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Orthogonale Transformationen

Die Lorentzgruppe O$ (p,q)$ besteht aus den reellen, linearen, längentreuen Transformationen $ \Lambda$ der Punkte $ x$

$\displaystyle x^{\prime\, n}= \Lambda^n{}_m\, x^m$ (10.51)

eines reellen, $ N$-dimensionalen Vektorraums, $ N=p+q$, des Minkowskiraumes $ {\mathbb{R}}^{p,q}$. Da die Transformationen reell sind, brauchen gepunktete Indizes nicht eingeführt zu werden.

Lorentztransformationen sind längentreu, das heißt, sie lassen das Längenquadrat $ x^m x^n \eta_{mn}$ invariant. Dabei sind $ \eta_{mn}=\eta_{nm}$ die Matrixelemente einer symmetrischen, invertierbaren Matrix $ \eta$, die bei geeigneter Wahl der Basis diagonal ist und die $ p$ positive und $ q$ negative Diagonalelemente hat (A.71). Weil das Längenquadrat aller Vektoren $ x^m$ invariant ist

$\displaystyle x^{\prime\, m}x^{\prime\, n}\eta_{mn}= \Lambda^m{}_k\, \Lambda^n{}_l\,\eta_{mn}\, x^k\,x^l= \eta_{kl}\, x^k\,x^l\ ,$ (10.52)

ist $ \eta_{mn}$ ein numerisch invarianter Tensor

$\displaystyle \Lambda^m{}_k\, \Lambda^n{}_l\,\eta_{mn}= \eta_{kl}\ .$ (10.53)

Daher transformiert $ \eta_{nm}x^m$, entsprechend zu (B.51), kontragredient zum Vektor $ x^n$. Um Arbeit zu sparen, schreibt man $ x_n$ für $ \eta_{nm}x^m$. Bezeichnen wir die Matrixelemente der inversen Matrix $ \eta^{-1}$ als $ \ \eta^{mn}$ (A.72), dann gilt umgekehrt $ x^m=\eta^{ml}x_l$. Diese Konvention heißt Index Hoch- und Runterziehen

$\displaystyle x_n = \eta_{nm}x^m\, ,\quad x^m = \eta^{mn}x_n\ .$ (10.54)

Falls das Längenquadrat definit ist, $ \eta=-{\mathbf 1}$ oder $ \eta = {\mathbf 1}$, $ p=0$ oder $ q=0$, so schreiben wir kürzer O$ (N)$ statt O$ (N,0)$ oder O$ (0,N)$. Dann besagt (B.54) $ \Lambda^{\text{T}}=\Lambda^{-1}$. Die Länge wird von orthogonalen Transformationen $ \Lambda\in \mathrm{O}(N)$ oder, weniger mathematisch klingend, von Drehspiegelungen invariant gelassen. Unter Drehspiegelungen transformieren Vektoren mit einem oberen Index und Vektoren mit einem unteren Index gleich, denn Drehspiegelungen $ \Lambda$ sind sich selbst kontragredient, $ \Lambda^{\text{T}\,-1}=\Lambda$.




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