Lieableitung

Zu jeder einparametrigen Gruppe von Selbstabbildungen $\Phi_\alpha$ der Mannigfaltigkeit gehört ein Vektorfeld $\xi$. Seien die Transformationen $\Phi_\alpha$ einer einparametrigen Gruppe so parametrisiert, daß $\Phi_{\alpha+\beta}=\Phi_\alpha \Phi_\beta=\Phi_\beta \Phi_\alpha$ gilt. Dann gehört $\alpha = 0$ zur identischen Abbildung $\Phi_0={\text{id}}$ und es gilt $(\Phi_\alpha)^{-1}=\Phi_{-\alpha}$. Variiert $\alpha$, so durchläuft $\Phi_\alpha x=x^\prime(\alpha,x)$ für jedes festgehaltene $x$ als Funktion von $\alpha$ eine Kurve mit Tangentialvektoren

$$\frac{d(\Phi_\alpha x)^m}{d\alpha}=\xi^m(\Phi_\alpha(x))\ .$$ (9.86)

Sie definieren ein Vektorfeld, das wegen $\Phi_{\alpha+\varepsilon}(x)-\Phi_{\alpha}(x)=\Phi_{\varepsilon}(\Phi_{\alpha}(x))-\Phi_0(\Phi_\alpha(x))$ von $\alpha$ und $x$ nur über $\Phi_\alpha(x)$ abhängt. Es kann demnach bei $\alpha = 0$ bestimmt werden.

$$\xi^m(x)=\frac{d(\Phi_\alpha x)^m}{d\alpha}_{\vert _{\alpha=0}}$$ (9.87)

Umgekehrt definiert ein Vektorfeld $\xi(x)$ durch das Differentialgleichungssystem

$$\frac{d}{d\alpha}x^m(\alpha,\underline{x})=\xi^m(x(\alpha,\underline{x}))\ ,\quad x(0,\underline{x})=\underline{x}\ ,$$ (9.88)

die Abbildung $\Phi_\alpha$ als Abbildung der Anfangswerte $\underline{x}$ auf die Lösung $x(\alpha,\underline{x})$

$$\Phi_\alpha(\underline{x})=x(\alpha,\underline{x})\ ,$$ (9.89)

falls die Integralkurven $x(\alpha,\underline{x})$ für beliebige $\alpha$ existieren. Das Vektorfeld $\xi$ heißt infinitesimale Transformation und Erzeugende der Transformation $\Phi_{\alpha=1}$. Diese Transformation läßt sich als exponentiertes Vektorfeld $\mathrm{e}^{\xi}$ schreiben. Zu $\Phi_\alpha$ gehört das erzeugende Vektorfeld $\alpha\,\xi$ und der Relation $\Phi_{\alpha+\beta}=\Phi_\alpha \Phi_\beta$ entspricht $\mathrm{e}^{(\alpha+\beta)\xi}=\mathrm{e}^{\alpha\xi}\mathrm{e}^{\beta\xi}$.

Unter den Transformationen $\Phi_\alpha$ ändern sich Tensoren gemäß (A.79). Ihre infinitesimale Transformation, das heißt, die Ableitung der Tensortransformation nach dem Transformationsparameter bei $\alpha = 0$, definiert die Lieableitung längs $\xi$

$$T^\prime_{k_1\dots k_r}{}^{l_1\dots l_s} = T_{k_1\dots k_r}{}^{l_1\dots l_s}- {\mathcal{L}}_\xi T_{k_1\dots k_r}{}^{l_1\dots l_s}+ O(\xi^2)\ .$$ (9.90)

Dabei besteht die Lieableitung ${\mathcal{L}}_\xi T$ aus einem Verschiebungsterm $\xi (\partial T)$ und aus $r+s$ Termen $(\partial \xi) T$, die von Ableitungen der Jacobimatrizen $\frac{\partial x^\prime}{\partial x}$ stammen

$$\frac{\partial (\Phi_\alpha x)^{m}}{\partial x^{k}}_{\vert _{\alp... ...ial (\Phi_\alpha x)^{m}}{\partial x^{k}}_{\vert _{\alpha=0}}=\partial_k\xi^m\\$$ (9.91)

$$\begin{split}{\mathcal{L}}_\xi T_{k_1\dots k_r}{}^{l_1\dots l... ...al_{m}\xi^{l_s}) T_{k_1\dots k_r}{}^{l_1\dots m}\ . \end{split}$$ (9.92)

Die Lieableitung $\mathcal{L}_\xi$ eines Skalarfeldes $f$ ist einfach die partielle Ableitung $\xi^m\partial_m f$ längs des Vektorfeldes $\xi$.

Die Liebableitung ${\mathcal {L}}_u v$ eines Vektorfeldes $v$ längs eines Vektorfeldes $u$ ist der Kommutator

$$[u,v]= uv-vu$$ (9.93)

der Differentialoperatoren $u=u^m\partial_m$ und $v=v^n\partial_n$

$$u^m\partial_m (v^n\partial_n f) - v^m\partial_m (u^n\partial_n f)... ..._m u^n )\, \partial_n f = \bigl ( {\mathcal {L}}_u v^n \bigr )\,\partial_n f\ .$$ (9.94)

Der Kommutator von Vektorfeldern ist ein Vektorfeld, das linear und nach Produktregel (A.3) auf Funktionen wirkt

$$[u,v](fg)=([u,v]f)\,g + f\,([u,v]g)\ .$$ (9.95)

Er ist antisymmetrisch, linear und erfüllt für Funktionenvielfache $fv$ die Produktregel

$$[u,v] = - [v,u]\ ,\quad [u,v+w]=[u,v] + [u, w]\ ,\quad [u,f v] = f\, [u,v] + u(f)\, v\ .$$ (9.96)

Der bei Transformationen $\Phi: x\mapsto \Phi(x)$ verschleppte Kommutator stimmt mit dem Kommutator der verschleppten Vektorfelder überein

$$\Phi_* [u,v] = [\Phi_*u,\Phi_*v]\ ,$$ (9.97)

denn es gilt $\Phi^*((\Phi_*u)h)=u(\Phi^*h)$ (A.90) und für $h=(\Phi_* v)f$ folgt $\Phi^*h=v (\Phi^*f)$, also $\Phi^*((\Phi_*u)(\Phi_*v) f)=uv (\Phi^* f)$, und, wenn wir den in $u$ mit $v$ vertauschten Ausdruck abziehen, $\Phi^*([\Phi_*u,\Phi_*v] f)=[u,v] (\Phi^* f)=\Phi^*((\Phi_*[u,v])f)$ für alle Funktionen $f$.

Die Lieableitung der Metrik

$${\mathcal{L}}_\xi g_{mn}= \xi^k\partial_k g_{mn} + (\partial_m\xi^k) g_{kn} + (\partial_n \xi^k) g_{mk}$$ (9.98)

ist die infinitesimale Änderung der Metrik unter Abbildungen $\Phi_\alpha: x\mapsto\Phi_\alpha(x)$. Ist die Metrik invariant, so verschwindet diese Lieableitung und die zu $\xi$ gehörigen Abbildungen sind Isometrien. Das bilineare Gleichungssystem ${\mathcal{L}}_\xi g_{mn}=0$, die nach Wilhelm Killing benannte Killing-Gleichung, definiert bei gegebener Metrik alle infinitesimalen Isometrien $\xi$, bei gegebenem Vektorfeld $\xi$ alle Metriken $g_{mn}$ mit der zu $\xi$ gehörigen Isometrie.