Unitäre Transformationen

Unitäre, orthogonale und symplektische Transformationen sind lineare Transformationen, die zugehörige quadratische Formen invariant lassen.

Seien $z^a$ die komplexen Komponenten eines Vektors aus einem komplexen Vektorraum, dann sind die Transformationen

$$z^{\prime\, a}= U^a{}_b z^b$$ (10.47)

unitär, wenn das Betragsquadrat $\sum_a (z^a)^* z^a$ für alle Vektoren invariant ist, wenn also die komplex konjugierten Komponenten einen kontragredienten Vektor $\overline{z}_a=(z^a)^*$ definieren.

Mit der Schreibweise $\overline{z}^{\,\dot{a}}:=(z^a)^*$ und $\overline{U}^{\dot{a}} {}_{\dot{b}}=(U^{a}{}_{b})^*$ ergibt sich aus (B.47),

$$\sum_a (z^a)^* z^a= \overline{z}^{\,\dot{a}}z^b\delta_{\dot{a}b}$$

$$\overline{z}^{\prime\, \dot{a}}= \overline{U}^{\dot{a}} {}_{\dot{... ...ine{z}^{\,\dot{c}}\, z^d =\delta_{\dot{c}d}\, \overline{z}^{\,\dot{c}}\, z^d\ .$$ (10.48)

Da dies für alle $z^a$ erfüllt ist, gilt

$$\overline{U}^{ \dot{a}} {}_{\dot{c}}\, U^b{}_d \,\delta_{\dot{a}b} =\delta_{\dot{c}d}\ .$$ (10.49)

Dies ist eine Tensortransformation wie (B.44), wobei dem Indexbild entsprechend auch konjugiert komplexe Transformationen auftreten. Der numerisch definierte Tensor, dessen Komponenten $\delta_{\dot{c}d}=\delta^c{}_d$ Zahlenwerte Null oder Eins haben, behält seinen Wert, wenn man ihn, so wie sein Indexbild angibt, mit unitären Transformationen transformiert. Mit ihm läßt sich die Beziehung $\overline{z}_b=\overline{z}^{\dot{b}}$ kovariant schreiben

$$\overline{z}_b=\delta_{\dot{a}b}\overline{z}^{\dot{a}}\ .$$ (10.50)

Gleichung (B.50) besagt, daß die Matrizen $U$ mit Matrixelementen $U^a{}_b$ die Gleichung ${U}^{*\,\text{T}}\cdot U=1$ oder $U^\dagger=U^{-1}$ erfüllen, also unitär sind. Sie bilden die Gruppe U$(N)$ der komplexen, unitären $N$$\times$$N$-Matrizen. Die Untergruppe der unitären Matrizen, deren Determinante den speziellen Wert $1$ hat, heißt spezielle unitäre Gruppe SU$(N)$.

Die Eigenwerte $\lambda$ von unitären Transformationen liegen auf dem komplexen Einheitskreis $\vert\lambda\vert^2=1$, denn jeder transformierte Eigenvektor $U^a{}_bz^b=\lambda z^a$ hat unveränderte und nichtverschwindende Länge, $0=(U^a{}_b z^b)^*U^a{}_c z^c- (z^a)^*z^a=(\vert\lambda\vert^2-1)(z^a)^*z^a$.