Parallelverschiebung

Verschiebt man in einem gekrümmten Raum einen Vektor parallel von einem Punkt $A$ zu einem Punkt $B$, so hängt das Ergebnis vom Weg ab, den man von $A$ nach $B$ durchlaufen hat. Das ist auf einem Globus leicht nachzuvollziehen. Verschiebt man dort von einem Punkt $A$ am Äquator einen nach Norden zeigenden Vektor längs des Äquators zu einem Punkt $C$, der ein Viertel Kugelumfang entfernt ist, und verschiebt man ihn dann nach Norden zum Nordpol $B$ , so weist er dort von $C$ weg; verschiebt man den Vektor direkt von $A$ nach Norden zum Nordpol $B$, so weist er von $A$ weg und bildet einen Winkel von 90 mit dem Vektor, der von $A$ über $C$ nach $B$ verschoben wurde.

Die Wegabhängigkeit von Parallelverschiebung läßt sich auf der Kugeloberfläche durch keine geschicktere Vorschrift für Parallelverschiebung vermeiden. Gäbe es eine wegunabhängige Vorschrift, die jedem Vektor am Punkt $A$ einen dazu parallelen Vektor an jedem Punkt $B$ eindeutig und umkehrbar zuordnet, so gäbe es auf der Kugeloberfläche ein Vektorfeld, das nirgends verschwindet. Es gehört aber zu den topologischen Eigenschaften der zweidimensionalen Kugeloberfläche, daß jedes Vektorfeld mindestens an einer Stelle verschwindet. Einen Igel kann man nicht ohne Wirbel kämmen.

Parallelverschiebung ist eine geometrische Struktur, die einen Zusammenhang von Vektoren am Anfangspunkt $A$ und Endpunkt $B$ jeder Kurve $\Gamma$ herstellt. Wir bezeichnen mit $P_{\Gamma}v$ den Vektor am Punkt $B$, den wir durch paralleles Verschieben des Vektors $v$ von $A$ längs $\Gamma$ nach $B$ erhalten.

Parallelverschiebung ist definitionsgemäß linear: Wird eine Summe $v+w$ parallel verschoben, so stimmt das Ergebnis mit der Summe der parallel verschobenen Teile überein. Zudem wird jedes Vielfache von $v$ in das Vielfache von $P_{\Gamma}v$ verschoben

$$P_{\Gamma} (v+w) = (P_{\Gamma} v) + (P_{\Gamma} w)\ , \ P_{\Gamma} (c\, v) = c\, (P_{\Gamma} v)\ .$$ (11.1)

Parallelverschiebung ist also mit der Vektorraumstruktur verträglich und liegt fest, wenn Parallelverschiebung der Basisvektoren definiert ist.

Jeder Vektor ist definitionsgemäß sich selbst parallel; besteht die gesamte Kurve $\Gamma$ nur aus einem Punkt, so ist $P_\Gamma v = v$ .

Hintereinanderausführen von Parallelverschiebung gibt die Parallelverschiebung längs hintereinander durchlaufener Wege. Für jeden Punkt $C$ auf der Kurve $\Gamma$ zwischen $A$ und $B$ und die zugehörigen Teilkurven $\Gamma_1$ von $A$ nach $C$ und $\Gamma_2$ von $C$ nach $B$ und die hintereinander durchlaufene Kurve $\Gamma=\Gamma_2\circ \Gamma_1$ soll also gelten

$$P_{\Gamma_2\circ \Gamma_1} v=P_{\Gamma_2}P_{\Gamma_1} v\ .$$ (11.2)

Da Parallelverschiebung hintereinander ausgeführt werden kann, so liegt sie fest, wenn für jeden Vektor $v$ an jedem Ort mit Koordinaten $x^m$ der Vektor $P_\xi v (x)$ am benachbarten Ort mit Koordinaten $x^m+\xi^m$ definiert ist, den man durch Parallelverschiebung längs des infinitesimalen Kurvenstücks von $x$ zu $x+\xi$ erhält.^11.1 Verschiebt man einen Basisvektor $e_{a\,{\vert _x}}$ und entwickelt man in der Basis $e_{b\,{\vert _{x+\xi}}}$, so ist der parallel verschobene Basisvektor von der Form

$$P_\xi e_{a\,{\vert _x}} = \bigl ( e_a - \xi^m \omega_{m\,a}{}^b e_b\bigr )_{\vert _{x+\xi}}\ .$$ (11.3)

Für $\xi=0$ bleibt $e_a$ unverändert, jeder Vektor ist sich selbst parallel. Der nächste Term $\xi^m \omega_{m\,a}{}^b$ ist linear in $\xi$, denn wir vernachlässigen, weil $\xi$ infinitesimal ist, Terme der Ordnung $\xi^2$.

Die Felder $\omega_{m\,a}{}^b(x)$ heißen Zusammenhang oder Konnektion oder auch Eichfelder oder Yang-Mills-Felder.

Verschiebt man einen beliebigen Vektor $v_{\vert _x}= v^a(x) e_{a\,{\vert _x}}$ vom Punkt $x$ parallel zu $x+\xi$, so erhält man, weil Parallelverschiebung linear ist,

$$P_\xi \bigl (v^a(x) e_{a\,\vert _{x}} \bigr ) = v^a(x) \bigl ( e_... ...}} = \bigl ( v^a - \xi^m \omega_{m\,b}{}^a v^b \bigr ) e_{a\,\vert _{x+\xi}}\ .$$ (11.4)

Parallelverschiebung längs einer endlichen Kurve $\Gamma:s\mapsto x(s)$ vom Punkt $A=x(\underline{s})$ zu $B=x(\overline{s})$ ergibt sich durch Hintereinanderausführen infinitesimaler Verschiebungen aus der Lösung des Differentialgleichungssystems

$$\frac{d v^a}{ds}= - T_b{}^a\, v^b\ , T_b{}^a(s)=\frac{dx^m}{ds}\omega_{m\,b}{}^a(x(s))\ ,$$ (11.5)

als Abbildung des Anfangswertes $v=v^a(\underline{s}) e_{a\,{\vert _A} }$ auf $P_{\Gamma}v=v^a(\overline{s}) e_{a\,{\vert _B}}$. Diese Abbildung ist linear und von der Parametrisierung der Kurve unabhängig.

Paralleltransport ist invertierbar: verschieben wir längs der rückwärts durchlaufenen Kurve, die wir mit $\Gamma^{-1}$ bezeichnen, von $B$ nach $A$, so erhalten wir den ursprünglichen Vektor

$$P_{\Gamma^{\smash{-1}}} P_{\Gamma}\ v = v\ .$$ (11.6)

Die linearen Abbildungen $\Lambda:v \mapsto \Lambda(v)$ von Vektoren in die reellen oder komplexen Zahlen bilden den dualen Vektorraum. Ihr Paralleltransport ist wie ihr kontragredientes Transformationsgesetz (B.35) auf natürliche Art durch die Forderung

$$P_\Gamma\Lambda(P_\Gamma v)=\Lambda(v)$$ (11.7)

definiert, daß der parallel verschobene duale Vektor $P_\Gamma\Lambda$, angewendet auf den parallel verschobenen Vektor $P_\Gamma v$, dasselbe ergibt wie der ursprüngliche duale Vektor $\Lambda$, angewendet auf den ursprünglichen Vektor $v$. Insbesondere gilt für die Parallelverschiebung der dualen Basis $e^a$, $e^a(e_b) = \delta^a{}_b= P_\xi e^a \bigl ( e_b - \xi^m \omega_{m\,b}{}^c e_c\bigr) = P_\xi e^a (e_b) - \xi^m \omega_{m\,b}{}^c P_\xi e^a(e_c)$,

$$P_\xi e^a{}_{\,{\vert _x}} = \bigl ( e^a + \xi^m \omega_{m\,b}{}^a e^b\bigr )_{\vert _{x+\xi}}\ .$$ (11.8)

Tensoren der Stufe $(u,o)$ sind definitionsgemäß Abbildungen, die $u$ Vektoren und $o$ duale Vektoren auf Zahlen abbilden und linear in jedem ihrer $u+o$ Argumente sind. Auf gleiche Weise wie parallel verschobene duale Vektoren ist der parallel verschobene Tensor $P_\Gamma T$ durch die Forderung

$$P_\Gamma T(P_\Gamma v,\dots, P_\Gamma \Lambda,\dots)=T(v,\dots,\Lambda,\dots)$$ (11.9)

definiert, daß er auf parallel verschobene Argumente angewendet dasselbe ergibt, wie der ursprüngliche Tensor angewendet auf die ursprünglichen Argumente. Setzt man als Argumente die Basisvektoren $e_a,\dots, e^b, \dots$ ein und verwendet man die Definition $T(e_a,\dots, e^b,\dots)_{\vert _x}= T_{a\dots}{}^{b\dots}(x)$ der Komponentenfunktionen und (C.3) und (C.8), so gilt

$$P_\xi T_{a\dots}{}^{b\dots}(x+\xi) = T_{a\dots}{}^{b\dots}(x) + \... ...b\dots}(x) + \dots - \xi^m\omega_{m\,c}{}^b T_{a\dots}{}^{c\dots}(x) - \dots\ .$$ (11.10)

Die $u+o$ Terme mit der Konnektion $\omega_{m\,a}{}^b$ arbeiten in dieser Gleichung das Indexbild der Komponenten des Tensors $T$ nach der Produktregel der Differentation ab: es entstehen die gleichen $u+o$ Terme, die man erhalten hätte, wenn die Tensorkomponenten als ein Produkt von $o$ Vektorkomponenten und $u$ Komponenten dualer Vektoren gegeben wären und wenn man die Komponenten der parallel verschobenen Vektoren ausmultipliziert und dabei Terme der Ordnung $(\xi)^2$ vernachlässigt hätte.