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Verschleppen und Verketten

Die Transformation (A.79) läßt sich auch als Tensortransformation deuten, die zu einer invertierbaren Abbildung

$\displaystyle \Phi: \left\{ \begin{array}{r c l} \mathcal{M}& \rightarrow & \mathcal{N}\\ x &\mapsto & x^\prime(x) \end{array} \right .$ (9.80)

einer Mannigfaltigkeit $ \mathcal{M}$ mit Punkten $ x$ auf eine Mannigfaltigkeit $ \mathcal{N}$ mit Punkten $ x^\prime$ gehört. Den Wechsel des Koordinatensystems bezeichnet man als passive Transformation, die Abbildung von Punkten auf Bildpunkte als aktive Transformation.

Zu jeder Abbildung $ \Phi$ gehören, auch wenn sie nicht invertierbar ist, auf natürliche Art lineare Abbildungen, die Verschleppung $ \Phi_*$ und die Verkettung $ \Phi^*$.

Tangentialvektoren werden verschleppt, das heißt: aus Kurven $ \Gamma:s\mapsto x(s)$ mit Tangentialvektoren $ v_{\vert _x}=v^m(x) \partial_m$ in $ \mathcal{M}$ werden Kurven $ \Phi \circ \Gamma:s\mapsto x^\prime(x(s))$ in $ \Phi(\mathcal{M})\subset \mathcal{N}$ mit Tangentialvektoren

$\displaystyle \Phi_* v_{\vert _{x^\prime}} = v^m(x)\frac{\partial x^{\prime n }}{\partial x^m}\partial^\prime_n\ .$ (9.81)

Allerdings ist nur dann jedes verschleppte Tangentialvektorfeld eindeutig und ein Tangentialvektorfeld auf $ \Phi(\mathcal{M})$, wenn jeder Bildpunkt nur einen Urbildpunkt hat.

Auf $ \mathcal{N}$ definierte Funktionen $ f$ werden bei der Abbildung $ \Phi$ durch $ \Phi^* f = f\circ \Phi$ zu Funktionen auf $ \mathcal{M}$ verkettet, wenn man $ f(x^\prime(x))=(\Phi^*f)(x)$ als Funktion von $ x$ auffaßt. Faßt man die Funktion $ h=(\Phi_* v)f$, die durch Anwenden des verschleppten Vektorfeldes $ \Phi_* v$ auf eine Funktion $ f$ entsteht, als Funktion von $ x$ auf, so stimmt sie mit der Funktion überein, die man durch Anwenden von $ v$ auf die verkettete Funktion erhält

$\displaystyle v(\Phi^* f) = \Phi^*\bigl( (\Phi_*v)f\bigr )\ ,\quad v(\Phi^* f)_...
...prime n }}{\partial x^m}\partial^\prime_n f(x^\prime)_{\vert _{x^\prime(x)}}\ .$ (9.82)

Ebenso wie Funktionen werden Differentialformen von $ \mathcal{N}$ durch

$\displaystyle \Phi^*\omega^\prime_{\vert _x}=\omega^\prime_{m_1\dots m_p}(x^\pr...
...}\dots \frac{\partial x^{\prime m_p}} {\partial x^{n_p}} dx^{n_1}\dots dx^{n_p}$ (9.83)

auf $ \mathcal{M}$ zurückgezogen. Der Integralsubstitutionssatz und die Definition (A.40) ist einfach

$\displaystyle \int_{\Phi(\mathcal{M})}\omega = \int_{\mathcal{M}}\Phi^* \omega\ .$ (9.84)

Gemäß (A.58) vertauscht die äußere Ableitung mit $ \Phi^*$, $ \Phi^*( d\omega)=d (\Phi^* \omega)$.

Eine Metrik $ g^\prime_{kl}$ auf $ \mathcal{N}$ induziert auf $ \mathcal{M}$ die Metrik

$\displaystyle (\Phi^* g^\prime)_{mn\,\vert _x}=g_{mn}(x)=\frac{\partial x^{\pri...
...x^{m}}\frac{\partial x^{\prime l}}{\partial x^{n}}g^\prime_{kl}(x^\prime(x))\ .$ (9.85)

Dies gilt insbesondere für Untermannigfaltigkeiten $ \mathcal{M}\subset\mathcal{N}$. Dort definiert die induzierte Metrik $ g=\Phi^* g'$ mit $ \sqrt{\mathrm{g}}\,d^p x$ (A.80) das Volumenelement. Beispielsweise ist die Weglänge $ \int\! ds\, \sqrt{\frac{dx^m}{ds}\frac{dx^n}{ds}g_{mn}}$ das metrische Volumen einer Kurve.




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