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Darstellungen von % latex2html id marker 85824
$ \mathrm{SL}(2,{\mathbb{C}})$

Insbesondere ist im Fall $ N=2$ der $ \varepsilon$-Tensor

$\displaystyle \varepsilon^{\alpha\beta}=-\varepsilon^{\beta\alpha}\ ,\quad\alpha,\beta\in\{1,2\}\ ,\quad \varepsilon^{12}= 1\ ,$ (10.60)

invariant unter der Gruppe % latex2html id marker 85831
$ \mathrm{SL}(2,{\mathbb{C}})$ aller linearen Transformationen eines zweidimensionalen, komplexen Raumes, deren Determinante jeweils den speziellen Wert 1 hat. Die Elemente dieses Vektorraumes nennen wir Spinoren. Ihre Transformation

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$\displaystyle \chi^{\prime\,\alpha} = M^\alpha{}_\beta \chi^\beta\ ,\quad M\in \mathrm{SL}(2,{\mathbb{C}})\ ,$ (10.61)

ist äquivalent zur kontragredienten Spinortransformation. Für jede Matrix $ M$ mit Determinante Eins gilt ja wegen (B.60) $ \varepsilon^{\alpha\gamma}M^\beta{}_\alpha M^\delta{}_\gamma = \varepsilon^{\beta\delta}$ oder $ M\varepsilon M^T = \varepsilon$ und daher

$\displaystyle M^{T\,-1}{}_\alpha{}^\beta= \varepsilon_{\alpha\gamma} M^\gamma{}_\delta \varepsilon^{\delta\beta}\ ,$ (10.62)

wobei $ \varepsilon_{\alpha\gamma}$ die Matrixelemente der zu $ \varepsilon$ inversen Matrix bezeichnet

$\displaystyle \varepsilon_{\alpha\gamma}\varepsilon^{\gamma\beta}= \delta_\alpha{}^\beta\ , \quad \varepsilon_{\alpha\gamma}=-\varepsilon^{\alpha\gamma}\ .$ (10.63)

Insbesondere definiert

$\displaystyle \chi_\alpha = \varepsilon_{\alpha\beta}\chi^{\,\beta}\ ,\quad \chi_1 = -\chi^2\ ,\ \chi_2 = \chi^1\ ,$ (10.64)

die Komponenten eines kontragredient transformierenden Spinors.

Die komplex konjugierte Spinortransformation

$\displaystyle \overline{\chi}^{\,\prime\,\dot{\alpha}} = M^{*\,\dot{\alpha}}{}_{\dot{\beta}}\overline{\chi}^{\dot{\beta}}$ (10.65)

ist nicht äquivalent zur Spinortransformation, denn die Eigenwerte von zum Beispiel

$\displaystyle M=\begin{pmatrix}\frac{\displaystyle \mathrm{i}}{\displaystyle 2} & \\ & -2\mathrm{i} \end{pmatrix}\ \in$   SL$\displaystyle (2,\mathbb{C})$ (10.66)

sind von den Eigenwerten von $ M^*$ verschieden.

Auch die konjugiert komplexe Spinortransformation ist ihrer kontragredienten Transformation äquivalent; mit dem $ \varepsilon$-Tensor und seinem Inversen

$\displaystyle \varepsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}}=-\varepsilon^{\dot{\beta}\d...
... \varepsilon_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}= - \varepsilon^{\dot{\alpha}\dot{\beta}}$ (10.67)

lassen sich Indizes hoch- und runterziehen

$\displaystyle \overline{\chi}_{\dot{\alpha}} = \varepsilon_{\dot{\alpha}\dot{\b...
...chi}^{\,\dot{2}}\ ,\ \overline{\chi}_{\dot{2}} = \overline{\chi}^{\,\dot{1}}\ .$ (10.68)

Komponenten von Spinoren höherer Stufe mit einem Tensortransformationsgesetz wie zum Beispiel

$\displaystyle \psi^{\prime\,\alpha\beta} = M^\alpha{}_\gamma M^\beta{}_\delta \psi^{\gamma\delta}$ (10.69)

können in einen total symmetrischen Anteil $ \chi^{\alpha\beta}= \chi^{\beta\alpha}$ und ein antisymmetrischen Anteil $ \tau^{\alpha\beta}= -\tau^{\beta\alpha}$ zerlegt werden. Da die Spinorindizes nur zwei Werte annehmen können, ist der antisymmetrische Anteil proportional zum invarianten $ \varepsilon$-Tensor

$\displaystyle \tau^{\alpha\beta}= - \tau^{\beta\alpha} \Leftrightarrow \tau^{\a...
...ta}\ ,\quad \tau_\gamma{}^\gamma=\varepsilon_{\beta\alpha}\tau^{\alpha\beta}\ .$ (10.70)

Die zu Spinortransformationen gehörigen, inäquivalenten Tensortransformationen treten daher bei Tensoren auf, deren $ (k+1)(l+1)$ Komponenten total symmetrisch (A.30) in $ k$ ungepunkteten und total symmetrisch in $ l$ gepunkteten Spinorindizes sind

$\displaystyle \psi^{\prime\,(\alpha_1\dots \alpha_k)\,( \dot{\beta}_1\dots \dot...
...a}_l} \psi^{(\gamma_1\dots \gamma_k)\, (\dot{\delta}_1\dots \dot{\delta}_l)}\ .$ (10.71)

Für $ k=l$ ist das Transformationsgesetz verträglich mit der Realitätsbedingung

$\displaystyle (\psi^{(\alpha_1\dots \alpha_k)\,( \dot{\beta}_1\dots \dot{\beta}_k)})^*= \psi^{(\beta_1\dots \beta_k)\,(\dot{\alpha}_1\dots \dot{\alpha}_k)}\ .$ (10.72)




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