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Torsion und Krümmung

Hat die Parallelverschiebung keine speziellen Eigenschaften, so hat der Raum Torsion

Abbildung C.1: Torsion
\begin{wrapfigure}{l}{65mm}\setlength{\unitlength}{0.5mm}
\special{em:linewid...
...,v)$}}
\put(77.33,41.33){\makebox(0,0)[cc]{$u$}}
}
\end{picture}\end{wrapfigure}
und Krümmung. Torsion zeigt sich daran, daß sich infinitesimale Parallelogramme nicht schließen. Es seien $ u=u^a e_a$ und $ v = v^a e_a$ zwei Vektoren am Ort $ x$ und $ e_a{}^m (x)$ bezeichne die Raumzeitkomponenten der Basis $ e_a$. Folgt man dem Vektor $ u$ und verschiebt man dabei den Vektor $ v$ längs $ u$ parallel, so erhält man, wenn man Terme höherer Ordnung in $ u$ vernachlässigt, am Ort $ x+u$ mit Koordinaten $ x^m + u^a e_a{}^m(x)$ den parallelverschobenen Vektor $ (P_u v) =v^a e_a(x+u)- u^c e_c{}^m \omega_{m\, a}{}^b v^a e_b (x+u)$ (C.3). Folgt man von $ x+u$ diesem parallel verschobenen Vektor, so gelangt man zum Punkt $ x+u+P_u v$ mit Koordinaten

\begin{displaymath}\begin{split}& x^m+u^a e_a{}^m(x) +v^a e_a{}^m(x+u) -u^a v^b ...
...) -u^a v^b e_a{}^n \omega_{n\, b}{}^c e_c{}^m(x)\ , \end{split}\end{displaymath} (11.11)

wenn man entwickelt und Terme vernachlässigt, die quadratisch in $ u$ oder $ v$ sind.

Vertauscht man die Reihenfolge des Vorgehens und folgt zunächst $ v$ und dann $ P_v u$, so gelangt man zum Punkt $ x+v+P_v u$, der sich von $ x+u+P_u v$ in erster Ordnung in $ u$ und $ v$ durch die Koordinatendifferenz $ T(u,v)^m = u^a v^b T_{ab}{}^c e_c{}^m$ unterscheidet

$\displaystyle T_{ab}{}^c = e_a{}^m e_b{}^{n}(\partial_m e_n{}^c -\partial_n e_m{}^c ) + \omega_{a\,b}{}^c - \omega_{b\,a}{}^c \ .$ (11.12)

Hierbei haben wir $ \omega_{a\,b}{}^c=e_a{}^m\omega_{m\,b}{}^c$ und $ e_b{}^me_m{}^c=\delta_b{}^c$ (A.74) verwendet, sowie die daraus durch Differenzieren folgende Gleichung $ (\partial_n e_b{}^m) e_m{}^c=- e_b{}^m\partial_n e_m{}^c$.

Das längs $ u$ und $ v$ durchlaufende Parallelogramm schließt sich nicht, wenn der Vektor $ T(u,v)=T(u,v)^m\partial_m$ nicht verschwindet. Er hängt linear von den zwei Vektoren $ u$ und $ v$ ab und definiert daher einen Tensor der Stufe $ (2,1)$, die Torsion. Die Torsion ist die bilineare Abbildung von Paaren von Vektoren, die ein infinitesimales Parallelogramm definieren, auf den Vektor, um den sich das Parallelogramm zu schließen fehlt.

Falls $ u$ gleich $ v$ ist, verschwindet der zugehörige Differenzvektor $ T(u,u)$. Eine Größe $ T(u,v)$, die linear in $ u$ und $ v$ ist und die für $ u=v$ verschwindet, ist antisymmetrisch bei Vertauschen von $ u$ und $ v$ (A.24). Daher ist die Torsion antisymmetrisch im ersten Indexpaar

$\displaystyle T_{ab}{}^c= - T_{ba}{}^c\ .$ (11.13)

Weil der Vektor $ T(u,v)$ linear und antisymmetrisch in $ u$ und $ v$ ist, sind seine Komponenten $ T^c$ antisymmetrische Zweiformen. Sie schreiben sich als äußere Ableitung (A.56) der Vielbeinform $ e^c=dx^m e_m{}^c$ (A.75) und mit ihrem antisymmetrischen Produkt (A.37) mit der Zusammenhangsform $ \omega_b{}^c=dx^m \omega_{m\,b}{}^c= e^a\omega_{a\,b}{}^c$ ,

$\displaystyle T^c = de^c + \omega_b{}^c e^b = e^a e^b \frac{1}{2}T_{ab}{}^c= dx...
...c- \partial_n e_m{}^c + e_n{}^b\omega_{m\,b}{}^c - e_m{}^b\omega_{n\,b}{}^c)\ .$ (11.14)

Wenn die Torsion nicht verschwindet, verhalten sich Parallelogramme wie Schraubengewinde. Folgt man der Rille eines Gewindes, das ist eine abgerundete Version des Parallelogramms, einmal rechts und ein anderes Mal links halb herum, so endet man nicht am selben Ort, sondern um eine Ganghöhe versetzt.

Abbildung C.2: Krümmung
\begin{figure}
\setlength{\unitlength}{0.5mm}
\begin{picture}(160.00,110.00)
\p...
...(u,v,w)$}}
\put(77.33,41.33){\makebox(0,0)[cc]{$u$}}
}
\end{picture}\end{figure}
Der Raum ist gekrümmt, wenn ein Vektor $ w$, der parallel um ein von $ u$ und $ v$ aufgespanntes, infinitesimales Flächenstück verschoben wird, nicht mit dem ursprünglichen Vektor übereinstimmt. Für parallel verschobene Basisvektoren $ P_v P_u e_a$ erhalten wir bis auf Terme, die quadratisch in den Komponenten $ u^m$ und $ v^n$ sind,

\begin{equation*}\begin{aligned}P_v P_u e_a &=\,P_v\bigl ( e_a - u^m \omega_{m\,...
...c_{\ \vert _{x+u}}\bigr ) e_{c\,_{\vert x+u+v} }\ . \end{aligned}\end{equation*}

Entwickeln wir $ \omega_{n\,b}{}^c$ nach $ u$

$\displaystyle P_v P_u e_a=\bigl ( \delta_a{}^b - u^m \omega_{m\,a}{}^b\bigr ) \...
...a_b{}^c - v^n (\omega_{n\,b}{}^c + u^m\partial_m \omega_{n\,b}{}^c )\bigr ) e_c$ (11.16)

und multiplizieren wir aus, so folgt

$\displaystyle P_vP_u e_a=\, e_a - u^m\omega_{m\,a}{}^b e_b - v^m\omega_{m\,a}{}...
...}{}^c \,v^n\omega_{n\,c}{}^b e_b - u^m v^n \partial_m \omega_{n\,a}{}^b e_b \ .$ (11.17)

Hiervon unterscheidet sich der Vektor $ P_u P_v e_a$, der anders um das Flächenstück verschoben wurde und sich aus (C.17) durch Vertauschen von $ u$ und $ v$ ergibt, durch

$\displaystyle P_v P_u e_a -P_uP_v e_a= -u^m v^n\bigl ( \partial_m \omega_{n\,a}...
...}{}^c\, \omega_{n\,c}{}^b + \omega_{n\,a}{}^c\, \omega_{m\,c}{}^b\bigr ) e_b\ .$ (11.18)

Da diese Differenz bereits bilinear in $ u^m=u^c e_c{}^m$ und $ v^n=v^d e_d{}^n$ ist, ändern sich ihre Komponenten nicht in der betrachteten Näherung, wenn wir sie längs $ -u$ und $ -v$ zurück in den Ausgangspunkt verschieben. Wir erhalten so die Abweichung des Vektors $ e_a$, der einmal um das gesamte Flächenstück herum parallel verschoben wurde, vom ursprünglichen Vektor. Diese Abweichung definiert die Krümmung $ R(u,v,e_a)$

$\displaystyle P_{-v}P_{-u} P_v P_u e_a = e_a - R(u,v,e_a)\ ,\quad R(u,v,e_a)= u^c v^d R_{cd\,a}{}^b e_b\ ,$ (11.19)
$\displaystyle R_{cd\, a}{}^b = e_c{}^m e_d{}^n \bigl ( \partial_m \omega_{n\,a}...
...m\,a}{}^c\, \omega_{n\,c}{}^b + \omega_{n\,a}{}^c\, \omega_{m\,c}{}^b\bigl )\ .$ (11.20)

Da Paralleltransport linear ist, gilt für einen Vektor $ w=w^a e_a$, der um das Flächenelement parallel verschoben wird,

$\displaystyle P_{-v}P_{-u} P_v P_u w = w - R(u,v,w) = w - u^c v^d w^a R_{cd\,a}{}^b e_b\ .$ (11.21)

Die Krümmung gibt an, um wieviel ein Vektor, der parallel um das von $ u$ und $ v$ aufgespannte Flächenelement herumgeführt wird, vom ursprünglichen Vektor $ w$ abweicht. Dieser Differenzvektor hängt linear von den drei Vektoren $ u$, $ v$ und $ w$ ab und definiert daher einen Tensor der Stufe $ (3,1)$, den Riemanntensor, mit Komponenten $ R_{cd\,a}{}^b$ .

Aus den gleichen Gründen wie die Torsion (A.24) ist der Riemanntensor antisymmetrisch im ersten Indexpaar

$\displaystyle R_{cd\,a}{}^b= - R_{dc\,a}{}^b$ (11.22)

und definiert daher eine matrixwertige Zweiform $ {\mathbf R}_a{}^b=e^c e^d \frac{1}{2}R_{cd\,a}{}^b$. Sie schreibt sich als äußere Ableitung und Quadrat der matrixwertigen Zusammenhangsform $ \omega_a{}^b=dx^m \omega_{m\,a}{}^b$

$\displaystyle {\mathbf R}_a{}^b= d \omega_a{}^b-\omega_a{}^c\omega_c{}^b= dx^md...
...mega_{m\,a}{}^c\, \omega_{n\,c}{}^b + \omega_{n\,a}{}^c\, \omega_{m\,c}{}^b)\ .$ (11.23)

Für die Tangentialvektoren an Weltlinien der Raumzeit ist nicht nur Parallelverschiebung erklärt, sondern auch ein Skalarprodukt $ e_a\cdot e_b = g_{ab}$, die Metrik, und ein Längenquadrat $ w^2 = w\cdot w= w^a w^b g_{ab}$. Die Parallelverschiebung heißt metrikverträglich, wenn parallel verschobene Vektoren unveränderte Länge haben. Insbesondere haben dann die Vektoren $ w$ und $ w- R(u,v,w)$ in erster Ordnung in $ u$ und $ v$ gleiche Länge

$\displaystyle 0= w^2 -(w- R(u,v,w))^2 = 2 R(u,v,w)\cdot w = 2 u^c v^d R_{cd\,a}{}^e g_{eb} w^a w^b\ .$ (11.24)

Es ist $ R_{cd\,a}{}^e g_{eb} w^a z^b$ linear in $ w$ und $ z$ und verschwindet für $ w=z$, wenn die Parallelverschiebung metrikverträglich ist. Dann sind, wie (A.24) zeigt, die Komponenten des mit der Metrik kontrahierten Riemanntensors antisymmetrisch auch im zweiten Indexpaar

$\displaystyle R_{cd\,ab}= R_{cd\,a}{}^e g_{eb}\ ,\quad R_{cd\,ab} = - R_{cd\,ba}\ .$ (11.25)



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