Stokesscher Satz

Ist spezieller $p=1$ und die Untermannigfaltigkeit $\mathcal{F}$ eine Kurve $\Gamma:s\mapsto x(s)$ von $\underline{x}=x(0)$ zu $\bar{x}=x(1)$, so definiert die Einsform $\omega$ das Kurvenintegral

$$\int_\Gamma \omega =\int_0^1\!ds\, \frac{dx^m}{ds}\omega_m(x(s))\ .$$ (9.41)

Es ist ein Funktional der Kurve $\Gamma$ und hängt normalerweise nicht nur von den Endpunkten ab.

Um die Abhängigkeit vom Weg zu untersuchen, betrachten wir eine Kurve $\Gamma_1$, die bei festgehaltenen Endpunkten durch Verformung aus einer Kurve $\Gamma_0$ hervorgeht. Das heißt: es gebe eine einparametrige Schar von Kurven $\Gamma_t:s\mapsto x(t,s)$, $0\le t\le 1$, von $\underline{x}$ nach $\bar{x}$, $x(t,0)=\underline{x}$, $x(t,1)=\bar{x}$.

Als Abbildung des zweiparametrigen Bereiches betrachtet sei $x(t,s)$ eine Fläche $F$. Sie wird berandet von dem zusammengesetzten, geschlossenen Weg $\Gamma=\Gamma_1 -\Gamma_0$ von $\underline{x}$ längs $\Gamma_1$ nach $\bar{x}$ und dann längs der rückwärts durchlaufenen Kurve $\Gamma_0$ zurück nach $\underline{x}$. Wir bezeichnen den Rand von $F$ mit $\partial F$ (lies Rand von $F$) und notieren

$$\Gamma = \Gamma_1-\Gamma_0=\partial F\ .$$ (9.42)

Die Integrale über die Kurven $\Gamma_t$ ändern sich mit dem Parameter $t$ um

$$\begin{aligned}\frac{d}{dt} \int_{\Gamma_t}\! \omega &=\int_0^1... ...al_{x^n}\omega_m - \partial_{x^m}\omega_n\bigr )\ . \end{aligned}$$

Der $\frac{\partial}{\partial s}$-Term kann integriert werden und ergibt Null, denn $\frac{\partial x^n}{\partial t}$ verschwindet für $s=0$ und $s=1$. Integrieren wir schließlich über $t$ von $t=0$ bis $t=1$, so erhalten wir

$$\int_{\Gamma_1}\!\omega -\int_{\Gamma_0}\!\omega = \int_\Gamma\! ... ...r )\frac{1}{2} \bigl (\partial_{x^n}\omega_m - \partial_{x^m}\omega_n\bigr )\ .$$ (9.44)

Die rechte Seite ist das Integral (A.40) über die Fläche $F$, die von $\Gamma$ berandet wird, und dessen Integrand die Zweiform

$$d\omega= dx^ndx^m \frac{1}{2}(\partial_{n}\omega_m - \partial_{m}\omega_n\bigr )$$ (9.45)

ist. In dieser Notation formulieren wir (A.49) kurz und knapp als Stokesschen Satz

$$\int_F d\omega= \int_{\partial F}\omega \ .$$ (9.46)

Falls $d\omega$ (A.50) überall verschwindet, liegt der Spezialfall der Integrabilitätsbedingung (A.17) vor, in dem $a$ nur einen Wert annimmt, $i$ die Werte $1$ bis $d$ durchläuft und $u_i{}^a$ nicht von $y$ abhängt. Das Kurvenintegral

$$f(\bar{x})=f(\underline{x})+ \int_{\Gamma}\omega =f(\underline{x})+ \int_0^1ds \frac{dx^m}{ds}\omega_m(x(s))$$ (9.47)

ist die Lösung von (A.18) für $s=1$ und definiert nach dem Satz von Frobenius in einfach zusammenhängenden Gebieten, in denen alle Verbindungskurven zweier Punkte ineinander verformt werden können, eine bis auf die Integrationskonstante $f(\underline{x})$ eindeutige, von der Verbindungskurve $\Gamma$ unabhängige Funktion $f$ des Endpunktes $\bar{x}$, die die Differentialgleichung (A.16)

$$\partial_m f = \omega_m$$ (9.48)

löst. In einfach zusammenhängenden Gebieten gilt folglich für Einsformen $\omega$ das Lemma von Poincaré

$$\begin{aligned}\partial_m\omega_n-\partial_n\omega_m=0\quad &\L... ...rightarrow\quad & & \exists f\ :\ &\omega & = df\ . \end{aligned}$$

Gleichung (A.52) ist die eindimensionale Version des Stokesschen Satzes

$$\int_\Gamma d f = \int_{\partial \Gamma}f= f(\bar{x}) - f(\underline{x})\ ,$$ (9.50)

wenn wir Funktionen $f$ als Nullformen auffassen, deren nulldimensionales Integral über einen Punkt einfach den Funktionswert ergibt. Der Rand der Kurve $\Gamma$ trägt orientiert bei: auf die Kurve bezogen wird der Endpunkt $\bar{x}$ nach außen und der Anfangspunkt $\underline{x}$ nach innen durchlaufen.