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Tensortransformation

Zu jeder invertierbaren, linearen Transformation des Vektorraums $ \mathcal{V}$ gehört auf natürliche Art die kontragrediente Transformation des dualen Vektorraumes (B.37) und die Transformation von Tensoren, die durch die Forderung

$\displaystyle T^\prime(v^\prime,\dots,w^\prime,\varphi^\prime,\dots ,\lambda^\prime) =T(v,\dots,w,\varphi,\dots ,\lambda)$ (10.43)

definiert ist, daß der transformierte Tensor $ T^\prime$ angewendet auf transformierte Argumente $ v^\prime,\dots,w^\prime,\varphi^\prime,\dots ,\lambda^\prime$ dasselbe ergibt wie der ursprüngliche Tensor $ T$ angewendet auf die ursprünglichen Argumente $ v,\dots,w,\varphi,\dots ,\lambda$.

Folglich hat wegen (B.30) und (B.36) ein transformierter Tensor der Stufe $ (u,o)$ die Komponenten (A.77)

$\displaystyle T^{\prime}{}_{a_1 \dots a_u}{}^{b_1 \dots b_o }= (D^{\text{T}\, -...
...} D^{b_1}{}_{d_1} \dots D^{b_o}{}_{d_o} T_{c_1 \dots c_u}{}^{d_1 \dots d_o }\ .$ (10.44)

Das Transformationsgesetz der Tensorkomponenten läßt sich leicht am Indexbild ablesen; für jeden oberen Index tritt eine Transformationsmatrix $ D$, für jeden unteren eine Matrix $ D^{\text{T}\,-1}$ auf.

Eine Invariante $ T^{\,\prime } = T$ ist ein Tensor ohne Index, solch ein Tensor heißt auch Skalar. Insbesondere ist die Summe $ u_a t^a $ invariant. Hierher rührt der Name kontragrediente Transformation: die Transformation mit $ D^{\text{T}\,-1}$ von Komponenten mit unterem Index ist entgegengesetzt zur Transformation mit $ D$.

Das Tensortransformationsgesetz wird wegen der Vielzahl der Indizes als unüberschaubar und kompliziert empfunden. Tatsächlich ist es im Vergleich zu anderen Transformationsgesetzen sehr einfach, denn es ist linear und die Matrixelemente der linearen Transformation sind Produkte der Matrixelemente der Darstellungsmatrizen. Tensortransformationen lassen sich daher leicht hintereinander ausführen. Zum Beispiel transformieren $ \tan \theta /2$ (3.21) oder $ \kappa $ (2.14) unter Geschwindigkeitstransformationen längs einer Achse als Tensoren, das Transformationsgesetz von $ \cos\theta$ (3.24) oder $ v$ (2.16) ist vergleichsweise unübersichtlich.

Als Komponenten einer Tensordichte vom Gewicht $ w$ bezeichnet man Funktionen, deren Transformation die Determinante der Transformationsmatrix enthält

$\displaystyle T^{\prime}{}_{a_1 \dots a_u}{}^{b_1 \dots b_o }= \left \vert \det...
...} D^{b_1}{}_{d_1} \dots D^{b_o}{}_{d_o} T_{c_1 \dots c_u}{}^{d_1 \dots d_o }\ .$ (10.45)

Die Transformationen von Tensoren und Tensordichten sind Darstellungen der Transformationen $ D$, denn aus der linearen Beziehung der Komponenten, $ T^\prime = L(D) T$, folgt $ L(D_1D_2)=L(D_1)L(D_2)$ für hintereinander ausgeführte Transformationen.

Weil die Transformationen von Tensoren und Tensordichten linear sind, haben sie einen Fixpunkt. Verschwindet ein Tensor, so verschwindet auch der transformierte Tensor.

Das Kronecker-Delta (A.11) definiert numerisch die Komponenten eines Tensors mit einem oberen und einem unteren Index. Der so definierte Tensor ist unter allen linearen Transformationen invariant

$\displaystyle \delta^{\prime\, a}{}_b=D^a{}_c (D^{T\,-1})_b{}^d\delta^c{}_d= D^a{}_c \delta^c{}_d D^{-1\, d}{}_b=D^a{}_c D^{-1\, c}{}_b=\delta^a{}_b\ .$ (10.46)




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