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Integrale

Differentialformen werden so wie Integranden geschrieben, denn ist eine $ p$-Form $ \omega$ an jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit $ \mathcal{M}$ gegeben, so definiert sie den Integranden eines Integrals über jede $ p$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $ \mathcal{F}\subset\mathcal{M}$, die durch eine invertierbare Abbildung $ \Phi:(s^1,s^2,\dots,s^p)\mapsto x(s)$ eines $ p$-dimensionalen Bereiches $ D\subset \mathbb{R}^p$ auf $ \mathcal{F}=\Phi(D)$ gegeben ist

$\displaystyle \int_{\mathcal{F}}\!\omega = \int_D\! d^p s\,\frac{1}{p!}\,\varep...
...s \frac{\partial x^{m_p}}{\partial s^{i_p}}\, \omega_{m_1m_2\dots m_p}(x(s))\ .$ (9.38)

Auf der rechten Seite ist $ x$ als Funktion der Parameter $ s^i$, $ \ i=1,\dots,p$, aufgefaßt und $ dx^m=\frac{\partial x^m}{\partial s^i} ds^i$ (A.13) als Parameterdifferential. Wegen $ ds^ids^j=-ds^j ds^i$ (A.37) ist das $ p$-fache Produkt von Differentialen $ ds^i$ total antisymmetrisch und daher

$\displaystyle ds^{i_1}ds^{i_2}\dots ds^{i_p}=\varepsilon^{i_1i_2\dots i_p}ds^1ds^2\dots ds^p =\varepsilon^{i_1i_2\dots i_p}d^ps\ .$ (9.39)

Das Integral (A.40) hängt nicht von der Parametrisierung der Untermannigfaltigkeit $ \mathcal{F}$ ab. Ist nämlich $ x^m(s^\prime(s))$ durch Parameter $ s^\prime$ parametrisiert, die ihrerseits invertierbar von $ s$ abhängen, dann gilt


und wegen der Definition (H.6) der Determinante


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$\displaystyle \frac{\partial }{\partial s^i}x^m(s...
...ial x^{m_p}}{\partial s^{\prime\, j_p}}\, \omega_{m_1m_2\dots m_p}(x(s^\prime))$ (9.40)

über den Bereich $ D^\prime=s^\prime(D)$ der Parameter $ s^\prime$ gleich.

Das Integral hängt wegen (A.39) auch nicht vom Koordinatensystem ab.




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