Nächste Seite: Speziell lineare Transformationen Aufwärts: Darstellungen Vorherige Seite: Orthogonale Transformationen   Inhalt   Index

Symplektische Transformationen

Die Gruppe der symplektischen Transformationen Sp$ (N)$ besteht aus Transformationen

$\displaystyle x^{\prime\, n}= S^n{}_m\, x^m\ ,$ (10.55)

die eine antisymmetrische Bilinearform $ \langle x, y\rangle = x^m y^n$   j$ _{mn}$ mit j$ _{mn}=-$j$ _{nm}$ in einem reellen, $ 2N$-dimensionalen Vektorraum invariant lassen. Die Bilinearform ist nicht entartet, das heißt, j$ _{mn}$ sind Matrixelemente einer invertierbaren Matrix. Sie hat in geeigneter Basis die Form

j$\displaystyle = \begin{pmatrix}& {{\mathbf 1}}\\ -{{\mathbf 1}} \end{pmatrix}\ ,$   j$\displaystyle ^2= -1\ .$ (10.56)

Solch eine antisymmetrische Matrix tritt als Poisson-Klammer der Phasenraumkoordinaten in der Hamiltonschen Mechanik auf. Unter symplektischen Transformationen ist j$ _{mn}$ ein numerisch invarianter Tensor

$\displaystyle S^m{}_k\, S^n{}_l\,$j$\displaystyle _{mn}=$   j$\displaystyle _{kl}\ ,$ (10.57)

der zum Runterziehen von Indizes verwendet werden kann. Mit der inversen Matrix j$ ^{-1}$ werden sie wieder hochgezogen. Wie bei der Metrik $ \eta$ bezeichnet man die Matrixelemente der inversen Matrix j$ ^{-1}=-$j einfach mit j$ ^{nm}$ und entnimmt der Indexstellung, daß es sich um die inverse Matrix handelt

$\displaystyle x_n=$j$\displaystyle _{nm} x^m \ ,\ x^n=$j$\displaystyle ^{nm} x_m\ , \ $   j$\displaystyle ^{nm}=-$j$\displaystyle _{nm}\ ,\ $   j$\displaystyle ^{nl}$j$\displaystyle _{lm}= \delta^n{}_m\ .$ (10.58)

Beim Hoch- und Runterziehen der Indizes ist auf die Reihenfolge der Indizes von j zu achten, da j antisymmetrisch ist.




Nächste Seite: Speziell lineare Transformationen Aufwärts: Darstellungen Vorherige Seite: Orthogonale Transformationen   Inhalt   Index
FAQ Homepage