Kovariante Ableitung

Verschiebt man ein Tensorfeld $T(x)$ vom Ort $x$ parallel an den benachbarten Ort $x+U$,^11.2so definiert die Differenz zu $T(x+U)$ in erster Ordnung in $U$ die kovariante Ableitung $D_U T$ des Tensors $T$ längs des Vektors $U$

$$D_U T (x) = T(x+U) - P_{U}T(x) \ .$$ (11.30)

Die kovariante Ableitung von Tensoren längs $U$ ist linear

$$D_U (T+S)=D_U T + D_U S\ ,\quad D_U cT = c D_U T\quad \forall c\in{\mathbb{R}}\ ,$$ (11.31)

erfüllt die Produktregel

$$D_U (TS)=(D_U T)S+T(D_U S)$$ (11.32)

und stimmt auf Skalarfeldern $f$ (A.2) mit der Ableitung

$$D_U f = U(f)=U^m \partial_m f$$ (11.33)

überein. Insbesondere gilt für das Produkt eines Skalarfelds $f$ mit einem Tensor $T$

$$D_U (f T) = U(f) T + f D_U T\ .$$ (11.34)

Die kovariante Ableitung eines Tensors $T$ längs $U$ ist an jedem Punkt linear im Vektor $U$

$$D_{U+V}T=D_{U}T + D_{V}T\ ,\quad D_{f U} T= f D_{U}T \ .$$ (11.35)

Sie definiert daher durch $(D_U T)(V,\dots) = DT(U,V,\dots)$ einen Tensor $DT$, die kovariante Ableitung von $T$, die ein Vektorargument mehr hat als der Tensor $T$.

Wir schreiben kürzer $D_a T(V,\dots)$ für die kovariante Ableitung $DT({e_a},V,\dots)$. Aus der Definition der Parallelverschiebung (C.3) und der kovarianten Ableitung folgt

$$D_a e_b = \omega_{a\,b}{}^c e_c\ , \quad \omega_{a\,b}{}^c= e_a{}^m \omega_{m\,b}{}^c\ .$$ (11.36)

Hieraus ergibt sich die kovariante Ableitung $D_U T(V,\dots) = U^a D_aT(V,\dots)$ längs eines beliebigen Vektors $U=U^a e_a$, denn $D_U$ ist linear in $U$.

Mit der Produktregel folgt die kovariante Ableitung $D_a V$ eines Vektorfeldes $V = V^b e_b$ längs des Vektorfeldes $e_a=e_a{}^m \partial_m$

$$D_a (V^b e_b) = e_a(V^b)\, e_b + V^b D_a e_b = e_a{}^m (\partial_m V^b + \omega_{m\,c}{}^b V^c )e_b \ .$$ (11.37)

Der Tensor $DV$ hat also Komponenten $D_aV^b=DV(e_a, e^b) = e_a{}^m \partial_m V^b + \omega_{a\,c}{}^b V^c$.

Ebenso ergibt sich aus (C.8) die kovariante Ableitung der dualen Basis

$$D_a e^b = - \omega_{ac}{}^b e^c$$ (11.38)

und daraus die kovariante Ableitung $DX$ eines dualen Vektorfeldes $X=X_b e^b$

$$D_a (X_b e^b) = e_a(X_b) e^b + X_b D_a e^b = e_a{}^m (\partial_m X_b - \omega_{m\,b}{}^c X_c ) e^b\ .$$ (11.39)

Die kovariante Ableitung eines Tensors $S$ der Stufe $(u,o)$ folgt aus (C.10)

$$\begin{aligned}D_a S_{b\dots c}{}^{d\dots e} = e_a{}^m \partial... ...s - \omega_{ac}{}^f S_{b \dots f}{}^{d \dots e} \ . \end{aligned}$$

Ein Tensor $T$ der Stufe $(u,o)$ mit einem festgewähltem, ersten Argument $V$ definiert durch $T(V)(W,\dots,X)= T(V,W,\dots,X)$ einen Tensor $T(V)$ der Stufe $(u-1,o)$, zu dessen kovarianter Ableitung $D_U (T(V))$ die Ableitung von $T$ und die Ableitung von $V$ beitragen

$$D_U (T(V)) = (D_U T)(V) + T(D_U V) \ ,\quad (D_U T)(V)=D_U (T(V)) - T(D_U V)\ .$$ (11.41)

Entsprechendes gilt für andere und mehrere festgewählte Argumente.

Ist insbesondere $T$ die kovariante Ableitung von $S$, $T=DS$, also $(DS)(V)=D_V S$, so gilt für die zweite kovariante Ableitung $D D S$

$$(D D S)(U,V)= (D_U DS)(V) = D_U ((DS)(V))- (DS)(D_U V)= D_U D_V S - D_{D_U V}S\ .$$ (11.42)

Durch Antisymmetrisieren in $U$ und $V$ erhalten wir die Torsion und die Krümmung

$$\begin{aligned}DDS(U,V)&- DDS(V,U) = \\ &=(D_U D_V S - D_V D_U ... ...D_U V}S + D_{D_V U}S\\ &= R(U,V) S - D_{T(U,V)}S\ . \end{aligned}$$

Hierbei ist $R(U,V)$ der Differentialoperator

$$R(U,V) = D_U D_V - D_V D_U - D_{[U, V]}\ ,\quad R(U,V) = - R(V,U)\ ,$$ (11.44)

und $T(U,V)$ ist der Vektor

$$T(U,V) = D_U V - D_V U - [U,V]\ ,\quad T(U,V)=-T(V,U)\ ,$$ (11.45)

um den sich ein Parallelogramm mit Seiten $U$ und $V$ zu schließen fehlt. Dies zeigt der Vergleich mit (C.12) für $U=e_a$ und $V=e_b$

$$T(e_a,e_b)= D_a e_b - D_b e_a - [e_a,e_b]\ ,\quad T_{ab}{}^m = \o... ...ega_{ba}{}^c e_c{}^m - e_a{}^n\partial_n e_b{}^m + e_b{}^n\partial_n e_a{}^m\ .$$

Die Gleichung gilt auch für beliebige Vektorfelder $U$ und $V$, weil $D_U V - D_V U - [U,V]$ wegen der Produktregel $[fU,V]=f\,[U,V]- V(f)\, U$ (A.104) funktionenlinear in $U$ und $V$

$$\begin{split}D_{fU} V - D_V fU - [fU,V] & = f D_U V - V(f)\, ... ...,[U,V] + V(f)\, U \\ & = f ( D_U V - D_V U - [U,V]) \end{split}$$ (11.46)

und demnach linear in den Komponentenfunktionen $U^a$ und $V^b$ ist. Daher definiert das Vektorfeld $T(U,V)$ einen Tensor der Stufe $(2,1)$ mit Komponenten $T_{ab}{}^c$, die Torsion.

Der Differentialoperator $R(U,V)$ (C.44) ist funktionenlinear in $U$ und $V$

$$\begin{aligned}R(fU,V) & = D_{fU}D_V - D_V D_{fU} - D_{[fU,V]} ... ... f\,R(U,V) - V(f)\,D_U + V(f)\,D_{U} = f\,R(U,V)\ , \end{aligned}$$

und genügt der Produktregel

$$R(U,V)\,SX = (R(U,V)S)\,X + S\, R(U,V)X\ .$$ (11.48)

Er verschwindet auf skalaren Feldern $f$, denn die kovariante Ableitung von $f$ längs $V$ ergibt das Skalarfeld $D_V f= V(f)= V^m\partial_m f$ (C.33), daher gilt $D_U D_V f = U(V(f))$ und

$$R(U,V)f = 0\ .$$ (11.49)

Auf ein Vektorfeld $W$ angewendet, bewirkt $R(U,V)W$ die infinitesimale Holonomietransformationen (C.28), um die der parallel um das Flächenelement $(U,V)$ verschobene Vektor vom Ausgangsvektor $W$ abweicht

$$R(U,V,W) = - R(U,V)^i \delta_i W = R(U,V)\,W = D_U D_V W - D_V D_U W - D_{[U, V]} W\ .\\$$ (11.50)

Die Formel ist richtig für Basisvektoren

$$\begin{aligned}R(e_a,e_b)\,e_c & = D_a(D_b e_c)-D_b(D_a e_c) - ... ...n\,c}{}^e \omega_{m\,e}{}^d ) e_d = R_{abc}{}^d e_d \end{aligned}$$

und gilt für beliebige Vektoren, weil $R(U,V)W$ funktionenlinear nicht nur in $U$ und $V$, sondern auch in $W$ ist: $R(U,V)\,fW= (R(U,V)f)\,W + f R(U,V)\,W = fR(U,V)\,W$. Da das Vektorfeld $R(U,V,W)$ an jedem Punkt linear von den Vektoren $U$, $V$ und $W$ abhängt, definiert es den Riemanntensor, einen Tensor der Stufe $(3,1)$ mit Komponenten $R_{abc}{}^d$. Den Riemanntensor nennen wir auch einfach die Krümmung.

Auf duale Vektoren $X=X_d e^d$ angewendet, bewirkt $R(e_a, e_b)$ wegen der Produktregel und weil es funktionenlinear ist und auf den Funktionen $e_c(e^d) = \delta_c{}^d$ verschwindet, die kontragrediente Transformation

$$0 = R(e_a, e_b) (e_c(e^d)) = R(e_a, e_b, e_c) (e^d) + e_c (R(e_a,e_b) e^d) = R_{abc}{}^d + e_c (R(e_a,e_b) e^d)\ ,$$

$$R(e_a, e_b) e^d = - R_{abc}{}^d e^c\ ,\quad R(U,V) X = - R_{abc}{}^d U^a V^b X_d\, e^c\ .$$ (11.52)

Ein Tensor $S$ der Stufe $(u,o)$ hat nach Anwenden von $R(e_a, e_b)$ die Komponenten

$$\begin{split}R(e_a, e_b)S_{c_1\dots c_u}{}^{d_1\dots d_o} =\,... ... R_{abf}{}^{d_o} S_{c_1\dots c_u}{}^{d_1\dots f}\ . \end{split}$$ (11.53)

Die infinitesimale Holonomietransformation $R(U,V)= - R(U,V)^i\delta_i$ arbeitet die einzelnen Indizes von Tensorkomponenten $S_{c_1\dots c_u}{}^{d_1\dots d_o}$ so ab, wie eine Ableitung auf $u+o$ Faktoren eines Produktes wirkt. Nach der Produktregel entstehen $u+o$ Terme, in denen jeweils ein Faktor differenziert wird und die restlichen Faktoren ungeändert bleiben.

Für die Komponenten $D_aD_b S= DDS(e_a,e_b)$ besagt (C.43)

$$(D_a D_b - D_b D_a) S = - T_{ab}{}^c D_c S + R(e_a,e_b) S\ .$$ (11.54)