Orthogonale Transformationen

Die Lorentzgruppe O$(p,q)$ besteht aus den reellen, linearen, längentreuen Transformationen $\Lambda$ der Punkte $x$

$$x^{\prime\, n}= \Lambda^n{}_m\, x^m$$ (10.51)

eines reellen, $N$-dimensionalen Vektorraums, $N=p+q$, des Minkowskiraumes ${\mathbb{R}}^{p,q}$. Da die Transformationen reell sind, brauchen gepunktete Indizes nicht eingeführt zu werden.

Lorentztransformationen sind längentreu, das heißt, sie lassen das Längenquadrat $x^m x^n \eta_{mn}$ invariant. Dabei sind $\eta_{mn}=\eta_{nm}$ die Matrixelemente einer symmetrischen, invertierbaren Matrix $\eta$, die bei geeigneter Wahl der Basis diagonal ist und die $p$ positive und $q$ negative Diagonalelemente hat (A.71). Weil das Längenquadrat aller Vektoren $x^m$ invariant ist

$$x^{\prime\, m}x^{\prime\, n}\eta_{mn}= \Lambda^m{}_k\, \Lambda^n{}_l\,\eta_{mn}\, x^k\,x^l= \eta_{kl}\, x^k\,x^l\ ,$$ (10.52)

ist $\eta_{mn}$ ein numerisch invarianter Tensor

$$\Lambda^m{}_k\, \Lambda^n{}_l\,\eta_{mn}= \eta_{kl}\ .$$ (10.53)

Daher transformiert $\eta_{nm}x^m$, entsprechend zu (B.51), kontragredient zum Vektor $x^n$. Um Arbeit zu sparen, schreibt man $x_n$ für $\eta_{nm}x^m$. Bezeichnen wir die Matrixelemente der inversen Matrix $\eta^{-1}$ als $\ \eta^{mn}$ (A.72), dann gilt umgekehrt $x^m=\eta^{ml}x_l$. Diese Konvention heißt Index Hoch- und Runterziehen

$$x_n = \eta_{nm}x^m\, ,\quad x^m = \eta^{mn}x_n\ .$$ (10.54)

Falls das Längenquadrat definit ist, $\eta=-{\mathbf 1}$ oder $\eta = {\mathbf 1}$, $p=0$ oder $q=0$, so schreiben wir kürzer O$(N)$ statt O$(N,0)$ oder O$(0,N)$. Dann besagt (B.54) $\Lambda^{\text{T}}=\Lambda^{-1}$. Die Länge wird von orthogonalen Transformationen $\Lambda\in \mathrm{O}(N)$ oder, weniger mathematisch klingend, von Drehspiegelungen invariant gelassen. Unter Drehspiegelungen transformieren Vektoren mit einem oberen Index und Vektoren mit einem unteren Index gleich, denn Drehspiegelungen $\Lambda$ sind sich selbst kontragredient, $\Lambda^{\text{T}\,-1}=\Lambda$.