Kontragrediente und konjugierte Darstellung

Lineare Abbildungen $\varphi$ vom Vektorraum $\mathcal{V}$ in die reellen oder komplexen Zahlen können addiert und mit Zahlen multipliziert werden und bilden den zu $\mathcal{V}$ dualen Vektorraum $\mathcal{V}^*$. Die linearen Abbildungen $\varphi$ werden durch ihre Werte $\varphi(e_a)=\varphi_a$ auf Basisvektoren festgelegt, denn $v=e_a v^a$ wird auf

$$\varphi(v)=\varphi(e_a v^a)= \varphi(e_a) v^a = \varphi_a v^a$$ (10.33)

abgebildet. Die Abbildungen $e^a\in\mathcal{V}^*$, die Vektoren $v$ auf ihre Komponenten $e^a(v)=v^a$ abbilden, bilden die zu $e_a$ duale Basis des Dualraumes

$$e^a(e_b) = \delta^a{}_b\ .$$ (10.34)

Jedes Element des Dualraumes läßt sich als $\varphi=\varphi_ae^a$ schreiben, dabei sind $\varphi_a$ die Komponenten bezüglich der dualen Basis.

Zu jeder invertierbaren, linearen Transformation eines Vektorraumes gehört die kontragrediente Transformation des dualen Vektorraumes, die durch die Forderung

$$\varphi^\prime(v^\prime)=\varphi(v)$$ (10.35)

definiert ist, daß jeder transformierte duale Vektor $\varphi^\prime$ auf transformierte Vektoren $v^\prime$ angewendet dasselbe ergibt wie der ursprüngliche duale Vektor $\varphi$ auf den ursprünglichen Vektor $v$. Für die duale Basis bedeutet dies

$$D: e^a \mapsto e^{\prime\,a}= D^{-1\, a}{}_b e^b\ .$$ (10.36)

Transformieren die Komponenten von Vektoren durch Multiplikation mit einer Matrix $D$, so transformieren unter der zugehörigen kontragredienten Transformation die Komponenten von dualen Vektoren $\varphi=\varphi_ae^a$ durch Multiplikation mit der Matrix $D^{\text{T}\,-1}$

$$\varphi =\varphi_a e^a \mapsto \varphi_a e^{\prime\,a} = \varphi_... ...{\text{T}\,-1}{}_a{}^b \varphi_b ) e^a =\varphi_a^\prime e^a =\varphi^\prime\ .$$ (10.37)

Sind $D_g$ Darstellungsmatrizen, so sind wegen

$$D^{\text{T}\, -1}_{g_2}\cdot D^{\text{T}\, -1}_{g_1}= (D^{\text{T... ...{g_2})^{-1}= (D_{g_2}\cdot D_{g_1})^{\text{T}\, -1}=D^{\text{T}\, -1}_{g_2 g_1}$$ (10.38)

auch die transponierten, invertierten Matrizen $D^{\text{T}\, -1}_g$ Darstellungsmatrizen. Die Darstellung $D^{\text{T}\,-1}$ heißt zu $D$ kontragrediente Darstellung. Ebenso sind die komplex konjugierten Matrizen $\overline{D}_g$ Darstellungsmatrizen und definieren die zu $D$ komplex konjugierte Darstellung $\overline{D}$.

Mit jeder Darstellung $D$ sind daher vier Darstellungen

$$D \ ,\quad \overline{D}\ ,\quad D^{\text{T}\, -1}\ ,\quad \overline{D}^{\text{T}\, -1}\ ,$$ (10.39)

natürlich gegeben. Die Darstellung ist reell, wenn die Darstellungsmatrizen reell sind, $\overline{D}_g=D_g$, orthogonal, wenn sie orthogonal sind, $D^{\text{T}\, -1}_g=D_g$, symplektisch, falls mit einer schiefsymmetrischen Matrix j$^{\text{T}}=-\text{\j}$ für jede Darstellungsmatrix $D^{\text{T}\, -1}_g=\text{\j} D_g \text{\j}^{-1}$ gilt, und unitär, wenn die Darstellungsmatrizen unitär sind, $\overline{D}^{\text{T}\, -1}_g=D_g$.

Normalerweise sind die Darstellungen $D$, $\overline{D}$, $D^{\text{T}\,-1}$ und $\overline{D}^{\text{T}\, -1}=D^{\dagger \, -1}$ verschieden. Unter welcher Darstellung ein Vektor transformiert, geben wir durch das Indexbild seiner Komponenten an

$$\begin{aligned}t^{\prime\, a} &= D^a{}_b t^b\ , \qquad & u^\pri... ...\dagger\, -1})_{\dot{a}}{}^{\dot{b}} w_{\dot{b}}\ . \end{aligned}$$

Transformiert ein Vektor unter der Darstellung $D$, so bezeichnen wir seine Komponenten mit einem oberen Indix, transformiert er unter $D^{\text{T}\,-1}$, so schreiben wir den Index unten. Zum komplex konjugierten Transformationsgesetz gehört ein gepunkteter Index.

Der erste Index der Matrixelemente $D^a{}_b$ der Transformationsmatrix bezeichnet die Zeile, der zweite die Spalte. Dabei schreiben wir den ersten Index von $D$ nach oben. Er steht dann in derselben Höhe wie der Index der Komponente des transformierten Vektors. Die Matrix $D^{-1}$ ist wie $D$ und die ${{\mathbf 1}}$-Matrix ein Element der Matrixgruppe $D(G)$. Ihre Matrixelemente werden mit demselben Indexbild geschrieben

$$D^a{}_b \, (D^{-1})^b{}_c=\delta^a{}_c\ .$$ (10.41)

Die Matrixelemente der transponierten Matrix erhält man durch Vertauschen von Zeilen- und Spaltenindex. Es bezeichnet der erste Index die Zeile, also entsteht das Indexbild

$$(D^{\text{T}\, -1})_a{}^b= (D^{-1})^b{}_a \ .$$ (10.42)

das zur Konvention paßt, daß im Transformationsgesetz von Komponenten jeweils der erste Index von $D$ oder $D^{T\,-1}$ die transformierte Komponente bezeichnet und der zweite Index ein Summationsindex ist.