Holonomiegruppe

Paralleltransport längs geschlossener Kurven $\Gamma$, die von einem Punkt $A$ wieder zu $A$ zurückführen, definiert lineare Abbildungen der Vektoren $v$ auf Vektoren $P_\Gamma v$ in demselben Vektorraum. Die Abbildungen können hintereinander ausgeführt und invertiert werden; sie bilden also eine Gruppe $G$, die Holonomiegruppe des Punktes $A$. Schreiben wir diese Abbildungen für Basisvektoren als

$$P_{\Gamma} e_a=M_\Gamma^{-1}{}_a{}^b e_b\ ,$$ (11.26)

so genügt das Matrixprodukt der dabei auftretenden Matrizen $M_\Gamma$ dergleichen Gruppenverknüpfung wie hintereinander ausgeführte Parallelverschiebung. Denn setzt sich ein geschlossener Weg $\Gamma=\Gamma_2\circ \Gamma_1$ aus hintereinander durchlaufenen, geschlossenen Wegen $\Gamma_1$ und $\Gamma_2$ zusammen, so gilt wegen

$$\begin{gather*}\begin{aligned}P_{\Gamma_2\circ \Gamma_1} e_a = & P_{\Gamma_2}P_{... ...}^c e_c = (M_{\Gamma_2}M_{\Gamma_1})^{-1}{}_a{}^b e_b \end{aligned}\end{gather*}$$

$$M_{\Gamma_2\circ \Gamma_1}=M_{\Gamma_2}M_{\Gamma_1}\ .$$ (11.27)

Der Paralleltransport um ein infinitesimales Flächenelement mit Kanten $u$ und $v$ ergibt eine Holonomietransformation ${{\mathbf 1}}+\delta_{<u,v>}$ aus der Umgebung des Einselementes der Holonomiegruppe. Also ist $w- R(u,v,w)$ von der Form $({{\mathbf 1}}+\delta_{<u,v>})w$, das heißt, $-R(u,v,w)= \delta_{<u,v>}w$ ist eine infinitesimale Holonomietransformation, angewendet auf $w$.

Die infinitesimalen Transformationen $\delta_{<u,v>}$ wirken linear auf Vektoren $w$ und bilden eine Liealgebra. Mit einer Basis $\delta_i$, $i=1,\dots,$   dim$(G)$, schreibt sich $R(u,v,w)$ daher als

$$R(u,v,w) = -R(u,v)^i \delta_i w\ ,\quad \delta_i e_a = - T_{i\,a}{}^b e_b\ ,$$ (11.28)

wobei die Koeffizienten $T_{i\,a}{}^b$ Elemente von Matrizen $T_i$ sind, die dieselben Kommutatorrelationen wie die Basis $\delta_i$ erfüllen (B.11). Die Komponenten des Riemanntensors $R(u,v,w)=R_{ab\,c}{}^d u^a v^b w^c e_d$ sind Linearkombinationen von Darstellungsmatrizen $T_i$

$$R_{ab\,c}{}^d= R_{ab}{}^i T_{i\,c}{}^d\ .$$ (11.29)

Die Basis $e_a$ kann so gewählt werden, daß die Matrizen $T_i$ $x$-unabhängig sind (C.87).

Ist für die Vektoren eine zusätzliche Struktur definiert, zum Beispiel ihre Länge, und ist der Paralleltransport damit verträglich und erhält er Länge, so ist die Holonomiegruppe eine Untergruppe der linearen Transformationen, die Länge erhält, also eine Untergruppe der Drehgruppe oder der Lorentzgruppe. Die infinitesimalen Transformationen $\delta_i$ und die Matrizen $T_i$ spannen die zugehörige Liealgebra und ihre Darstellung auf.

Die Holonomiegruppe, die durch Paralleltransport von einem Punkt $B$ längs geschlossener Wege zurück zu $B$ erzeugt wird, ist der Holonomiegruppe des Punktes $A$ isomorph, wenn $A$ und $B$ durch einen Weg $\Gamma_{AB}$ von $B$ nach $A$ zusammenhängen. Denn ist $\Gamma_{AA}$ ein geschlossener Weg von $A$ nach $A$, so ist $\Gamma_{BB} = \Gamma_{AB}^{-1}\circ\Gamma_{AA}\circ\Gamma_{AB}$ ein Weg, der bei $B$ anfängt und endet.