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Tensoralgebra

Da man reelle Zahlen nicht nur addieren, sondern auch multiplizieren kann, bilden Tensoren auf natürliche Art nicht nur einen Vektorraum, in dem die Summe und das Vielfache von Tensoren erklärt ist, sondern eine Algebra, in der durch

\begin{displaymath}\begin{split}T\,S:(u,\dots,v,u^\prime,\dots,v^\prime,\omega,\...
...ime,\dots,v^\prime,\omega^\prime,\dots,\chi^\prime) \end{split}\end{displaymath} (9.75)

der Tensor $ T\,S$ der Stufe $ (r+r^\prime,s+s^\prime)$ als Produkt des Tensors $ T$ der Stufe $ (r,s)$ mit dem Tensor $ S$ der Stufe $ (r^\prime,s^\prime)$ definiert ist. Das Produkt von Tensoren ist bilinear und assoziativ $ R(ST)=(RS)T$, nicht aber kommutativ, denn $ TS$ und $ ST$ unterscheiden sich durch eine Permutation der Argumente.

Die Komponenten eines Tensorproduktes $ T\,S$ sind einfach die Produkte der Komponenten von $ T$ und $ S$.

Eine Funktion mehrerer Variablen definiert für fest gewählten Wert einiger ihrer Argumente eine Funktion der restlichen Variablen, zum Beispiel bei einem Tensor $ T$ der Stufe $ (r,s)$ mit $ r\ge 1$ und $ s\ge 1$ für festgewählten Vektor $ v$ und festgewählten dualen Vektor $ \varphi$ die Abbildung $ T_{v,\varphi}:(w,\dots,\lambda,\dots)\mapsto
T(v,w,\dots,\varphi,\lambda\dots)$. Setzt man hier für $ v$ und $ \varphi$ Basisvektoren $ e_a$ und die dazu dualen Basisvektoren $ e^a$ ein und summiert, so hängt bemerkenswerterweise die resultierende Abbildung

$\displaystyle K_1^1(T): (w,\dots,\lambda,\dots)\mapsto T(e_a,w,\dots,e^a, \lambda,\dots)$ (9.76)

nicht von der gewählten Basis ab und definiert einen Tensor der Stufe $ (r-1,s-1)$. Denn eine andere Basis $ e_a^\prime$ hängt mit der ursprünglichen Basis durch $ e_a^\prime= e_b M^b{}_a$ mit einer invertierbaren Matrix $ M$ zusammen, die dazu duale Basis ist $ e^{\prime\,a}= M^{-1\,a}{}_c e^c$, und es gilt

$\displaystyle T(e^\prime_a,w,\dots,e^{\prime\,a},\lambda,\dots)= M^b{}_a M^{-1\,a}{}_c T(e_b,w,\dots,e^c,\lambda,\dots)= T(e_a,w,\dots,e^a,\lambda,\dots)\ .$ (9.77)

Der Tensor $ K_1^1(T)$ heißt Kontraktion des Tensors $ T$, genauer Kontraktion des ersten Vektorarguments mit dem ersten dualen Vektorargument von $ T$. Natürlich muß die Kontraktion nicht unbedingt das erste Vektorargument von $ T$ und den ersten dualen Vektor betreffen, ebenso kann man durch Kontraktion des $ u$-ten Vektors, $ 1\le u\le r$, mit dem $ o$-ten dualen Vektor, $ 1\le o \le s$, aus $ T$ einen Tensor $ K_u^o (T)$ der Stufe $ (r-1,s-1)$ erzeugen.

Die Komponenten des kontrahierten Tensors sind einfach die Summe

$\displaystyle (K_u^o T)_{m_1 \dots m_{r-1}}{}^{n_1 \dots n_{s-1}}= T_{m_1\dots ...
...\,a\, m_{u+1}\dots m_{r-1}}{}^{n_1 \dots n_{o-1}\, a\, n_{o+1}\dots n_{s-1}}\ ,$ (9.78)

in der für gleiche Werte des $ u$-ten unteren Indexes und des $ o$-ten oberen Indexes über den Laufbereich summiert wird. Der Name des Summationsindexpaares ist beliebig, er muß nur verschieden von jedem weiteren Index der Tensorkomponenten gewählt werden.

Die Zweifachkontraktion eines symmetrischen mit einem antisymmetrischen Indexpaar verschwindet (5.17).

Die Kontraktion eines Tensors $ T$ der Stufe $ (1,1)$ liefert einen Skalar,

$\displaystyle \tr T = T^j{}_j\ ,$ (9.79)

die Spur (englisch trace) der Matrix $ T$.

Summen, Vielfache, Permutationen, Kontraktionen und Produkte von Tensorkomponenten mit passendem Indexbild wie zum Beispiel

$\displaystyle T_{ab}{}^c = U_{adb}{}^{dc} + 5 V^c{}_b W_a$    

sind wieder Komponenten von Tensoren. Die Menge aller Tensoren bildet eine Algebra.




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