Verschleppen und Verketten

Die Transformation (A.79) läßt sich auch als Tensortransformation deuten, die zu einer invertierbaren Abbildung

$$\Phi: \left\{ \begin{array}{r c l} \mathcal{M}& \rightarrow & \mathcal{N}\\ x &\mapsto & x^\prime(x) \end{array} \right .$$ (9.80)

einer Mannigfaltigkeit $\mathcal{M}$ mit Punkten $x$ auf eine Mannigfaltigkeit $\mathcal{N}$ mit Punkten $x^\prime$ gehört. Den Wechsel des Koordinatensystems bezeichnet man als passive Transformation, die Abbildung von Punkten auf Bildpunkte als aktive Transformation.

Zu jeder Abbildung $\Phi$ gehören, auch wenn sie nicht invertierbar ist, auf natürliche Art lineare Abbildungen, die Verschleppung $\Phi_*$ und die Verkettung $\Phi^*$.

Tangentialvektoren werden verschleppt, das heißt: aus Kurven $\Gamma:s\mapsto x(s)$ mit Tangentialvektoren $v_{\vert _x}=v^m(x) \partial_m$ in $\mathcal{M}$ werden Kurven $\Phi \circ \Gamma:s\mapsto x^\prime(x(s))$ in $\Phi(\mathcal{M})\subset \mathcal{N}$ mit Tangentialvektoren

$$\Phi_* v_{\vert _{x^\prime}} = v^m(x)\frac{\partial x^{\prime n }}{\partial x^m}\partial^\prime_n\ .$$ (9.81)

Allerdings ist nur dann jedes verschleppte Tangentialvektorfeld eindeutig und ein Tangentialvektorfeld auf $\Phi(\mathcal{M})$, wenn jeder Bildpunkt nur einen Urbildpunkt hat.

Auf $\mathcal{N}$ definierte Funktionen $f$ werden bei der Abbildung $\Phi$ durch $\Phi^* f = f\circ \Phi$ zu Funktionen auf $\mathcal{M}$ verkettet, wenn man $f(x^\prime(x))=(\Phi^*f)(x)$ als Funktion von $x$ auffaßt. Faßt man die Funktion $h=(\Phi_* v)f$, die durch Anwenden des verschleppten Vektorfeldes $\Phi_* v$ auf eine Funktion $f$ entsteht, als Funktion von $x$ auf, so stimmt sie mit der Funktion überein, die man durch Anwenden von $v$ auf die verkettete Funktion erhält

$$v(\Phi^* f) = \Phi^*\bigl( (\Phi_*v)f\bigr )\ ,\quad v(\Phi^* f)_... ...prime n }}{\partial x^m}\partial^\prime_n f(x^\prime)_{\vert _{x^\prime(x)}}\ .$$ (9.82)

Ebenso wie Funktionen werden Differentialformen von $\mathcal{N}$ durch

$$\Phi^*\omega^\prime_{\vert _x}=\omega^\prime_{m_1\dots m_p}(x^\pr... ...}\dots \frac{\partial x^{\prime m_p}} {\partial x^{n_p}} dx^{n_1}\dots dx^{n_p}$$ (9.83)

auf $\mathcal{M}$ zurückgezogen. Der Integralsubstitutionssatz und die Definition (A.40) ist einfach

$$\int_{\Phi(\mathcal{M})}\omega = \int_{\mathcal{M}}\Phi^* \omega\ .$$ (9.84)

Gemäß (A.58) vertauscht die äußere Ableitung mit $\Phi^*$, $\Phi^*( d\omega)=d (\Phi^* \omega)$.

Eine Metrik $g^\prime_{kl}$ auf $\mathcal{N}$ induziert auf $\mathcal{M}$ die Metrik

$$(\Phi^* g^\prime)_{mn\,\vert _x}=g_{mn}(x)=\frac{\partial x^{\pri... ...x^{m}}\frac{\partial x^{\prime l}}{\partial x^{n}}g^\prime_{kl}(x^\prime(x))\ .$$ (9.85)

Dies gilt insbesondere für Untermannigfaltigkeiten $\mathcal{M}\subset\mathcal{N}$. Dort definiert die induzierte Metrik $g=\Phi^* g'$ mit $\sqrt{\mathrm{g}}\,d^p x$ (A.80) das Volumenelement. Beispielsweise ist die Weglänge $\int\! ds\, \sqrt{\frac{dx^m}{ds}\frac{dx^n}{ds}g_{mn}}$ das metrische Volumen einer Kurve.