Linksinvariante Vektorfelder

Eine Liegruppe $G$ ist eine Mannigfaltigkeit, deren Punkte Gruppenelemente sind.

Jedes Gruppenelement $g$ bewirkt durch Multiplikation von links oder rechts eine invertierbare Selbstabbildung der Gruppe

$$L_g : h \mapsto gh\ ,\quad R_g : h \mapsto h g\ .$$ (10.1)

Hintereinander ausgeführt genügen $L_g$ und $R_{g^{-1}}$ derselben Gruppenverknüpfung wie die Gruppenelemente

$$L_{g_2}\circ L_{g_1} = L_{g_2g_1}\ ,\quad R_{(g_2){}^{-1}}\circ R_{(g_1){}^{-1}} = R_{(g_2g_1)^{-1}}\ .$$ (10.2)

Die Linksmultiplikation vertauscht mit der Rechtsmultiplikation

$$L_{g_2}\circ R_{g_1} = R_{g_1}\circ L_{g_2}\ .$$ (10.3)

Folglich genügt auch die adjungierte Abbildung Ad$_g=L_{g}\circ R_{g^{-1}}$

$$_g: h \mapsto ghg^{-1}$$ (10.4)

der Gruppenverknüpfung Ad$_{g_2}$Ad$_{g_1}=$Ad$_{g_2g_1}$.

Betrachten wir eine Kurve $\Gamma: s \mapsto k(s)$ in der Gruppe $G$, die für $s=0$ das Einselement $e$ durchläuft. Ihr Tangentialvektor am Einselement $\delta_{\vert _e}$ heißt infinitesimale Transformation. Die Kurve wird durch Linksmultiplikation auf Kurven $\Gamma_h = L_h \Gamma: s \mapsto h k(s)$ abgebildet, die mit ihrer Ableitung nach $s$ bei $s=0$ an jedem Punkt $h$ einen Tangentialvektor $\delta_{\vert _h}$ definieren. Dieses Vektorfeld $\delta$, das durch Linksmultiplikation aus einem Vektor am Einselement entsteht, ist invariant unter Linksmultiplikation oder, kürzer, linksinvariant. Denn die durch Linksmultiplikation verschleppte Kurve $L_g \Gamma_h$ stimmt mit $\Gamma_{gh}$ überein.

Die linksinvarianten Vektorfelder bilden einen Vektorraum mit derselben Dimension dim$(G)$ wie die Gruppe $G$, denn durch das Einselement gibt es dim$(G)$ Kurven $\Gamma$ mit linear unabhängigen Tangentialvektoren und zugehörigen linksinvarianten Vektorfeldern und umgekehrt ist ein Vektorfeld auf der ganzen Gruppe durch die geforderte Linksinvarianz festgelegt, wenn es an einem Punkt gewählt ist.

Sind zwei Vektorfelder $u$ und $v$ linksinvariant, so ist auch ihr Kommutator linksinvariant, denn für jede Transformation $y\mapsto y^\prime$ von Punkten der Mannigfaltigkeit ist der Kommutator der transformierten Vektorfelder $u^\prime$ und $v^\prime$ das Transformierte des Kommutators der ursprünglichen Vektorfelder $[u^\prime, v^\prime] = ([u,v])^\prime$ (A.105). Also bilden die linksinvarianten Vektorfelder eine Liealgebra. Das heißt, sie bilden einen Vektorraum, in dem ein bilineares, antisymmetrisches Produkt, die Lie-Klammer $[A,B]= -[B,A]$, existiert, das die Jacobi-Identität erfüllt

$$[A,[B,C]] + [B,[C,A]]+ [C,[A,B]] = 0\ .$$ (10.5)

Die Lie-Klammer der linksinvarianten Vektorfelder ist ihr Kommutator. Da wiederholtes Anwenden von Vektorfeldern assoziativ ist, heben sich die zwölf Terme, die sich bei Ausschreiben der Kommutatoren in (B.5) ergeben, paarweise weg und die Jacobi-Identität gilt ohne weiteres.

Betrachten wir eine Basis $\delta_i$, $i=1,\dots,$dim$(G)$, linksinvarianter Vektorfelder. Sie bilden an jedem Punkt der Gruppe eine Basis des Tangentialraumes, insbesondere für infinitesimale Transformationen, die den Tangentialraum am Einselement bilden. Der Kommutator solcher Basiselemente ist wieder ein linksinvariantes Vektorfeld und läßt sich als Linearkombination der Basis schreiben

$$[\delta_i,\delta_j]=f_{ij}{}^k \delta_k\ .$$ (10.6)

Die Strukturkonstanten $f_{ij}{}^k$ sind antisymmetrisch und reell

$$f_{ij}{}^k=-f_{ji}{}^k$$ (10.7)

und durch die Jacobi-Identität eingeschränkt

$$f_{ij}{}^l f_{lk}{}^m + f_{jk}{}^l f_{li}{}^m + f_{ki}{}^l f_{lj}{}^m =0\ .$$ (10.8)

Die Liealgebra heißt abelsch, falls alle infinitesimalen Transformationen miteinander kommutieren und folglich die Strukturkonstanten verschwinden.

Da zu jeder Lösung der Jacobi-Identität (B.8) eine Liealgebra gehört und umgekehrt, kann man die Algebren durch die Lösungen der Jacobi-Identität klassifizieren [66]. Für die sogenannten einfachen Liealgebren sind die Lösungen vollständig bekannt. Außer den Liealgebren, die zu den Gruppen der unitären oder symplektischen oder orthogonalen Transformationen gehören, gibt es eine Handvoll weiterer Liealgebren, die zu den exzeptionellen Gruppen G${}_2$, F${}_4$, E${}_6$, E${}_7$ und E${}_8$ gehören.

Durch

$$(\delta_i, \delta_j ) = - f_{ik}{}^l f_{jl}{}^k$$ (10.9)

ist in jeder Liealgebra ein Skalarprodukt erklärt, das bei halbeinfachen Liealgebren nicht entartet ist und auf der Liegruppe eine Metrik definiert, die invariant unter Linksmultiplikation ist.

Wirken die infinitesimalen Transformationen $\delta_i: \mathcal{V}\rightarrow \mathcal{V}$ linear auf einem Vektorraum $\mathcal{V}$, so sind sie durch ihre Wirkung auf eine Basis $e_a$ festgelegt. Denn jeder Vektor $u$ ist eine Linearkombination $u=e_a u^a$ mit Komponenten $u^a$, die wir einfachheitshalber nach rechts schreiben, und es gilt $\delta_i( e_a u^a)= (\delta_i e_a) u^a$. Entwickeln wir die transformierten Basisvektoren $\delta_i e_a$

$$\delta_i e_a = e_b T_i{}^b{}_a\ ,$$ (10.10)

so sind die Koeffizienten $T_i{}^b{}_a$ Elemente von Matrizen $T_i$, die dieselben Kommutatorrelationen wie die Basis $\delta_i$ erfüllen, das heißt, die Matrizen $T_i$ stellen die Liealgebra dar

$$\begin{aligned}\delta_i \delta_j e_a = \delta_i (e_b T_j{}^b{}_... ...iT_j]{}^c{}_a\ , \\ [T_i, T_j] =& f_{ij}{}^k T_k\ . \end{aligned}$$

Ein Beispiel einer nichtabelschen Liealgebra sind infinitesimale Lorentztransformationen in $d\ge 3$ Dimensionen. Sie bilden Vektoren $e_a$, die orthonormal sind $e_a\cdot e_b = \eta_{ab}$, auf $\delta_\omega e_a = e_c\, \omega^c{}_a$ ab und lassen die Skalarprodukte unverändert

$$0 = \delta_\omega e_a \cdot e_b + e_a \cdot \delta_\omega e_b = (... ...cdot (e_c\, \omega^c{}_b)= \omega^c{}_a \eta_{cb} + \eta_{ac} \,\omega^c{}_b\ .$$ (10.12)

Es ist also $\omega_{ab}=\eta_{ac}\omega^c{}_b$ antisymmetrisch (4.101)

$$\omega_{ab}=-\omega_{ba}\ .$$ (10.13)

Der Kommutator mit einer zweiten solchen Transformation $\delta_{\omega^\prime} e_a= e_b\, \omega^{\prime\,b}{}_a$ ist wieder eine infinitesimale Lorentztransformation, denn

$$[\delta_{\omega^\prime},\delta_\omega] e_a = \delta_{\omega^\prim... ... \omega^{c}{}_b\,\omega^{\prime\, b}{}_a) =\delta_{\omega^{\prime\prime}}e_a\ ,$$

$$\omega^{\prime\prime\,c}{}_a =\omega^{\prime\, c}{}_b\,\omega^b{}_a - \omega^{ c}{}_b\,\omega^{\prime\, b}{}_a \ ,$$ (10.14)

und $\eta \omega^{\prime\prime}$ ist antisymmetrisch, da $\eta^{-1}$ symmetrisch und $\eta \omega^\prime$ und $\eta \omega$ antisymmetrisch sind.

Die infinitesimalen Lorentztransformationen lassen sich mit Koeffizienten $\omega^{ab}=\eta^{bc}\omega^a{}_c$ als Linearkombination $\frac{1}{2}\omega^{ab}l_{ab}$ von Transformationen $l_{ab}$ schreiben

$$l_{ab}e_c = e_a \eta_{bc} - e_b \eta_{ac} = e_d \bigl (\delta^d{}_a\eta_{bc} - \delta^d{}_b\eta_{ac} \bigr ) \ .$$ (10.15)

Wir zählen die Basis $l_{ab}=-l_{ba}$ infinitesimaler Transformationen durch antisymmetrische Indexpaare ab, wobei $a<b$ die natürlichen Zahlen bis $d$ durchlaufen. Um Verwechslungen mit dem Kronecker-Delta $\delta^a{}_b$ (A.11) zu vermeiden, bezeichnen wir die infinitesimalen Lorentztransformationen mit $l_{ab}$.

Der Kommutator zweier infinitesimaler Lorentztransformationen ist

$$\begin{aligned}[][ l_{ab},l_{cd} ] e_f &= l_{ab} \bigl ( e_c\et... ..._{ad}+\eta_{ad}l_{bc}-\eta_{bd}l_{ac}\bigr ) e_f\ . \end{aligned}$$

Die infinitesimalen Lorentztransformationen genügen also der Liealgebra

$$[l_{ab},l_{cd}] = -\eta_{ac}l_{bd}+\eta_{bc}l_{ad}+\eta_{ad}l_{bc}-\eta_{bd}l_{ac}\ .$$ (10.17)