Speziell lineare Transformationen

Die speziellen, linearen Transformationen in $N$ Dimensionen, deren Determinante den speziellen Wert $1$ haben, die also volumentreu sind, bilden die Gruppe $\mathrm{SL}(N)$. Sie lassen den $\varepsilon$-Tensor invariant, der durch (A.32) numerisch definiert ist. Denn die Determinante einer Matrix $D$ ist durch

$$\varepsilon^{i_1i_2\dots i_N} D = D^{i_1}{}_{j_1}D^{i_2}{}_{j_2}\dots D^{i_N}{}_{j_N} \varepsilon^{j_1j_2\dots j_N}\ .$$ (10.59)

definiert (H.6). Also ist der $\varepsilon$-Tensor invariant, wenn die Determinante der Transformationsmatrix $D$ Eins ist.

Anders gelesen besagt (B.60), daß $\varepsilon^{i_1i_2\dots i_N}$ die Komponenten einer Tensordichte vom Gewicht $1$ sind (B.45), die unter beliebigen linearen Transformationen invariant ist.