Quantenteleportation und Bellsche Ungleichung

Die revolutionäre Erkenntnis der Quantenphysik ist, daß es auch bei ideal präparierten Teilchen immer Messungen gibt, für deren Ergebnisse man nur ihre Wahrscheinlichkeit angeben kann. Wir widerlegen hier am Beispiel von Polarisationsmessungen an Photonpaaren die Unterstellung, die Unfähigkeit, die Einzelergebnisse aller Messungen vorherzusagen, beruhe nur auf unvollständiger Kenntnis der Ursachen.

Läßt man Licht durch einen Polariationsfilter fallen, so ist es dahinter polarisiert: es durchläuft ungehindert einen nächsten Polarisationsfilter, wenn er in derselben Richtung ${a}$ polarisiert, und die Lichtintensität verringert sich um den Faktor

$$w_{{a}}({{b}}) =\cos^2 \beta\ ,$$ (1.7)

wenn man den zweiten Polarisationsfilter in der Ebene senkrecht zum Licht um einen Winkel $\beta$ in Richtung ${b}$ dreht. Durch zwei gekreuzte Filter, wenn ${b}={a}_\perp$ senkrecht auf ${a}$ steht, kommt kein Licht. Im folgenden bezeichnen wir den Filter, der in Richtung ${a}$ polarisiert, kurz als Filter ${a}$.

Erstaunlicherweise enthüllt Licht bei geringer Intensität Teilcheneigenschaften. Der photoelektrische Effekt, bei dem Licht Elektronen aus einem Metall auslöst, wird mit abnehmender Lichtintensität nicht kleiner, sondern seltener. Man muß daher die Lichtintensität als Wahrscheinlichkeit deuten, Photonen vorzufinden, und den Unterdrückungsfaktor $w_{{a}}({{b}})$ als Wahrscheinlichkeit, daß das Photon, das in Richtung ${a}$ polarisiert worden ist, den Filter ${b}$ durchdringt.

Mit der Restwahrscheinlichkeit $1-\cos^2\beta = \sin^2 \beta$ wird das Photon absorbiert. Das ist dieselbe Wahrscheinlichlichkeit, mit der es den zu ${b}$ gekreuzten Filter ${b}_\perp$ durchdringt,

$$w_{{a}}({b}_\perp)=1 - w_{{a}}({b})\ .$$ (1.8)

Beim Übergang von angeregten Kalzium-Atomen in den Grundzustand entstehen Paare von entgegengesetzt auslaufenden Photonen mit solcher Polarisation [9], daß mit Wahrscheinlichkeit

$$w({\vphantom{b}a},{b})=\frac{1}{2}\cos^2\beta$$ (1.9)

das eine Photon einen Filter ${a}$ und das zweite einen zweiten Filter ${b}$ durchdringt, wobei $\beta$ der Winkel zwischen ${a}$ und ${b}$ ist.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das erste Photon des Paares durchkommt und das zweite absorbiert wird, ist dieselbe wie die Wahrscheinlichkeit $w({a},{b}_\perp)$ dafür, daß das erste Photon durchkommt und das zweite Photon durch den gekreuzten Filter ${b}_\perp$. Ebenso sind $w({a}_\perp,{b})$ und $w({a}_\perp,{b}_\perp)$ die Wahrscheinlichkeiten, daß das erste Photon absorbiert wird und das zweite durchkommt und dafür, daß beide Photonen absorbiert werden,

$$w({a},{b}_\perp) = \frac{1}{2}\sin^2\beta\ ,\quad w({a}_\perp,{b})=\frac{1}{2}\sin^2\beta\ ,\quad w({a}_\perp,{b}_\perp)= \frac{1}{2}\cos^2\beta\ .$$ (1.10)

Diese Wahrscheinlichkeiten sind, wie wir sehen werden, weltbilderschütternd: es kann nicht sein, daß jedes Photon über eine Eigenschaft verfügt, die für alle Filter ${a}$ in jedem Fall festlegt, ob es sie durchdringt. Ob es durchkommt, ist wirklich zufällig.

Durch Zusammenfassen der beiden möglichen Fälle, daß das zweite Photon durchkommt oder nicht, erhalten wir die Wahrscheinlichkeit

$$w_1({{a}})= w({a},{b})+w({a},{b}_\perp)=\frac{1}{2}$$ (1.11)

dafür, daß das erste Photon durch den Filter ${a}$ kommt, egal was dem anderen Photon des Paares geschieht. Sie ist so groß wie die Wahrscheinlichkeit $w_1({a}_\perp)$ dafür, daß es absorbiert wird, und sie ist unabhängig von ${a}$ und ${b}$. Ebenso wird das zweite Photon mit gleicher Wahrscheinlichkeit absorbiert oder nicht, $w_2({b})=w_2({b}_\perp)=1/2$. Beide Photonen des Photonpaares sind, was Messungen am einzelnen Photon betrifft, unpolarisiert.

Beschränkt man sich aber auf die Fälle, in denen das erste Photon durch den Filter ${a}$ kommt, so kommt das zweite Photon mit der bedingten Wahrscheinlichkeit

$$\frac{w({a},{b})}{w_1({{a}})} = \cos^2\beta$$ (1.12)

durch den Filter ${b}$. Dies ist dieselbe Wahrscheinlichkeit (1.7) wie bei Photonen, die durch einen Filter ${a}$ polarisiert worden sind. Falls das erste Photon durch den Filter ${a}$ kommt, ist das zweite Photon des Paares in Richtung ${a}$ polarisiert.

Für diesen Sachverhalt gibt es die Sprechweise, daß die Messung der Polarisation des einen Photons augenblicklich das andere Photon des Paares, egal wie weit es entfernt sein mag, in den Zustand gleicher Polarisation versetze. Der Zustand des Paares ,,kollabiere`` oder werde reduziert, und das Ergebnis der Messung am ersten Photon werde auf das zweite Photon übertragen oder, beeindruckender, quantenteleportiert. Die Zustandsreduktion erfolge augenblicklich und daher mit Überlichtgeschwindigkeit.

Wer von diesen Behauptungen ungerührt bleibt, stellt nüchtern fest, daß die Messung am einen Photon nichts am anderen Photon bewirkt. Dort werden Photonen vom Filter mit gleicher Wahrscheinlichkeit absorbiert oder nicht, egal in welche Richtung der Filter polarisiert. Durch keine Messung kann man an einem Photon feststellen, ob am anderen Photon gemessen wurde, gemessen wird oder gemessen werden wird, geschweige denn, in welche Richtung und mit welchem Ergebnis.

Daß das zweite Photon in Richtung ${a}$ polarisiert ist, wenn das erste Photon durch seinen Filter ${a}$ kommt, kann man erst bestätigen, wenn man beim zweiten Filter weiß, ob und in welcher Polarisationsrichtung das erste Photon durchgekommen ist. Diese Information ist höchstens mit Lichtgeschwindigkeit zu bekommen.

Die offensichtliche Ursache für die Zusammenhänge der Ergebnisse bei beiden Polarisationsfiltern ist die gemeinsame Präparation beider Photonen als Paar. Sie gelingt nur, wenn beide Photonen am selben Ort sind. Da sie sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, wirkt sich die Präparation in späteren Messungen nicht schneller als Licht aus.

Wenn man wiederholt eine Münze wirft und jeweils an einen Empfänger einen Brief mit dem Bild der Oberseite und an einen zweiten einen Brief mit dem Bild der Unterseite schickt, dann erhält jeder Empfänger mit gleicher Wahrscheinlichkeit Bilder der Kopf- oder Zahlseite. Jeder Empfänger weiß augenblicklich, wenn er seinen Brief öffnet, welches Bild der andere erhalten hat. Bei Kenntnis des Ergebnisses kollabiert die Wahrscheinlichkeit zur bedingten Wahrscheinlichkeit, in diesem Beispiel zu Gewißheit.

Ebenso ersetzt Zustandsreduktion bei Auftreten eines Meßwertes den vorherigen Zustand durch den bedingten Zustand, der zur bedingten Wahrscheinlichkeit derjenigen Ereignisse gehört, in denen dieser Meßwert auftritt.

Vor Öffnen des Briefes ist der Empfänger unsicher, welches Bild er enthält, aber der Inhalt ist eigentlich nicht unsicher, sondern nur unbekannt. Der Inhalt des Briefes liegt fest, ob man ihn nun öffnet oder nicht. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung (1.9) hingegen ist ausgeschlossen, daß die Ergebnisse der Polarisationsmessungen in allen Richtungen in jedem Einzelfall vor der Messung feststehen und daß man das Ergebnis nur deshalb nicht vorher weiß, weil die jeweiligen Ursachen im einzelnen unbekannt sind.

Um diese scheinbar unwiderlegbare Vorstellung auszuwerten, betrachten wir wiederholte Messungen, die wir durch $i$, $i =1,2, \dots, N,$ numerieren. Wir stellen uns vor, daß das Ergebnis der Polarisationsmessung am ersten Photon in Richtung ${a}$ in jedem Versuch Nummer $i$ feststehe, auch wenn wir es nicht kennen, und werten das Ergebnis als $a_{1\,i}=1$, falls das Photon durchkommt, wenn nicht als $a_{1\,i}=-1$. Mit $b_{1\,i}$ bezeichnen wir das Ergebnis, das sich im Versuch Nummer $i$ ergäbe, wenn wir die Polarisation des ersten Photons in Richtung ${b}$ mäßen. Entsprechend bezeichnen wir mit $c_{2\,i}$ das Ergebnis der Polarisationsmessung am zweiten Photon des Paares, wenn wir dort im Versuch mit Nummer $i$ die Polarisation mit einem Filter ${c}$ messen.

Weil die Messungen für $a_{1\,i}$, $b_{2\,i}$ und $c_{2\,i}$ nur die Werte $1$ oder $-1$ ergeben, gilt in allen Fällen die Ungleichung

$$a_{1\,i}(b_{2\,i}-c_{2\,i}) \le 1-b_{2\,i}c_{2\,i}\ ,$$ (1.13)

denn es gibt nur den Fall $b_{2\,i}=c_{2\,i}$, dann verschwinden beide Seiten, und den Fall $b_{2\,i}=-c_{2\,i}$, dann hat die rechte Seite den Wert $2$ und die linke den Wert $2$ oder $-2$.

Polarisieren beide Filter in derselben Richtung, so kommen mit Sicherheit entweder beide Photonen durch oder keines, denn es gilt $w({b}, {b})/w_1({{b}})= w({b}_\perp, {b}_\perp)/w_1({{b}_\perp}) = 1$. Es gilt also in allen Versuchen $b_{1\,i} = b_{2\,i}$. Daher besagt die Ungleichung

$$a_{1\,i}b_{2\,i}- a_{1\,i}c_{2\,i} + b_{1\,i}c_{2\,i} \le 1\ .$$ (1.14)

Der Mittelwert $\langle a_1 b_2\rangle$ der Produkte $a_{1\,i}b_{2\,i}$ der Meßergebnisse in $N$ Versuchen ist die Summe der einzelnen Produkte, geteilt durch $N$,

$$\langle a_1 b_2\rangle = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N a_{1\,i}b_{2\,i}\ .$$ (1.15)

Entsprechend erhalten wir die Mittelwerte der Meßergebnisse $\langle a_1 c_2 \rangle$ und $\langle b_1 c_2 \rangle$. Summieren wir die Ungleichungen (1.14), und teilen wir durch $N$, so erhalten wir eine Bellsche Ungleichung [10] für Mittelwerte von Produkten von Polarisationsmeßwerten

$$\langle a_1 b_2 \rangle - \langle a_1 c_2 \rangle + \langle b_1 c_2 \rangle \le 1 \ .$$ (1.16)

Zur Herleitung dieser Bellschen Ungleichung haben wir nur angenommen, daß für drei Richtungen, ${a}$, ${b}$ und ${c}$, für jede Messung Nummer $i$ die Ergebnisse $a_{1\,i}, b_{1\,i}, b_{2\,i}$ und $c_{2\,i}$ feststehen und nicht davon abhängen, in welcher Richtung am einen oder anderen Photon wirklich gemessen wird. Tatsächlich aber kann man in jedem einzelnen Versuch an jedem Photon nur in jeweils einer Richtung ${a}$ oder ${b}$ oder ${c}$ messen und muß $a_{1\,i}$ und $b_{1\,j}$ oder $b_{2\,i}$ und $c_{2\,j}$ in verschiedenen Versuchen $i\ne j$ ermitteln.

Den Mittelwert von $a_{1\,i}b_{2\,i}$ können wir auch ausrechnen, indem wir für jeden möglichen Wert, den dieses Produkt haben kann, nämlich $+1$ oder $-1$, die Häufigkeit $N_+$ und $N_-$ zählen, mit der er auftritt. Dann ist $N_+ - N_- = \sum_{i=1}^N a_{1\,i}b_{2\,i}$ und $\langle a_1 b_2\rangle = (N_+ - N_-)/N$.

Es ist aber, wenn $N$ genügend groß ist, die relative Häufigkeit $N_+/N$ die Wahrscheinlichkeit dafür, daß $a_{1\,i}b_{2\,i}$ den Wert $+1$ hat und $N_-/N$ die Wahrscheinlichkeit für den Wert $-1$. Die Wahrscheinlichkeit, mit der $a_{1\,i}b_{2\,i}$ den Wert $+1$ hat, ist $w({a},{b})+w({a}_\perp,{b}_\perp)$, mit Wahrscheinlichkeit $w({a},{b}_\perp)+w({a}_\perp,{b})$ hat das Produkt den Wert $-1$. Demnach gehört zur quantenmechanischen Wahrscheinlichkeitsverteilung (1.9) der Mittelwert

$$\langle a_1 b_2 \rangle = \cos^2 \beta - \sin^2 \beta = \cos(2\beta)\ .$$ (1.17)

Er ist also durch das Skalarprodukt von Richtungsvektoren $\vec{A}$ und $\vec{B}$ gegeben, die den doppelten Winkel wie ${a}$ und ${b}$ einschließen, $\cos(2\beta)=\vec{A}\cdot\vec{B}$. Ebenso sind $\langle a_1 c_2 \rangle = \vec{A}\cdot\vec{C}$ und $\langle b_1 c_2 \rangle = \vec{B}\cdot \vec{C}$ Skalarprodukte von winkelverdoppelten Vektoren.

Als Funktion der Richtung $\vec{B}$ wird die Differenz

$$\langle a_1 b_2\rangle - \langle a_1 c_2\rangle + \langle b_1 c_2... ...vec{C} +\vec{B}\cdot\vec{C} =\vec{B}\cdot(\vec{A}+\vec{C}) -\vec{A}\cdot\vec{C}$$ (1.18)

maximal, falls $\vec{B}$ den Winkel zwischen $\vec{A}$ und $\vec{C}$ halbiert und in Richtung von $\vec{A}+\vec{C}$ zeigt. Dann hat $(\vec{A}+\vec{C})\cdot\vec{B}$ den Wert $\vert\vec{A}+\vec{C}\vert=\sqrt{2+2\vec{A}\cdot\vec{C}}\,$, und die Differenz ist

$$\langle a_1 b_2\rangle - \langle a_1 c_2\rangle + \langle b_1 c_2\rangle =-\,\vec{A}\cdot\vec{C} + \sqrt{2 + 2 \vec{A}\cdot\vec{C}}\ .$$ (1.19)

Sie ist für alle $\vert\vec{A}\cdot\vec{C}\vert<1$ größer als $1$ und nimmt für $\vec{A}\cdot\vec{C}=-1/2$, falls der Winkel zwischen ${a}$ und ${c}$ $60$ Grad beträgt, und ${b}$ in Richtung der Winkelhalbierenden zeigt, ihren Maximalwert $3/2$ an. Diese Werte verletzen die Bellsche Ungleichung (1.16).

Daß die gemessenen Polarisationswerte nicht den Bellschen Ungleichungen genügen, ist weltbilderschütternd. Die Meßergebnisse verbauen die gedankliche Ausflucht aus der Wirklichkeit, die Ursachen jedes Meßwertes sei nur unbekannt, aber jeder der Meßwerte stünde in jedem Einzelfall fest, egal welche Messung tatsächlich durchgeführt wird.

In der Quantenphysik gibt es nicht eine Ursache für jedes Meßergebnis, sondern lediglich Ursachen für Wahrscheinlichkeiten von Meßergebnissen.