Darstellungen von $\mathrm{SL}(2,{\mathbb{C}})$

Insbesondere ist im Fall $N=2$ der $\varepsilon$-Tensor

$$\varepsilon^{\alpha\beta}=-\varepsilon^{\beta\alpha}\ ,\quad\alpha,\beta\in\{1,2\}\ ,\quad \varepsilon^{12}= 1\ ,$$ (10.60)

invariant unter der Gruppe $\mathrm{SL}(2,{\mathbb{C}})$ aller linearen Transformationen eines zweidimensionalen, komplexen Raumes, deren Determinante jeweils den speziellen Wert 1 hat. Die Elemente dieses Vektorraumes nennen wir Spinoren. Ihre Transformation

$$\chi^{\prime\,\alpha} = M^\alpha{}_\beta \chi^\beta\ ,\quad M\in \mathrm{SL}(2,{\mathbb{C}})\ ,$$ (10.61)

ist äquivalent zur kontragredienten Spinortransformation. Für jede Matrix $M$ mit Determinante Eins gilt ja wegen (B.60) $\varepsilon^{\alpha\gamma}M^\beta{}_\alpha M^\delta{}_\gamma = \varepsilon^{\beta\delta}$ oder $M\varepsilon M^T = \varepsilon$ und daher

$$M^{T\,-1}{}_\alpha{}^\beta= \varepsilon_{\alpha\gamma} M^\gamma{}_\delta \varepsilon^{\delta\beta}\ ,$$ (10.62)

wobei $\varepsilon_{\alpha\gamma}$ die Matrixelemente der zu $\varepsilon$ inversen Matrix bezeichnet

$$\varepsilon_{\alpha\gamma}\varepsilon^{\gamma\beta}= \delta_\alpha{}^\beta\ , \quad \varepsilon_{\alpha\gamma}=-\varepsilon^{\alpha\gamma}\ .$$ (10.63)

Insbesondere definiert

$$\chi_\alpha = \varepsilon_{\alpha\beta}\chi^{\,\beta}\ ,\quad \chi_1 = -\chi^2\ ,\ \chi_2 = \chi^1\ ,$$ (10.64)

die Komponenten eines kontragredient transformierenden Spinors.

Die komplex konjugierte Spinortransformation

$$\overline{\chi}^{\,\prime\,\dot{\alpha}} = M^{*\,\dot{\alpha}}{}_{\dot{\beta}}\overline{\chi}^{\dot{\beta}}$$ (10.65)

ist nicht äquivalent zur Spinortransformation, denn die Eigenwerte von zum Beispiel

$$M=\begin{pmatrix}\frac{\displaystyle \mathrm{i}}{\displaystyle 2} & \\ & -2\mathrm{i} \end{pmatrix}\ \in (2,\mathbb{C})$$ (10.66)

sind von den Eigenwerten von $M^*$ verschieden.

Auch die konjugiert komplexe Spinortransformation ist ihrer kontragredienten Transformation äquivalent; mit dem $\varepsilon$-Tensor und seinem Inversen

$$\varepsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}}=-\varepsilon^{\dot{\beta}\d... ... \varepsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}= - \varepsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}}$$ (10.67)

lassen sich Indizes hoch- und runterziehen

$$\overline{\chi}_{\dot{\alpha}} = \varepsilon_{\dot{\alpha}\dot{\b... ...chi}^{\,\dot{2}}\ ,\ \overline{\chi}_{\dot{2}} = \overline{\chi}^{\,\dot{1}}\ .$$ (10.68)

Komponenten von Spinoren höherer Stufe mit einem Tensortransformationsgesetz wie zum Beispiel

$$\psi^{\prime\,\alpha\beta} = M^\alpha{}_\gamma M^\beta{}_\delta \psi^{\gamma\delta}$$ (10.69)

können in einen total symmetrischen Anteil $\chi^{\alpha\beta}= \chi^{\beta\alpha}$ und ein antisymmetrischen Anteil $\tau^{\alpha\beta}= -\tau^{\beta\alpha}$ zerlegt werden. Da die Spinorindizes nur zwei Werte annehmen können, ist der antisymmetrische Anteil proportional zum invarianten $\varepsilon$-Tensor

$$\tau^{\alpha\beta}= - \tau^{\beta\alpha} \Leftrightarrow \tau^{\a... ...ta}\ ,\quad \tau_\gamma{}^\gamma=\varepsilon_{\beta\alpha}\tau^{\alpha\beta}\ .$$ (10.70)

Die zu Spinortransformationen gehörigen, inäquivalenten Tensortransformationen treten daher bei Tensoren auf, deren $(k+1)(l+1)$ Komponenten total symmetrisch (A.30) in $k$ ungepunkteten und total symmetrisch in $l$ gepunkteten Spinorindizes sind

$$\psi^{\prime\,(\alpha_1\dots \alpha_k)\,( \dot{\beta}_1\dots \dot... ...a}_l} \psi^{(\gamma_1\dots \gamma_k)\, (\dot{\delta}_1\dots \dot{\delta}_l)}\ .$$ (10.71)

Für $k=l$ ist das Transformationsgesetz verträglich mit der Realitätsbedingung

$$(\psi^{(\alpha_1\dots \alpha_k)\,( \dot{\beta}_1\dots \dot{\beta}_k)})^*= \psi^{(\beta_1\dots \beta_k)\,(\dot{\alpha}_1\dots \dot{\alpha}_k)}\ .$$ (10.72)