Äußere Ableitung

Passend zur bisherigen Schreibweise definieren wir als äußere Ableitung $d$ der $p$-Form $\omega=1/p!\, dx^{m_1}\dots dx^{m_p}\omega_{m_1\dots m_p}$ die $p+1$-Form

$$\begin{aligned}d \omega &= dx^{m_0} dx^{m_1}\dots dx^{m_p}\part... ...l_{m_l}\omega_{m_{l+1}\dots m_pm_0\dots m_{l-1}}\ . \end{aligned}$$

Da das Produkt von Koordinatendifferentialen total antisymmetrisch ist, trägt zur äußeren Ableitung nur die antisymmetrisierte partielle Ableitung der Komponentenfunktionen bei. Sie sind antisymmetrisch, daher reicht es, zur Antisymmetrisierung (A.29) über die $p+1$ zyklischen Vertauschungen der Indizes zu summieren und dabei das Vorzeichen $\sign (\pi)$ zu berücksichtigen. Die $l$-fach zyklische Vertauschung von $p+1$-Indizes ist ungerade, wenn $lp$ ungerade ist.

Die äußere Ableitung hängt nicht vom Koordinatensystem ab. Drücken wir $\omega_{m_1\dots m_p}$ durch die Komponenten $\omega^\prime_{n_1 \dots n_p}$ aus (A.39), und leiten wir ab

$$\partial_{[m_0}\bigl ( \frac{\partial x^{\prime\,n_1}}{\partial x... ...l x^{\prime\,n_p}}{\partial x^{m_p]}} \, \omega^\prime_{n_1\dots n_p}\bigr )\ ,$$ (9.52)

so verschwinden wegen der Antisymmetrisierung $\frac{\partial^2 x^{\prime\,n}}{\partial x^{[m_0}\partial x^{m]}}$ und die Ableitung wirkt als $\partial_{m_0}=\frac{\partial x^{\prime n_0}}{\partial x^{m_0}}\partial^\prime_{n_0}$ nur auf $\omega^\prime_{n_1 \dots n_p}$. Die Differentiale fassen wir mit $dx^m \frac{\partial x^{\prime\, n}}{\partial x^{m}}=dx^{\prime\, n}$ zusammen

$$p! d \omega = dx^{m_0} dx^{m_1}\dots dx^{m_p}\partial_{m_0}\omega... ..._1} \dots dx^{\prime\, n_p}\partial^\prime_{n_0}\omega^\prime_{n_1\dots n_p}\ .$$ (9.53)

Man bestätigt leicht, daß $d$ linear ist, auf Produkte von $p$- und $q$-Formen mit der graduierten Produktregel

$$d (\omega^{(p)}\hat{\omega}^{(q)})= (d \omega^{(p)})\hat{\omega}^{(q)}+ (-1)^p \omega^{(p)}(d\hat{\omega}^{(q)})d ( d \omega ) = 0\ .$$ (9.54)

In sternförmigen Gebieten, die mit jedem Punkt $x$ auch die Verbindungsstrecke $\lambda x$, $0\le\lambda\le 1$, zum Ursprung enthalten, gilt das Poincaré-Lemma

$$d \omega = 0 \Leftrightarrow \omega = + d \alpha$$ (9.55)

Die Folgerung von rechts nach links ist selbstverständlich, denn die äußere Ableitung einer konstanten Funktion verschwindet und $d$ ist nilpotent. Verschwindet umgekehrt die äußere Ableitung einer Nullform, so ist die Funktion konstant. Diese von $x$ und $dx$ unabhängige Konstante ist keine äußere Ableitung, da sie kein $dx$ enthält.

Verschwindet in einem sternförmigen Gebiet die äußere Ableitung $d\omega$ einer $p$-Form mit $p>0$, so schreiben wir $\omega(x)$ als ein Integral längs des Strahls vom Ursprung,^9.3und verwenden die Antisymmetrie von $\omega_{m_1\dots m_p}$ sowie $(-1)^p=(-1)^{-p}\,$,

$$\omega_{m_1\dots m_p }(x) =\int_0^1d\lambda\,\frac{d}{d\lambda}\bigl ( \lambda^p\, \omega_{m_1\dots m_p}(\lambda x) \bigr )$$

$$=\int_0^1d\lambda\,p\,\lambda^{p-1}\omega_{m_1\dots m_p \vert _{\... ...da x}}+ \lambda^p x^{m_0}\partial_{m_0}\omega_{m_1\dots m_p \vert _{\lambda x}}$$

$$\stackrel{d\omega=0}{=}\int_0^1d\lambda\,p\,\lambda^{p-1}\omega_{... ...lp}\partial_{m_l}\omega_{m_{l+1}\dots m_p m_0 \dots m_{l-1} \vert _{\lambda x}}$$

$$=\int_0^1d\lambda\,p\,\lambda^{p-1}\omega_{m_1\dots m_p \vert _{\... ...partial_{m_l}\omega_{m_0 m_{l+1}\dots m_p m_1 \dots m_{l-1} \vert _{\lambda x}}$$

$$=\sum_{l=1}^p (-1)^{(l-1)(p-1)}\partial_{m_l}\bigl ( \int_0^1 d\l... ...{p-1}x^{m_0}\omega_{m_0m_{l+1}\dots m_p m_1\dots m_{l-1}}(\lambda x) \bigr )\ .$$ (9.56)

Es ist also $\omega = d\alpha$ und $\alpha=dx^{m_2}\dots dx^{m_p}\alpha_{m_2 \dots m_p}/(p-1)!$ hat die Komponenten

$$\alpha_{m_2 \dots m_{p}}(x)= \int_0^1 d\lambda\, \lambda^{p-1}x^{m_1}\omega_{m_1 m_2\dots m_{p}}(\lambda x)\ .$$ (9.57)

Für eine sternförmige Untermannigfaltigkeit $\mathcal{F}$ folgt hieraus der Satz von Stokes. Man kann sie in Strahlen vom Ursprung zu den Randpunkten $\bar{x}(s^2,\dots,s^p)$ zerlegen und mit $x(\lambda,s^2\dots s^p)=\lambda \bar{x}(s^2,\dots,s^p)$, $0\le\lambda\le 1$, parametrisieren. Das Integral (A.40) über $\partial \mathcal{F}$ über die $p-1$-Form $\alpha$ ist nach (A.63) gleich dem Integral über $\mathcal{F}$ über die $p$-Form $d\alpha$

$$\begin{aligned}\int_{\partial \mathcal{F}}\alpha &= \int \varep... ...{p}}(\lambda \bar{x}) =\int_{\mathcal{F}} \omega\ . \end{aligned}$$

Denn es gilt $\bar{x}^m =\frac{\partial x^m}{\partial \lambda}$ und $\lambda \frac{\partial \bar{x}^m}{\partial s^i}=\frac{\partial x^m}{\partial s^i}$. Wenn wir $\lambda$ in $s^1$ umbenennen und berücksichtigen, daß die Summe mit $\varepsilon^{i_1i_2\dots i_p}$ mit $p$ Indizes $p$ mal soviele Terme hat wie die Summe mit $\varepsilon^{i_2\dots i_p}$ mit $p-1$ Indizes, dann ist dies das Integral über $\mathcal{F}$ über die $p\,$-Form $\omega = d\alpha$.

$$\int_{\partial \mathcal{F}}\alpha = \int_{\mathcal{F}}d\alpha$$ (9.59)