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Der Orbit einer Transformationsgruppe

Eine Gruppe $ G$ wirkt als Transformationsgruppe auf eine Mannigfaltigkeit $ \mathcal{M}$, wenn jedes Element $ g$ der Gruppe eine invertierbare Selbstabbildung von $ \mathcal{M}$ ist

$\displaystyle g:\left \{ \begin{array}{c@{}l} \mathcal{M}&\,\rightarrow \mathcal{M}\\ p &\,\mapsto g(p) \end{array}\right . \ ,$ (10.18)

wobei hintereinander Ausführen das Produkt $ g_2(g_1(p)) = (g_2 g_1) (p) $ definiert.

Jeder Punkt $ p$ der Mannigfaltigkeit $ \mathcal{M}$ definiert eine Untergruppe, die Stabilitätsgruppe $ H_p$ des Punktes $ p$, deren Elemente den Punkt $ p$ invariant lassen

$\displaystyle H_p =\{h\in G: h(p) = p \}\ .$ (10.19)

Beispielsweise ist der Punkt $ x=(0,\dots,0,1)\in {\mathbb{R}}^n$ bei Drehungen $ G=$SO$ (n)$ invariant unter den Drehungen $ H_x=$SO$ (n-1)$ in $ n-1$ Dimensionen.

Wie jede Untergruppe $ H$ einer Gruppe $ G$, so definiert die Stabilitätsgruppe $ H_p$ durch

$\displaystyle g\stackrel{H_p}{\sim} g^\prime \Leftrightarrow g^{-1}g^\prime\in H_p \ .$ (10.20)

eine Äquivalenzrelation zwischen Gruppenelementen von $ G$. Zwei Transformationen $ g$ und $ g^\prime$ sind genau dann $ H_p$-äquivalent, wenn sie $ p$ auf denselben Punkt abbilden

$\displaystyle g(p) = g^\prime (p)\Leftrightarrow p = g^{-1}g^\prime (p) \Leftrightarrow g^{-1}g^\prime\in H_p\ .$ (10.21)

Die Menge der $ H_p$-Äquivalenzklassen bezeichnet man mit $ G/H_p$.

Auf $ p$ angewendet erzeugt die Transformationsgruppe eine Untermannigfaltigkeit, den Orbit $ O_p$ durch $ p$, der aus allen Punkten $ q$ besteht, in die $ p$ durch Elemente der Gruppe $ G$ transformiert wird

$\displaystyle O_p = \{q\in\mathcal{M}: (\exists g \in G: g(p)=q) \}\ .$ (10.22)

Da jeder Punkt $ q$ des Orbits zu genau einer Äquivalenzklasse aus $ G/H_p$ gehört, ist der Orbit die gleiche Mannigfaltigkeit wie die Menge aller Äquivalenzklassen

$\displaystyle O_p = G/H_p\ .$ (10.23)

Zudem wirkt die Transformationsgruppe $ G$ auf dem Orbit $ O_p$ und auf $ G/H_p$ auf gleiche Weise durch Linksmultiplikation. Der Orbit und seine Transformationen sind vollständig durch die Gruppe $ G$ und die Untergruppe $ H_p$ festgelegt [64, Kapitel II, Theorem 3.2].

Beispielsweise erzeugen für $ n>2$ die Drehungen SO$ (n)$, auf $ x=(0,\dots,0,1)\in {\mathbb{R}}^n$ angewendet, als Orbit die $ n-1$-dimensionale Kugeloberfläche $ S^{n-1}$ ($ S$ wie Sphäre)

SO$\displaystyle (n)/$SO$\displaystyle (n-1)=S^{n-1}\ ,\quad S^{n-1}= \{y:\sum (y^i)^2 = 1\}\subset {\mathbb{R}}^n\ .$ (10.24)

Sind von einem Orbit nur die infinitesimalen Transformationen in einer Umgebung bekannt, so handelt es sich bei dem Orbit um einen Quotienten $ G/H_p$ der zu allen infinitesimalen Transformationen gehörigen universellen Überlagerungsgruppe $ G$. $ H_p$ ist eine möglicherweise unzusammenhängende Untergruppe, deren mit der Eins zusammenhängende Elemente von den infinitesimalen Transformationen erzeugt werden, die bei $ p$ verschwinden.

Man nennt $ \widetilde{\mathcal{M}}$ eine Überlagerung einer zusammenhängenden Mannigfaltigkeit $ \mathcal{M}$, wenn es eine stetige Abbildung $ \pi$ von $ \widetilde{\mathcal{M}}$ nach $ \mathcal{M}$ mit der Eigenschaft gibt, daß zu jedem Punkt $ p\in \mathcal{M}$ eine Umgebung $ \mathcal{U}$, $ p\in \mathcal{U}$, existiert, deren Urbild $ \pi^{-1}\mathcal{U}=\cup_i \mathcal{V}_i$ aus einer abzählbaren Menge disjunkter Umgebungen $ \mathcal{V}_i$ besteht, die durch $ \pi$ umkehrbar auf $ \mathcal{U}$ abgebildet werden. Ist $ q$ ein fest gewählter Punkt in $ \mathcal{M}$ und bezeichnet $ \Gamma_{p\,i}$ Äquivalenzklassen von Kurven von $ q$ zu $ p$, die als äquivalent angesehen werden, wenn sie stetig ineinander verformt werden können, so ist die Menge aller $ \Gamma_{p\,i}$ mit $ \pi:\Gamma_{p\,i}\mapsto p$ eine Überlagerung von $ \mathcal{M}$. Sie ist universell, da sie Überlagerung jeder Überlagerung von $ \mathcal{M}$ ist.

Für $ n=2$ erzeugen die infinitesimalen Drehungen die additive Gruppe $ \mathbb{R}$ der reellen Zahlen als Überlagerung von SO$ (2)$ und jeder Orbit ist ein Kreis $ S^1$ oder seine Überlagerung $ \mathbb{R}$ oder besteht aus nur einem Punkt.

Die Stabilitätsgruppe $ H_q$ jedes Punktes $ q=g(p)$ des Orbits durch $ p$ ist zu $ H_p$ konjugiert $ H_{g(p)}= g H_p g^{-1}$.

Existiert auf einem Orbit $ G/H_p$ ein Tensorfeld $ v$, das unter allen zu $ g\in G$ gehörigen Tensortransformationen $ T_g$ invariant ist, so hat es am Punkt $ p$ einen Wert $ v_{\vert _p}$, der unter $ H_p$ invariant ist, $ T_h v_{\vert _p}=v_{\vert _p}$ $ \forall h \in H_p$. An allen anderen Punkten $ q=g(p)$ des Orbits ist $ v$ durch $ v_{\vert _p}$ festgelegt, $ v_{\vert _{g(p)}}=T_g v_{\vert _p}$.




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