Metrik

In den Mannigfaltigkeiten, die wir betrachten, ist eine Metrik gegeben, das heißt ein reelles Skalarprodukt $g(u,v)=u\cdot v$ von Tangentialvektoren am selben Punkt, das symmetrisch, bilinear und nicht entartet ist

$$u \cdot u u u \cdot v=\frac{1}{4}\bigl((u+v)\cdot(u+v) - (u-v)\cdot (u-v)\bigl ) \partial_m x g_{mn}(x) x$$

$$u\cdot v = v\cdot u\ ,\quad u\cdot (v+w) = u\cdot v+ u\cdot w\ ,\... ..._m,\partial_n)\ ,\quad g(u,v)=g(u^m\partial_m,v^n\partial_n) = g_{mn}u^m v^n\ .$$ (9.60)

Mit dem symmetrischen Produkt von Differentialen $dx^mdx^n:(u,v)\mapsto (u^mv^n+u^nv^m)/2$, läßt sich die Metrik als symmetrische Differentialform $g$ schreiben

$$g=g_{mn}dx^mdx^n \ .$$ (9.61)

Wir vermeiden die traditionelle Bezeichnung $ds^2$, denn $g$ ist nicht die Ableitung $d$ einer Funktion $s^2$ und auch nicht das Quadrat eines Differentials $ds$, sondern $g$ ordnet einem Vektor $u$ sein Längenquadrat $g(u,u)$ zu.

Weil die Metrik nicht entartet ist

$$g_{..} g_{mn}$$

$$g_{mn}u^n = 0 \Rightarrow u^n = 0\ ,g^{nr}g_{rm}=\delta^n{}_m\ .$$ (9.62)

Dabei bezeichnet man die Matrixelemente der inversen Matrix $g_{..}{}^{-1}$ einfach mit $g^{nm}$ und entnimmt der Indexstellung, daß es sich um die inverse Metrik handelt.

Man kann an jedem Punkt eine Basis von Vektoren $e_a$, $a=1,\dots, d = p+q$, mit Komponenten $e_a{}^m$ wählen, so daß die Vektoren aufeinander senkrecht und normiert sind

$$e_a\cdot e_b = e_a{}^m e_b{}^n g_{mn}=\eta_{ab} =\left\{ \begin{a... ...ts,p\}\ ,\\ -1& \mbox{falls}& a=b\in\{p+1,\dots,d=p+q\}\ . \end{array} \right .$$ (9.63)

Die Zahl $p-q$ heißt Signatur der Metrik.

Die Matrix $\eta$ stimmt mit ihrem Inversen $\eta^{-1}$ überein, deren Matrixelemente wir als $\eta^{ab}$, $\eta^{ab}=\eta_{ab}$, schreiben

$$\eta^{ab}\eta_{bc}=\delta^a{}_c\ .$$ (9.64)

Eine Orthonormalbasis $e_a$ heißt in der vierdimensionalen Raumzeit Vierbein, im dreidimensionalen Räumen Dreibein und allgemeiner Vielbein. Sie ist durch die Bedingung, orthonormal zu sein, an jedem Punkt bis auf eine Lorentztransformation $e_a^\prime = \Lambda^b{}_a e_b$, $\Lambda\in \mathrm{O}(p,q)$, festgelegt.

Die Komponenten $u^m$ eines Vektors $u=u^m\partial_m$ bezeichnen wir als Raumzeitkomponenten und indizieren sie mit Buchstaben aus der Mitte des Alphabets. Schreiben wir $u=u^a e_a$ als Linearkombination des Vielbeins, so nennen wir $u^a=\eta^{ab}u\cdot e_b$ die Vielbeinkomponenten und wählen zur Unterscheidung ihre Indizes vom Anfang des Alphabets. Die Vielbeinkomponenten $u^a$ hängen umkehrbar mit den Raumzeitkomponenten $u^m$ zusammen

$$u^m = u^a e_a{}^m \ ,\quad u^a = u^m e_m{}^a \ ,\quad e_m{}^a = \eta^{ab}g_{mn}e_b{}^n\ .$$ (9.65)

Daß es sich bei $e_m{}^a$ um die Matrixelemente der Matrix handelt, die invers ist zu der Matrix, die die Komponenten $e_a{}^m$ des Vielbeins enthält,

$$e_m{}^a e_a{}^n = \delta_m{}^n\ ,\quad e_b{}^m e_m{}^a = \delta_b{}^a\ ,$$ (9.66)

wird nicht als $e^{-1}{}_m{}^a$ geschrieben, sondern kürzer durch die Indexstellung angezeigt.

Mit der Vielbeinform

$$e^a = dx^m e_m{}^a\ ,$$ (9.67)

die Vektoren $u$ auf ihre Vielbeinkomponenten $u^a=e^a(u)$ abbilden (A.12), und ihrem symmetrischen Produkt, $e^ae^b:(u,v)\mapsto (u^av^b+u^bv^a)/2$, läßt sich die Metrik (A.68) auch als $g= \eta_{ab}\,e^a e^b$ schreiben.