Permutationen von Tensorargumenten

Sei $T$ ein Tensor der Stufe $(r,s)$, $\pi\in$S$_r$ eine Permutation und $\pi^{-1}$ die inverse Permutation, dann definiert

$$P_\pi(T) : (v_1,v_2,\dots ,v_r,\omega,\dots,\chi)\mapsto T(v_{\pi^{-1}(1)},v_{\pi^{-1}(2)},\dots,v_{\pi^{-1}(r)}, \omega,\dots,\chi)$$ (9.73)

den permutierten Tensor $P_\pi(T)$. Er ist von gleicher Stufe $(r,s)$ wie $T$. Die Zuordnung von Tensor und permutiertem Tensor kann als lineare Abbildung $T\mapsto P_\pi(T)$ im Raum der Tensoren verstanden werden. Diese Abbildungen sind Darstellungen [65] der Permutationsgruppe S$_r$

$$P_{\pi_2\circ\pi_1}(T)=P_{\pi_2}(P_{\pi_1}(T))\ .$$ (9.74)

Ebenso wirkt auf den $s$ Argumenten $\omega, \dots,\chi$ die Permutationsgruppe S$_s$.