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Darstellungen

Verschiedene Gruppen $ G$ und $ L$ können verwandte Gruppenverknüpfungen haben. In solch einem Fall gibt es eine Abbildung

$\displaystyle D: \left \{ \begin{array}{c c c} G&\rightarrow &L\\ g&\mapsto &D_g \end{array}\right .$ (10.25)

von Gruppenelementen $ g\in G$ auf $ D_g\in L$, die Produkte auf Produkte abbildet

$\displaystyle D_{g_1\circ g_2}=D_{g_1}\circ D_{g_2}\ .$ (10.26)

Besteht dabei $ L$ aus der Gruppe GL$ (n)$ der invertierbaren, linearen Transformationen eines $ n$-dimensionalen Vektorraumes $ \mathcal{V}$, so heißt die Abbildung $ D$ Darstellung von $ G$. Eine $ n$-dimensionale Darstellung bildet die Gruppe $ G$ auf GL$ (n)$ ab. Das Bild $ D(G)$ der Gruppe $ G$ ist eine Untergruppe von GL$ (n)$.

Zum Beispiel gehört zu jeder Lorentztransformation $ x\mapsto x^\prime = \Lambda\, x$ der Raumzeit auch eine Transformation $ P\mapsto T_\Lambda (P)$ der Erhaltungsgrößen $ P$, die der jeweilige Beobachter zum Beispiel an einem Teilchen feststellt. Hintereinander ausgeführte Transformationen der Erhaltungsgrößen müssen mit derjenigen Transformation übereinstimmen, die zu hintereinander ausgeführten Lorentztransformationen gehört

$\displaystyle {T}_{\Lambda_2\Lambda_1}(P) = {T}_{\Lambda_2} ( {T}_{\Lambda_1} (P ))$   oder$\displaystyle \quad {T}_{\Lambda_2\Lambda_1}= {T}_{\Lambda_2} \circ {T}_{\Lambda_1}\ .$ (10.27)

Das Transformationsgesetz für Erhaltungsgrößen hat also dieselbe Gruppenverknüpfung wie die Transformationen der Koordinaten. Sind die Erhaltungsgrößen additiv und transformieren Summen und Vielfache der Erhaltungsgrößen in Summen und Vielfache der transformierten Erhaltungsgrößen,

$\displaystyle (P+Q)\mapsto T(P)+ T(Q)\ ,\quad (a P) \mapsto a T(P)\ ,$ (10.28)

so wirken die Transformationen $ T_\Lambda$ linear auf dem Vektorraum der additiven Erhaltungsgrößen und sind eine Darstellung der Lorentztransformationen. Die einfachste Darstellung der Lorentztransformationen ist die fundamentale Darstellung

$\displaystyle T_\Lambda ( P ) = \Lambda\, P\ ,$ (10.29)

die als Transformationsgesetz des Viererimpulses auftritt. Die anderen möglichen Darstellungen sind Tensortransformationen. Sie treten bei der Transformation des Drehimpulses und des Energieschwerpunktes (4.108) auf.

Wählen wir im Vektorraum $ \mathcal{V}$ Basisvektoren $ e_a$, wobei $ a$ die natürlichen Zahlen bis $ n$ durchläuft, so gehört zu jeder linearen Transformation $ D$ eine Matrix - wir nennen sie einfachheitshalber ebenfalls $ D$ und bezeichnen mit $ D^b{}_a$ ihre Matrixelemente in der Zeile $ b$ und der Spalte $ a$ - deren Spalten die Komponenten der transformierten Basisvektoren enthalten

$\displaystyle D: e_a \mapsto e_b D^b{}_a\ .$ (10.30)

Insbesondere sind $ \delta^b{}_a$ (A.11) die Matrixelemente der identischen Abbildung $ D={\mathbf 1}$.

Ein Vektor $ v=e_a v^a$ mit Komponenten $ v^a$ wird von $ D$ linear auf einen Vektor mit Komponenten $ v^{\prime\, a}= D^a{}_b v^b$ abgebildet

$\displaystyle D: e_a v^a \mapsto (e_b D^b{}_a) v^a = e_a (D^a{}_b v^b)\ .$ (10.31)

Das Matrixprodukt der zu linearen Transformationen gehörigen Matrizen gehört zu den hintereinander ausgeführten Transformationen

\begin{equation*}\begin{aligned}&e_a\overset{D_{2_{\vphantom{t}}} }{\mapsto}e_b ...
...quad (D_1\cdot D_2)^c{}_a=D_1{}^c{}_bD_2{}^b{}_a\ . \end{aligned}\end{equation*}



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