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Speziell lineare Transformationen

Die speziellen, linearen Transformationen in $ N$ Dimensionen, deren Determinante den speziellen Wert $ 1$ haben, die also volumentreu sind, bilden die Gruppe % latex2html id marker 85803
$ \mathrm{SL}(N)$. Sie lassen den $ \varepsilon$-Tensor invariant, der durch (A.32) numerisch definiert ist. Denn die Determinante einer Matrix $ D$ ist durch

$\displaystyle \varepsilon^{i_1i_2\dots i_N}$    det$\displaystyle D = D^{i_1}{}_{j_1}D^{i_2}{}_{j_2}\dots D^{i_N}{}_{j_N} \varepsilon^{j_1j_2\dots j_N}\ .$ (10.59)

definiert (H.6). Also ist der $ \varepsilon$-Tensor invariant, wenn die Determinante der Transformationsmatrix $ D$ Eins ist.

Anders gelesen besagt (B.60), daß $ \varepsilon^{i_1i_2\dots i_N}$ die Komponenten einer Tensordichte vom Gewicht $ 1$ sind (B.45), die unter beliebigen linearen Transformationen invariant ist.



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