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Lieableitung

Zu jeder einparametrigen Gruppe von Selbstabbildungen $ \Phi_\alpha$ der Mannigfaltigkeit gehört ein Vektorfeld $ \xi$. Seien die Transformationen $ \Phi_\alpha$ einer einparametrigen Gruppe so parametrisiert, daß $ \Phi_{\alpha+\beta}=\Phi_\alpha \Phi_\beta=\Phi_\beta \Phi_\alpha$ gilt. Dann gehört $ \alpha = 0$ zur identischen Abbildung $ \Phi_0={\text{id}}$ und es gilt $ (\Phi_\alpha)^{-1}=\Phi_{-\alpha}$. Variiert $ \alpha$, so durchläuft $ \Phi_\alpha x=x^\prime(\alpha,x)$ für jedes festgehaltene $ x$ als Funktion von $ \alpha$ eine Kurve mit Tangentialvektoren

$\displaystyle \frac{d(\Phi_\alpha x)^m}{d\alpha}=\xi^m(\Phi_\alpha(x))\ .$ (9.86)

Sie definieren ein Vektorfeld, das wegen $ \Phi_{\alpha+\varepsilon}(x)-\Phi_{\alpha}(x)=\Phi_{\varepsilon}(\Phi_{\alpha}(x))-\Phi_0(\Phi_\alpha(x))$ von $ \alpha$ und $ x$ nur über $ \Phi_\alpha(x)$ abhängt. Es kann demnach bei $ \alpha = 0$ bestimmt werden.

$\displaystyle \xi^m(x)=\frac{d(\Phi_\alpha x)^m}{d\alpha}_{\vert _{\alpha=0}}$ (9.87)

Umgekehrt definiert ein Vektorfeld $ \xi(x)$ durch das Differentialgleichungssystem

$\displaystyle \frac{d}{d\alpha}x^m(\alpha,\underline{x})=\xi^m(x(\alpha,\underline{x}))\ ,\quad x(0,\underline{x})=\underline{x}\ ,$ (9.88)

die Abbildung $ \Phi_\alpha$ als Abbildung der Anfangswerte $ \underline{x}$ auf die Lösung $ x(\alpha,\underline{x})$

$\displaystyle \Phi_\alpha(\underline{x})=x(\alpha,\underline{x})\ ,$ (9.89)

falls die Integralkurven $ x(\alpha,\underline{x})$ für beliebige $ \alpha$ existieren. Das Vektorfeld $ \xi$ heißt infinitesimale Transformation und Erzeugende der Transformation $ \Phi_{\alpha=1}$. Diese Transformation läßt sich als exponentiertes Vektorfeld $ \mathrm{e}^{\xi}$ schreiben. Zu $ \Phi_\alpha$ gehört das erzeugende Vektorfeld $ \alpha\,\xi$ und der Relation $ \Phi_{\alpha+\beta}=\Phi_\alpha \Phi_\beta$ entspricht $ \mathrm{e}^{(\alpha+\beta)\xi}=\mathrm{e}^{\alpha\xi}\mathrm{e}^{\beta\xi}$.

Unter den Transformationen $ \Phi_\alpha$ ändern sich Tensoren gemäß (A.79). Ihre infinitesimale Transformation, das heißt, die Ableitung der Tensortransformation nach dem Transformationsparameter bei $ \alpha = 0$, definiert die Lieableitung längs $ \xi$

$\displaystyle T^\prime_{k_1\dots k_r}{}^{l_1\dots l_s} = T_{k_1\dots k_r}{}^{l_1\dots l_s}- {\mathcal{L}}_\xi T_{k_1\dots k_r}{}^{l_1\dots l_s}+ O(\xi^2)\ .$ (9.90)

Dabei besteht die Lieableitung $ {\mathcal{L}}_\xi T$ aus einem Verschiebungsterm $ \xi (\partial T)$ und aus $ r+s$ Termen $ (\partial \xi) T$, die von Ableitungen der Jacobimatrizen $ \frac{\partial x^\prime}{\partial x}$ stammen

$\displaystyle \frac{\partial (\Phi_\alpha x)^{m}}{\partial x^{k}}_{\vert _{\alp...
...ial (\Phi_\alpha x)^{m}}{\partial x^{k}}_{\vert _{\alpha=0}}=\partial_k\xi^m\\ $ (9.91)

\begin{displaymath}\begin{split}{\mathcal{L}}_\xi T_{k_1\dots k_r}{}^{l_1\dots l...
...al_{m}\xi^{l_s}) T_{k_1\dots k_r}{}^{l_1\dots m}\ . \end{split}\end{displaymath} (9.92)

Die Lieableitung $ \mathcal{L}_\xi$ eines Skalarfeldes $ f$ ist einfach die partielle Ableitung $ \xi^m\partial_m f$ längs des Vektorfeldes $ \xi$.

Die Liebableitung $ {\mathcal {L}}_u v$ eines Vektorfeldes $ v$ längs eines Vektorfeldes $ u$ ist der Kommutator

$\displaystyle [u,v]= uv-vu$ (9.93)

der Differentialoperatoren $ u=u^m\partial_m$ und $ v=v^n\partial_n$

$\displaystyle u^m\partial_m (v^n\partial_n f) - v^m\partial_m (u^n\partial_n f)...
..._m u^n )\, \partial_n f = \bigl ( {\mathcal {L}}_u v^n \bigr )\,\partial_n f\ .$ (9.94)

Der Kommutator von Vektorfeldern ist ein Vektorfeld, das linear und nach Produktregel (A.3) auf Funktionen wirkt

$\displaystyle [u,v](fg)=([u,v]f)\,g + f\,([u,v]g)\ .$ (9.95)

Er ist antisymmetrisch, linear und erfüllt für Funktionenvielfache $ fv$ die Produktregel

$\displaystyle [u,v] = - [v,u]\ ,\quad [u,v+w]=[u,v] + [u, w]\ ,\quad [u,f v] = f\, [u,v] + u(f)\, v\ .$ (9.96)

Der bei Transformationen $ \Phi: x\mapsto \Phi(x)$ verschleppte Kommutator stimmt mit dem Kommutator der verschleppten Vektorfelder überein

$\displaystyle \Phi_* [u,v] = [\Phi_*u,\Phi_*v]\ ,$ (9.97)

denn es gilt $ \Phi^*((\Phi_*u)h)=u(\Phi^*h)$ (A.90) und für $ h=(\Phi_* v)f$ folgt $ \Phi^*h=v (\Phi^*f)$, also $ \Phi^*((\Phi_*u)(\Phi_*v) f)=uv (\Phi^* f)$, und, wenn wir den in $ u$ mit $ v$ vertauschten Ausdruck abziehen, $ \Phi^*([\Phi_*u,\Phi_*v] f)=[u,v] (\Phi^* f)=\Phi^*((\Phi_*[u,v])f)$ für alle Funktionen $ f$.

Die Lieableitung der Metrik

$\displaystyle {\mathcal{L}}_\xi g_{mn}= \xi^k\partial_k g_{mn} + (\partial_m\xi^k) g_{kn} + (\partial_n \xi^k) g_{mk}$ (9.98)

ist die infinitesimale Änderung der Metrik unter Abbildungen $ \Phi_\alpha: x\mapsto\Phi_\alpha(x) $. Ist die Metrik invariant, so verschwindet diese Lieableitung und die zu $ \xi$ gehörigen Abbildungen sind Isometrien. Das bilineare Gleichungssystem $ {\mathcal{L}}_\xi g_{mn}=0$, die nach Wilhelm Killing benannte Killing-Gleichung, definiert bei gegebener Metrik alle infinitesimalen Isometrien $ \xi$, bei gegebenem Vektorfeld $ \xi$ alle Metriken $ g_{mn}$ mit der zu $ \xi$ gehörigen Isometrie.


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