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Permutationen von Tensorargumenten

Sei $ T$ ein Tensor der Stufe $ (r,s)$, $ \pi\in$S$ _r$ eine Permutation und $ \pi^{-1}$ die inverse Permutation, dann definiert

$\displaystyle P_\pi(T) : (v_1,v_2,\dots ,v_r,\omega,\dots,\chi)\mapsto T(v_{\pi^{-1}(1)},v_{\pi^{-1}(2)},\dots,v_{\pi^{-1}(r)}, \omega,\dots,\chi)$ (9.73)

den permutierten Tensor $ P_\pi(T)$. Er ist von gleicher Stufe $ (r,s)$ wie $ T$. Die Zuordnung von Tensor und permutiertem Tensor kann als lineare Abbildung $ T\mapsto P_\pi(T)$ im Raum der Tensoren verstanden werden. Diese Abbildungen sind Darstellungen [65] der Permutationsgruppe S$ _r$

$\displaystyle P_{\pi_2\circ\pi_1}(T)=P_{\pi_2}(P_{\pi_1}(T))\ .$ (9.74)

Ebenso wirkt auf den $ s$ Argumenten $ \omega, \dots,\chi$ die Permutationsgruppe S$ _s$.



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