Tensoren

Reelle Tensorfelder $T(u,\dots,v,\omega,\dots,\chi)$ der Stufe $(r,s)$ sind an jedem Punkt $x$ Abbildungen von $\mathcal{T}_x{}^r\otimes \mathcal{T}_x^{*\,s}\rightarrow \mathbb{R}$, die in jedem Argument linear sind und $r$ Vektoren $u, \dots, v$ am Punkt $x$ und $s$ duale Vektoren $\omega, \dots,\chi$ am Punkt $x$ in die reellen Zahlen abbilden.

Tensoren treten auf viele Arten in der Geometrie auf, wann immer eine geometrische Größe proportional zu Vektoren ist, wie zum Beispiel Differentialformen, das Skalarprodukt $u\cdot v=g_{mn}u^mv^n$ von Vektoren oder die Krümmung, die linear von den Kanten eines Flächenelementes abhängt. $p$-Formen sind Tensoren der Stufe $(p,0)$, die Feldstärke ist ein liealgebrawertiger Tensor der Stufe $(2,0)$ und die Krümmung zeigt sich am Riemanntensor, einem Tensor der Stufe $(3,1)$. Funktionen (A.2) sind Tensorfelder der Stufe $(0,0)$ und heißen, wenn man ihr Transformationsgesetz betonen will, Skalarfelder.

Weil Tensoren in jedem Argument linear sind, haben sie in einer Basis $e_a$, in der sich Vektoren als $u=u^a e_a$ mit Komponenten $u^a$ schreiben, und in der sich duale Vektoren mit Komponenten $\omega_a$ in der dualen Basis $e^a$ als $\omega=\omega_a e^a$ schreiben, die Form

$$T(u,\dots,v,\omega,\dots,\chi)= T_{a_1\dots a_r}{}^{b_1\dots b_s}u^{a_1}\dots v^{a_r}\omega_{b_1}\dots\chi_{b_s}\ .$$ (9.68)

Dabei sind alle Komponentenfunktionen am jeweiligen Punkt $x$ zu nehmen. Die Komponentenfunktionen des Tensors erhält man, wenn man als Argumente $u,\dots,v,\omega,\dots,\chi$ die Basisvektoren $e_{a_1},\dots,e_{a_r},e^{b_1},\dots,e^{b_s}$ einsetzt

$$T_{a_1\dots a_r}{}^{b_1\dots b_s}(x) = T(e_{a_1},\dots,e_{a_r},e^{b_1},\dots,e^{b_s})_{\vert _x}\ .$$ (9.69)

Insbesondere sind die Komponenten in einer Koordinatenbasis

$$T_{m_1\dots m_r}{}^{n_1\dots n_s}(x)=T(\partial_{m_1},\dots,\partial_{m_r},dx^{n_1},\dots,dx^{n_s})_{\vert _x}\ .$$ (9.70)

Dasselbe Tensorfeld hat im Koordinatensystem $x^\prime (x)$ wegen (A.7) und (A.14) in der Koordinatenbasis die Komponentenfelder

$$T^\prime_{k_1\dots k_r}{}^{l_1\dots l_s}(x^\prime)= \frac{\partia... ...ime\, l_s}}{\partial x^{n_s}} T_{m_1\dots m_r}{}^{n_1\dots n_s}(x(x^\prime))\ .$$ (9.71)

Diese lineare Transformation der Tensorkomponentenfelder heißt Tensortransformation. Am Indexbild der Tensorkomponenten läßt sich ablesen, welche Produkte von Jacobimatrizen auftreten, zum Beispiel transformieren die Komponenten der Metrik, wie ihr Indexbild anzeigt, mit zwei Jacobimatrizen $\frac{\partial x}{\partial x^\prime}$, $g^\prime_{mn}(x^\prime)=\frac{\partial x^k}{\partial x^{\prime m}}\frac{\partial x^l}{\partial x^{\prime n}}g_{kl}(x(x^\prime))$.

Wir bezeichnen mit $\mathrm{g}$ den Betrag der Determinante der Matrix $g_{..}$ mit Elementen $g_{mn}$ (H.13). Das Transformationsgesetz der Metrik besagt $\mathrm{g}^\prime= (\det\frac{\partial x}{\partial x^\prime})^2 \mathrm{g}$. Daher definiert $\sqrt{\mathrm{g}}dx^1\dots dx^d$ wegen $dx^{\prime\, 1}\dots dx^{\prime\, d}\,\det \frac{\partial x}{\partial x^\prime} = dx^1\dots dx^d$ für orientierungstreue Transformationen mit $\det \frac{\partial x}{\partial x^\prime} > 0$ eine Differentialform vom Grad $d$, das Volumenelement

$$\sqrt{\mathrm{g}^\prime}\,dx^{\prime\, 1}\dots dx^{\prime\, d}= \sqrt{\mathrm{g}}\,dx^{1}\dots dx^{d}\ .$$ (9.72)

Falls die Basisvektoren $\partial_m$ aufeinander senkrecht stehen, ist $\sqrt{\mathrm{g}}$ das Produkt der Kantenlängen der $d$-Zelle $(\partial_1,\partial_2,\dots, \partial_d)$. Allgemeiner kann man mit einer linearen Abbildung $L$ die $d$-Zelle auf eine Zelle mit senkrechten Kanten abbilden. Dabei ändert sich das Volumen und $\sqrt{\mathrm{g}}$ um denselben Faktor $\det L$. Es ist daher $\sqrt{\mathrm{g}}$ in jedem Fall das metrische Volumen der $d$-Zelle.