Symplektische Transformationen

Die Gruppe der symplektischen Transformationen Sp$(N)$ besteht aus Transformationen

$$x^{\prime\, n}= S^n{}_m\, x^m\ ,$$ (10.55)

die eine antisymmetrische Bilinearform $\langle x, y\rangle = x^m y^n$   j$_{mn}$ mit j$_{mn}=-$j$_{nm}$ in einem reellen, $2N$-dimensionalen Vektorraum invariant lassen. Die Bilinearform ist nicht entartet, das heißt, j$_{mn}$ sind Matrixelemente einer invertierbaren Matrix. Sie hat in geeigneter Basis die Form

$$= \begin{pmatrix}& {{\mathbf 1}}\\ -{{\mathbf 1}} \end{pmatrix}\ , ^2= -1\ .$$ (10.56)

Solch eine antisymmetrische Matrix tritt als Poisson-Klammer der Phasenraumkoordinaten in der Hamiltonschen Mechanik auf. Unter symplektischen Transformationen ist j$_{mn}$ ein numerisch invarianter Tensor

$$S^m{}_k\, S^n{}_l\, _{mn}= _{kl}\ ,$$ (10.57)

der zum Runterziehen von Indizes verwendet werden kann. Mit der inversen Matrix j$^{-1}$ werden sie wieder hochgezogen. Wie bei der Metrik $\eta$ bezeichnet man die Matrixelemente der inversen Matrix j$^{-1}=-$j einfach mit j$^{nm}$ und entnimmt der Indexstellung, daß es sich um die inverse Matrix handelt

$$x_n= _{nm} x^m \ ,\ x^n= ^{nm} x_m\ , \ ^{nm}=- _{nm}\ ,\ ^{nl} _{lm}= \delta^n{}_m\ .$$ (10.58)

Beim Hoch- und Runterziehen der Indizes ist auf die Reihenfolge der Indizes von j zu achten, da j antisymmetrisch ist.