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Kontragrediente und konjugierte Darstellung

Lineare Abbildungen $ \varphi$ vom Vektorraum $ \mathcal{V}$ in die reellen oder komplexen Zahlen können addiert und mit Zahlen multipliziert werden und bilden den zu $ \mathcal{V}$ dualen Vektorraum $ \mathcal{V}^*$. Die linearen Abbildungen $ \varphi$ werden durch ihre Werte $ \varphi(e_a)=\varphi_a$ auf Basisvektoren festgelegt, denn $ v=e_a v^a$ wird auf

$\displaystyle \varphi(v)=\varphi(e_a v^a)= \varphi(e_a) v^a = \varphi_a v^a$ (10.33)

abgebildet. Die Abbildungen $ e^a\in\mathcal{V}^*$, die Vektoren $ v$ auf ihre Komponenten $ e^a(v)=v^a$ abbilden, bilden die zu $ e_a$ duale Basis des Dualraumes

$\displaystyle e^a(e_b) = \delta^a{}_b\ .$ (10.34)

Jedes Element des Dualraumes läßt sich als $ \varphi=\varphi_ae^a$ schreiben, dabei sind $ \varphi_a$ die Komponenten bezüglich der dualen Basis.

Zu jeder invertierbaren, linearen Transformation eines Vektorraumes gehört die kontragrediente Transformation des dualen Vektorraumes, die durch die Forderung

$\displaystyle \varphi^\prime(v^\prime)=\varphi(v)$ (10.35)

definiert ist, daß jeder transformierte duale Vektor $ \varphi^\prime$ auf transformierte Vektoren $ v^\prime$ angewendet dasselbe ergibt wie der ursprüngliche duale Vektor $ \varphi$ auf den ursprünglichen Vektor $ v$. Für die duale Basis bedeutet dies

$\displaystyle D: e^a \mapsto e^{\prime\,a}= D^{-1\, a}{}_b e^b\ .$ (10.36)

Transformieren die Komponenten von Vektoren durch Multiplikation mit einer Matrix $ D$, so transformieren unter der zugehörigen kontragredienten Transformation die Komponenten von dualen Vektoren $ \varphi=\varphi_ae^a$ durch Multiplikation mit der Matrix $ D^{\text{T}\,-1}$

$\displaystyle \varphi =\varphi_a e^a \mapsto \varphi_a e^{\prime\,a} = \varphi_...
...{\text{T}\,-1}{}_a{}^b \varphi_b ) e^a =\varphi_a^\prime e^a =\varphi^\prime\ .$ (10.37)

Sind $ D_g$ Darstellungsmatrizen, so sind wegen

$\displaystyle D^{\text{T}\, -1}_{g_2}\cdot D^{\text{T}\, -1}_{g_1}= (D^{\text{T...
...{g_2})^{-1}= (D_{g_2}\cdot D_{g_1})^{\text{T}\, -1}=D^{\text{T}\, -1}_{g_2 g_1}$ (10.38)

auch die transponierten, invertierten Matrizen $ D^{\text{T}\, -1}_g$ Darstellungsmatrizen. Die Darstellung $ D^{\text{T}\,-1}$ heißt zu $ D$ kontragrediente Darstellung. Ebenso sind die komplex konjugierten Matrizen $ \overline{D}_g$ Darstellungsmatrizen und definieren die zu $ D$ komplex konjugierte Darstellung $ \overline{D}$.

Mit jeder Darstellung $ D$ sind daher vier Darstellungen

$\displaystyle D \ ,\quad \overline{D}\ ,\quad D^{\text{T}\, -1}\ ,\quad \overline{D}^{\text{T}\, -1}\ ,$ (10.39)

natürlich gegeben. Die Darstellung ist reell, wenn die Darstellungsmatrizen reell sind, $ \overline{D}_g=D_g$, orthogonal, wenn sie orthogonal sind, $ D^{\text{T}\, -1}_g=D_g$, symplektisch, falls mit einer schiefsymmetrischen Matrix j$ ^{\text{T}}=-\text{\j}$ für jede Darstellungsmatrix $ D^{\text{T}\, -1}_g=\text{\j} D_g \text{\j}^{-1}$ gilt, und unitär, wenn die Darstellungsmatrizen unitär sind, $ \overline{D}^{\text{T}\, -1}_g=D_g$.

Normalerweise sind die Darstellungen $ D$, $ \overline{D}$, $ D^{\text{T}\,-1}$ und $ \overline{D}^{\text{T}\, -1}=D^{\dagger \, -1}$ verschieden. Unter welcher Darstellung ein Vektor transformiert, geben wir durch das Indexbild seiner Komponenten an

\begin{equation*}\begin{aligned}t^{\prime\, a} &= D^a{}_b t^b\ , \qquad & u^\pri...
...\dagger\, -1})_{\dot{a}}{}^{\dot{b}} w_{\dot{b}}\ . \end{aligned}\end{equation*}

Transformiert ein Vektor unter der Darstellung $ D$, so bezeichnen wir seine Komponenten mit einem oberen Indix, transformiert er unter $ D^{\text{T}\,-1}$, so schreiben wir den Index unten. Zum komplex konjugierten Transformationsgesetz gehört ein gepunkteter Index.

Der erste Index der Matrixelemente $ D^a{}_b$ der Transformationsmatrix bezeichnet die Zeile, der zweite die Spalte. Dabei schreiben wir den ersten Index von $ D$ nach oben. Er steht dann in derselben Höhe wie der Index der Komponente des transformierten Vektors. Die Matrix $ D^{-1}$ ist wie $ D$ und die $ {{\mathbf 1}}$-Matrix ein Element der Matrixgruppe $ D(G)$. Ihre Matrixelemente werden mit demselben Indexbild geschrieben

$\displaystyle D^a{}_b \, (D^{-1})^b{}_c=\delta^a{}_c\ .$ (10.41)

Die Matrixelemente der transponierten Matrix erhält man durch Vertauschen von Zeilen- und Spaltenindex. Es bezeichnet der erste Index die Zeile, also entsteht das Indexbild

$\displaystyle (D^{\text{T}\, -1})_a{}^b= (D^{-1})^b{}_a \ .$ (10.42)

das zur Konvention paßt, daß im Transformationsgesetz von Komponenten jeweils der erste Index von $ D$ oder $ D^{T\,-1}$ die transformierte Komponente bezeichnet und der zweite Index ein Summationsindex ist.




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