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Äußere Ableitung

Passend zur bisherigen Schreibweise definieren wir als äußere Ableitung $ d$ der $ p$-Form $ \omega=1/p!\, dx^{m_1}\dots dx^{m_p}\omega_{m_1\dots m_p}$ die $ p+1$-Form

\begin{equation*}\begin{aligned}d \omega &= dx^{m_0} dx^{m_1}\dots dx^{m_p}\part...
...l_{m_l}\omega_{m_{l+1}\dots m_pm_0\dots m_{l-1}}\ . \end{aligned}\end{equation*}

Da das Produkt von Koordinatendifferentialen total antisymmetrisch ist, trägt zur äußeren Ableitung nur die antisymmetrisierte partielle Ableitung der Komponentenfunktionen bei. Sie sind antisymmetrisch, daher reicht es, zur Antisymmetrisierung (A.29) über die $ p+1$ zyklischen Vertauschungen der Indizes zu summieren und dabei das Vorzeichen $ \sign (\pi)$ zu berücksichtigen. Die $ l$-fach zyklische Vertauschung von $ p+1$-Indizes ist ungerade, wenn $ lp$ ungerade ist.

Die äußere Ableitung hängt nicht vom Koordinatensystem ab. Drücken wir $ \omega_{m_1\dots m_p}$ durch die Komponenten $ \omega^\prime_{n_1 \dots n_p}$ aus (A.39), und leiten wir ab

$\displaystyle \partial_{[m_0}\bigl ( \frac{\partial x^{\prime\,n_1}}{\partial x...
...l x^{\prime\,n_p}}{\partial x^{m_p]}} \, \omega^\prime_{n_1\dots n_p}\bigr )\ ,$ (9.52)

so verschwinden wegen der Antisymmetrisierung $ \frac{\partial^2 x^{\prime\,n}}{\partial x^{[m_0}\partial x^{m]}}$ und die Ableitung wirkt als $ \partial_{m_0}=\frac{\partial x^{\prime n_0}}{\partial x^{m_0}}\partial^\prime_{n_0}$ nur auf $ \omega^\prime_{n_1 \dots n_p}$. Die Differentiale fassen wir mit $ dx^m \frac{\partial x^{\prime\, n}}{\partial x^{m}}=dx^{\prime\, n} $ zusammen

$\displaystyle p! d \omega = dx^{m_0} dx^{m_1}\dots dx^{m_p}\partial_{m_0}\omega...
..._1} \dots dx^{\prime\, n_p}\partial^\prime_{n_0}\omega^\prime_{n_1\dots n_p}\ .$ (9.53)

Man bestätigt leicht, daß $ d$ linear ist, auf Produkte von $ p$- und $ q$-Formen mit der graduierten Produktregel


wirkt und nilpotent ist, weil antisymmetrisierte, zweifache Ableitungen verschwinden


$\displaystyle d (\omega^{(p)}\hat{\omega}^{(q)})= (d \omega^{(p)})\hat{\omega}^{(q)}+ (-1)^p \omega^{(p)}(d\hat{\omega}^{(q)})d ( d \omega ) = 0\ .$ (9.54)

In sternförmigen Gebieten, die mit jedem Punkt $ x$ auch die Verbindungsstrecke $ \lambda x$, $ 0\le\lambda\le 1$, zum Ursprung enthalten, gilt das Poincaré-Lemma

$\displaystyle d \omega = 0 \Leftrightarrow \omega =$   konst$\displaystyle + d \alpha$ (9.55)

Die Folgerung von rechts nach links ist selbstverständlich, denn die äußere Ableitung einer konstanten Funktion verschwindet und $ d$ ist nilpotent. Verschwindet umgekehrt die äußere Ableitung einer Nullform, so ist die Funktion konstant. Diese von $ x$ und $ dx$ unabhängige Konstante ist keine äußere Ableitung, da sie kein $ dx$ enthält.

Verschwindet in einem sternförmigen Gebiet die äußere Ableitung $ d\omega$ einer $ p$-Form mit $ p>0$, so schreiben wir $ \omega(x)$ als ein Integral längs des Strahls vom Ursprung,9.3und verwenden die Antisymmetrie von $ \omega_{m_1\dots m_p}$ sowie $ (-1)^p=(-1)^{-p}\,$,

$\displaystyle \omega_{m_1\dots m_p }(x)$ $\displaystyle =\int_0^1d\lambda\,\frac{d}{d\lambda}\bigl ( \lambda^p\, \omega_{m_1\dots m_p}(\lambda x) \bigr )$    
  $\displaystyle =\int_0^1d\lambda\,p\,\lambda^{p-1}\omega_{m_1\dots m_p \vert _{\...
...da x}}+ \lambda^p x^{m_0}\partial_{m_0}\omega_{m_1\dots m_p \vert _{\lambda x}}$    
  $\displaystyle \stackrel{d\omega=0}{=}\int_0^1d\lambda\,p\,\lambda^{p-1}\omega_{...
...lp}\partial_{m_l}\omega_{m_{l+1}\dots m_p m_0 \dots m_{l-1} \vert _{\lambda x}}$    
  $\displaystyle =\int_0^1d\lambda\,p\,\lambda^{p-1}\omega_{m_1\dots m_p \vert _{\...
...partial_{m_l}\omega_{m_0 m_{l+1}\dots m_p m_1 \dots m_{l-1} \vert _{\lambda x}}$    
  $\displaystyle =\sum_{l=1}^p (-1)^{(l-1)(p-1)}\partial_{m_l}\bigl ( \int_0^1 d\l...
...{p-1}x^{m_0}\omega_{m_0m_{l+1}\dots m_p m_1\dots m_{l-1}}(\lambda x) \bigr )\ .$ (9.56)

Es ist also $ \omega = d\alpha$ und $ \alpha=dx^{m_2}\dots dx^{m_p}\alpha_{m_2 \dots m_p}/(p-1)!$ hat die Komponenten

$\displaystyle \alpha_{m_2 \dots m_{p}}(x)= \int_0^1 d\lambda\, \lambda^{p-1}x^{m_1}\omega_{m_1 m_2\dots m_{p}}(\lambda x)\ .$ (9.57)

Für eine sternförmige Untermannigfaltigkeit $ \mathcal{F}$ folgt hieraus der Satz von Stokes. Man kann sie in Strahlen vom Ursprung zu den Randpunkten $ \bar{x}(s^2,\dots,s^p)$ zerlegen und mit $ x(\lambda,s^2\dots s^p)=\lambda \bar{x}(s^2,\dots,s^p)$, $ 0\le\lambda\le 1$, parametrisieren. Das Integral (A.40) über $ \partial \mathcal{F}$ über die $ p-1$-Form $ \alpha$ ist nach (A.63) gleich dem Integral über $ \mathcal{F}$ über die $ p$-Form $ d\alpha$

\begin{equation*}\begin{aligned}\int_{\partial \mathcal{F}}\alpha &= \int \varep...
...{p}}(\lambda \bar{x}) =\int_{\mathcal{F}} \omega\ . \end{aligned}\end{equation*}

Denn es gilt $ \bar{x}^m =\frac{\partial x^m}{\partial \lambda}$ und $ \lambda \frac{\partial \bar{x}^m}{\partial s^i}=\frac{\partial x^m}{\partial s^i}$. Wenn wir $ \lambda$ in $ s^1$ umbenennen und berücksichtigen, daß die Summe mit $ \varepsilon^{i_1i_2\dots i_p}$ mit $ p$ Indizes $ p$ mal soviele Terme hat wie die Summe mit $ \varepsilon^{i_2\dots i_p}$ mit $ p-1$ Indizes, dann ist dies das Integral über $ \mathcal{F}$ über die $ p\,$-Form $ \omega = d\alpha$.

$\displaystyle \int_{\partial \mathcal{F}}\alpha = \int_{\mathcal{F}}d\alpha$ (9.59)




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