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Stokesscher Satz

Ist spezieller $ p=1$ und die Untermannigfaltigkeit $ \mathcal{F}$ eine Kurve $ \Gamma:s\mapsto x(s)$ von $ \underline{x}=x(0)$ zu $ \bar{x}=x(1)$, so definiert die Einsform $ \omega$ das Kurvenintegral

$\displaystyle \int_\Gamma \omega =\int_0^1\!ds\, \frac{dx^m}{ds}\omega_m(x(s))\ .$ (9.41)

Es ist ein Funktional der Kurve $ \Gamma$ und hängt normalerweise nicht nur von den Endpunkten ab.

Um die Abhängigkeit vom Weg zu untersuchen, betrachten wir eine Kurve $ \Gamma_1$, die bei festgehaltenen Endpunkten durch Verformung aus einer Kurve $ \Gamma_0$ hervorgeht. Das heißt: es gebe eine einparametrige Schar von Kurven $ \Gamma_t:s\mapsto x(t,s)$, $ 0\le t\le 1$, von $ \underline{x}$ nach $ \bar{x}$, $ x(t,0)=\underline{x}$, $ x(t,1)=\bar{x}$.

Als Abbildung des zweiparametrigen Bereiches betrachtet sei $ x(t,s)$ eine Fläche $ F$. Sie wird berandet von dem zusammengesetzten, geschlossenen Weg $ \Gamma=\Gamma_1 -\Gamma_0$ von $ \underline{x}$ längs $ \Gamma_1$ nach $ \bar{x}$ und dann längs der rückwärts durchlaufenen Kurve $ \Gamma_0$ zurück nach $ \underline{x}$. Wir bezeichnen den Rand von $ F$ mit $ \partial F$ (lies Rand von $ F$) und notieren

$\displaystyle \Gamma = \Gamma_1-\Gamma_0=\partial F\ .$ (9.42)

Die Integrale über die Kurven $ \Gamma_t$ ändern sich mit dem Parameter $ t$ um

\begin{equation*}\begin{aligned}\frac{d}{dt} \int_{\Gamma_t}\! \omega &=\int_0^1...
...al_{x^n}\omega_m - \partial_{x^m}\omega_n\bigr )\ . \end{aligned}\end{equation*}

Der $ \frac{\partial}{\partial s}$-Term kann integriert werden und ergibt Null, denn $ \frac{\partial x^n}{\partial t}$ verschwindet für $ s=0$ und $ s=1$. Integrieren wir schließlich über $ t$ von $ t=0$ bis $ t=1$, so erhalten wir

$\displaystyle \int_{\Gamma_1}\!\omega -\int_{\Gamma_0}\!\omega = \int_\Gamma\! ...
...r )\frac{1}{2} \bigl (\partial_{x^n}\omega_m - \partial_{x^m}\omega_n\bigr )\ .$ (9.44)

Die rechte Seite ist das Integral (A.40) über die Fläche $ F$, die von $ \Gamma$ berandet wird, und dessen Integrand die Zweiform

$\displaystyle d\omega= dx^ndx^m \frac{1}{2}(\partial_{n}\omega_m - \partial_{m}\omega_n\bigr )$ (9.45)

ist. In dieser Notation formulieren wir (A.49) kurz und knapp als Stokesschen Satz

$\displaystyle \int_F d\omega= \int_{\partial F}\omega \ .$ (9.46)

Falls $ d\omega$ (A.50) überall verschwindet, liegt der Spezialfall der Integrabilitätsbedingung (A.17) vor, in dem $ a$ nur einen Wert annimmt, $ i$ die Werte $ 1$ bis $ d$ durchläuft und $ u_i{}^a$ nicht von $ y$ abhängt. Das Kurvenintegral

$\displaystyle f(\bar{x})=f(\underline{x})+ \int_{\Gamma}\omega =f(\underline{x})+ \int_0^1ds \frac{dx^m}{ds}\omega_m(x(s))$ (9.47)

ist die Lösung von (A.18) für $ s=1$ und definiert nach dem Satz von Frobenius in einfach zusammenhängenden Gebieten, in denen alle Verbindungskurven zweier Punkte ineinander verformt werden können, eine bis auf die Integrationskonstante $ f(\underline{x})$ eindeutige, von der Verbindungskurve $ \Gamma$ unabhängige Funktion $ f$ des Endpunktes $ \bar{x}$, die die Differentialgleichung (A.16)

$\displaystyle \partial_m f = \omega_m$ (9.48)

löst. In einfach zusammenhängenden Gebieten gilt folglich für Einsformen $ \omega$ das Lemma von Poincaré

\begin{equation*}\begin{aligned}\partial_m\omega_n-\partial_n\omega_m=0\quad &\L...
...rightarrow\quad & & \exists f\ :\ &\omega & = df\ . \end{aligned}\end{equation*}

Gleichung (A.52) ist die eindimensionale Version des Stokesschen Satzes

$\displaystyle \int_\Gamma d f = \int_{\partial \Gamma}f= f(\bar{x}) - f(\underline{x})\ ,$ (9.50)

wenn wir Funktionen $ f$ als Nullformen auffassen, deren nulldimensionales Integral über einen Punkt einfach den Funktionswert ergibt. Der Rand der Kurve $ \Gamma$ trägt orientiert bei: auf die Kurve bezogen wird der Endpunkt $ \bar{x}$ nach außen und der Anfangspunkt $ \underline{x}$ nach innen durchlaufen.




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