x$ definieren im Tangentialraum die Punkte der Form $ u=\sum_{i=1}^p \lambda_i u_{i}$ mit $ 0 \le \lambda_i\le 1$, die Punkte der $ p$-Zelle $ (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{p})\,$. Für $ p=1$ sind dies die Punkte auf der Strecke zwischen 0 und $ u_1$, für $ p=2$ die Punkte des Parallelogramms mit Kanten $ u_1$ und $ u_2$. Die $ p$-Zelle, das zu $ u_{1}, u_{2}, \dots, u_{p}$ gehörige, orientierte Volumen, hat, wie wir sehen werden, einen Durchlaufsinn, der sich mit der Reihenfolge der Kanten ändert.

Zellen können einen Inhalt $ \omega(u_{1}, u_{2}, \dots, u_{p})$ haben, beispielsweise für $ p=3$ Masse oder Ladung in einem Volumenelement, für $ p=2$ Strom durch ein Flächenelement oder für $ p=1$ Arbeit längs eines Linienelements. Solch ein Inhalt der $ p$-Zelle vergrößert sich um einen Faktor $ a$, wenn wir einen der Vektoren $ u_{i}$ um $ a$ vergrößern, und er summiert sich, wenn einer der Vektoren als Summe zusammengesetzt ist. Inhalt der $ p$-Zelle ist eine multilineare Abbildung von $ p$ Tangentialvektoren bei $ x$ in die reellen Zahlen. Schreiben wir die übrigen Argumente nicht aus, so gilt für alle reellen Zahlen $ a$ und alle Vektoren $ u$ und $ v$

$\displaystyle \omega(\dots,au+v,\dots)=a\, \omega(\dots,u,\dots)+\omega(\dots,v,\dots)\ .$ (9.20)

Da $ a$ negativ sein kann, rechnen wir auch mit negativem Inhalt.

Stimmen zwei der Vektoren, die eine $ p$-Zelle aufspannen, überein, so verschwindet ihr Inhalt, denn sie ist höchstens $ p-1$-dimensional. Schreiben wir nur diese zwei Vektoren, so gilt also

$\displaystyle \omega(u,u)=0\quad \forall\ u\ ,$ (9.21)

und wegen der Bilinearität folgt

$\displaystyle 0=\omega(u+v,u+v)=\omega(u,u)+\omega(u,v)+\omega(v,u)+\omega(v,v)=0+\omega(u,v)+\omega(v,u)+0\ .$ (9.22)

Es ist also $ \omega$-Inhalt total antisymmetrisch - oder alternierend - in seinen Argumenten

$\displaystyle \omega(\dots,u, \dots,v,\dots)=-\omega(\dots,v, \dots,u,\dots)\ .$ (9.23)

Da sich das Vorzeichen des $ \omega$-Inhalts einer $ p$-Zelle bei Vertauschung von zwei aufspannenden Vektoren umdreht, kann man die $ p$-Zelle $ (u_1,u_2,\dots u_p)$ und die $ p$-Zelle der permutierten Vektoren nur dann miteinander identifizieren, wenn $ \pi$ eine gerade Permutation ist

$\displaystyle (u_{\pi(1)},u_{\pi(2)},\dots,u_{\pi(p)})=\sign (\pi)\,(u_1,u_2,\dots u_p)\ .$ (9.24)

Eine $ p$-Zelle ist durch die Reihenfolge der sie aufspannenden Vektoren orientiert und hat einen Durchlaufsinn, so wie ein Weg von $ \underline{x}$ nach $ \bar{x}$, den man als das Negative des umgekehrten Weges von $ \bar{x}$ nach $ \underline{x}$ auffassen kann.

Eine Differentialform $ \omega$ vom Grad $ p$ am Ort $ x$, oder kürzer eine $ p$-Form, ordnet jeder $ p$-Zelle $ (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{p})$ eine reelle Zahl $ \omega(u_{1}, u_{2}, \dots, u_{p})$, den $ \omega$-Inhalt der $ p$-Zelle, zu. Der $ \omega$-Inhalt ist multilinear und total antisymmetrisch.

In der Koordinatenbasis, $ u_{i}=u_{i}{}^m\partial_m$, hat $ \omega$ wegen der Multilinearität die Form

$\displaystyle \omega(u_{1}, u_{2}, \dots u_{p})= u_{1}{}^{m_1}u_{2}{}^{m_2}\dots u_{p}{}^{m_p}\, \omega_{m_1m_2\dots m_p}$ (9.25)

mit total antisymmetrischen Komponenten

$\displaystyle \omega_{m_1m_2\dots m_p}= \omega_{[m_1m_2\dots m_p]}=\omega(\partial_{m_1},\partial_{m_2},\dots,\partial_{m_p})\ .$ (9.26)

Dabei verwenden wir eckige oder runde Klammern um Indizes

$\displaystyle T_{[m_1m_2\dots m_p]}$ $\displaystyle =\sum_{\pi} \frac{1}{p!}\sign (\pi)\, T_{m_{\pi(1)}m_{\pi(2)}\dots m_{\pi(p)}}\ ,$ (9.27)
$\displaystyle T_{(m_1m_2\dots m_p)}$ $\displaystyle = \sum_\pi \frac{1}{p!}\,T_{m_{\pi(1)}m_{\pi(2)}\dots m_{\pi(p)}}$ (9.28)

zur Bezeichnung des total antisymmetrischen oder total symmetrischen Anteils. Die Summe erstreckt sich über alle Permutationen $ \pi$ der natürlichen Zahlen bis $ p$.

Weil in (A.27) die Komponenten $ u_{1}{}^{m_1}u_{2}{}^{m_2}\dots u_{p}{}^{m_p}$ mit $ \omega_{[m_1m_2\dots m_p]}$ summiert werden, trägt nur ihr total antisymmetrischer Anteil bei

$\displaystyle u_{1}{}^{[m_1}u_{2}{}^{m_2}\dots u_{p}{}^{m_p]}= u_{[1}{}^{m_1}u_...
...ilon^{i_1 i_2 \dots i_p} u_{i_1}{}^{m_1}u_{i_2}{}^{m_2}\dots u_{i_p}{}^{m_p}\ .$ (9.29)

Hierbei ist $ \varepsilon^{i_1i_2\dots i_p}$ total antisymmetrisch und ist definiert durch

$\displaystyle \varepsilon^{i_1i_2\dots i_p}= \left \{ \begin{array}{rlcl} 1\ , ...
...t{keine} &\text{Permutation von } 1,2,\dots,p \text{ ist.} \end{array} \right .$ (9.30)

Die $ p$-Formen, die $ (u_{1}, u_{2}, \dots u_{p})$ auf das antisymmetrisierte Produkt ihrer Komponenten abbilden

$\displaystyle dx^{m_1}dx^{m_2}\dots dx^{m_p}: (u_{1}, u_{2}, \dots u_{p})\mapst...
...ilon^{i_1 i_2 \dots i_p} u_{i_1}{}^{m_1}u_{i_2}{}^{m_2}\dots u_{i_p}{}^{m_p}\ ,$ (9.31)

sind das Koordinatenvolumen des $ p$-Zelle, die in den Unterraum projiziert wurde, der von $ \partial_{m_1}$, $ \partial_{m_2}$, ... $ \partial_{m_p}$ aufgespannt wird.

Da $ p$-Formen lineare Abbildungen sind, können sie addiert und mit Zahlen multipliziert werden. Bei $ d$-dimensionalen Räumen $ \mathcal{T}_x$ hat der Vektorraum der $ p$-Formen für $ 0\le p\le d$ die Dimension $ d!/(p!(d-p)!)$. Wie (A.27) und (A.31) zeigen, bilden die Koordinatenvolumina (A.33) mit $ m_1<m_2<\dots <m_p$ eine Basis

$\displaystyle \omega=\frac{1}{p!}\,dx^{m_1}dx^{m_2}\dots dx^{m_p}\omega_{m_1m_2...
...m_{m_1<m_2<\dots <m_p}dx^{m_1}dx^{m_2}\dots dx^{m_p}\omega_{m_1m_2\dots m_p}\ .$ (9.32)

Dabei haben wir mit der Notation der Koordinatenvolumina als Produkt von Einsformen vorweggenommen, daß $ p$-Formen $ \omega^{(p)}$ und $ q$-Formen $ \hat{\omega}^{(q)}$ multipliziert werden können. Ihr Produkt ist die $ p+q$-Form

\begin{equation*}\begin{aligned}\omega^{(p)}\hat{\omega}^{(q)}:\; &(u_{1}, \dots...
...\omega}^{(q)}(u_{\pi(p+1)}, \dots, u_{\pi(p+q)})\ . \end{aligned}\end{equation*}

Das Produkt ist bilinear, assoziativ und graduiert kommutativ, das heißt

$\displaystyle \omega^{(p)}\hat{\omega}^{(q)}=(-1)^{pq}\hat{\omega}^{(q)}\omega^{(p)}\ .$ (9.34)

Differentialformen aller Formengrade bilden nicht nur einen Vektorraum sondern darüber hinaus eine graduiert kommutative Algebra. Insbesondere antikommutieren Differentiale

$\displaystyle dx^mdx^n = - dx^n dx^m\ .$ (9.35)

Dieses Produkt von Differentialformen ist verschieden vom Tensorprodukt (A.83), bei dem nicht antisymmetrisiert wird, und vom symmetrischen Produkt zweier Differentiale, wie es bei der Metrik (A.68) auftritt. Zur deutlichen Unterscheidung der verschiedenen Produkte verwendet man häufig $ dx\wedge dy$, um das antisymmetrische Produkt zu kennzeichnen, $ dx \otimes dy$ für das Tensorprodukt und selten $ dx \vee dy$ für das symmetrisches Produkt. Solange aus dem Zusammenhang klar ist, welches Produkt gemeint ist, verwenden wir die leichter zu lesende Schreibweise $ dx dy$.

Die $ p$-Form (A.27) hängt nicht vom Koordinatensystem ab. Verwenden wir Koordinaten $ x^\prime$, um den Punkt $ x(x^\prime)$ zu bezeichnen, so hat $ \omega^\prime$ die Komponenten (A.28)

$\displaystyle \omega^\prime_{m_1\dots m_p}(x^\prime)= \omega(\partial^\prime_{m...
...ial x^{n_p}}{\partial x^{\prime\, m_p}}\, \omega_{n_1\dots n_p}(x(x^\prime))\ .$ (9.36)

Wenn wir $ dx^{\prime\,m}\frac{\partial x^{n}}{\partial x^{\prime\, m}}=dx^n$ (A.13) verwenden, folgt

$\displaystyle dx^{\prime\,m_1}dx^{\prime\,m_2}\dots dx^{\prime\,m_p}\omega^\pri...
...\prime) =dx^{n_1}dx^{n_2}\dots dx^{n_p}\omega_{n_1n_2\dots n_p}(x(x^\prime))\ .$ (9.37)




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