Bianchi-Identitäten

So wie jedes Gradientenfeld $\Lambda_m = \partial_m \Lambda$ die Gleichung $\partial _m \Lambda_n - \partial _n \Lambda_m= 0$ identisch erfüllt, so genügen die Torsion und die Krümmung den Bianchi-Identitäten^11.3.

Schreiben wir die Torsion (C.14) und Krümmung (C.23) als äußere Ableitung der Vielbeinform und der Zusammenhangsform,

$$e^c = dx^m e_m{}^c\ , \omega_b{}^c = dx^m \omega_{m\,b}{}^c\ ,$$ (11.55)

$$T^c = d e^c + \omega_b{}^c e^b = e^a e^b \frac{1}{2}T_{ab}{}^c\ ,\quad R_a{}^b = d \omega_a{}^b - \omega_a{}^c\omega_c{}^b = e^c e^d \frac{1}{2} R_{cd\,a}{}^b\ ,$$ (11.56)

und differenzieren wir erneut, so erhalten wir wegen $d^2 = 0$ (A.60) und der Produktregel (A.59) einerseits

$$dT^d = (d \omega_b{}^d) e^b - \omega_b{}^d d e^b = (R_b{}^d + \om... ...{}^d)e^b - \omega_b{}^d(T^b - \omega_c{}^b e^c) =R_b{}^d e^b - \omega_b{}^d T^b$$ (11.57)

und andererseits

$$dT^d = d (e^a e^b \frac{1}{2}T_{ab}{}^d ) = \frac{1}{2}( (d e^a) ... ...ab}{}^d - e^a (d e^b) T_{ab}{}^d + e^a e^b e^c e_c{}^m\partial_m T_{ab}{}^d)\ .$$ (11.58)

Ersetzen wir hier $de^a$ durch $T^a-\omega_c{}^a e^c$ und bringen wir alle Terme auf eine Seite, so kombinieren sich die partielle Ableitung und die $\omega T$-Terme zur kovarianten Ableitung $D_c T_{ab}{}^d$ und wir erhalten

$$\frac{1}{2} e^a e^b e^c ( D_a T_{bc}{}^d + T_{ab}{}^e T_{ec}{}^d - R_{ab\,c}{}^d )=0\ .$$ (11.59)

Der in $a,b,c$ total antisymmetrische Teil der Klammer verschwindet also. Da $T_{ab}{}^d$ und $R_{ab\,c}{}^d$ in $a$ und $b$ antisymmetrisch sind, ist er durch die zyklische Summe gegeben, die wir durch einen Kreis im Summenzeichen andeuten, $\mathop{\mathchoice {\makebox [0pt][l]{\,$\bigcirc$}\sum } {\parbox{0pt} {\mak... ...pt][l]{$\,\textstyle \circ$}}\sum }}_{abc} X_{abc}= X_{abc}+ X_{bca}+ X_{cab}\,$,

$$\mathop{\mathchoice {\makebox [0pt][l]{\,$\bigcirc$}\sum } {\parb... ...$}}\sum }}_{abc} (D_a T_{bc}{}^d + T_{ab}{}^e T_{ec}{}^d - R_{ab\,c}{}^d )=0\ .$$ (11.60)

Dies ist die erste Bianchi-Identität. Ebenso folgt aus

$$dR_d{}^e = - (d \omega_d{}^c)\omega_c{}^e + \omega_d{}^c d\omega_... ...}^e -d e^a (d e^b) R_{ab\,d}{}^e + e^a e^b e^c e_c{}^m\partial_m R_{ab\,d}{}^e)$$

$$\frac{1}{2}e^a e^b e^c(D_a R_{bc\,d}{}^e + T_{ab}{}^f R_{fc\,d}{}^e) = 0$$ (11.61)

die zweite Bianchi-Identität

$$\mathop{\mathchoice {\makebox [0pt][l]{\,$\bigcirc$}\sum } {\parb... ...yle \circ$}}\sum }}_{abc}(D_a R_{bc\,d}{}^e + T_{ab}{}^f R_{fc\,d}{}^e) = 0 \ .$$ (11.62)

Ihr entsprechen die homogenen Maxwellgleichungen (5.10), also die Quellenfreiheit des Magnetfeldes und das Induktionsgesetz (5.3). Dennoch hat die zweite Bianchi-Identität nicht die gleichen physikalischen Auswirkungen, denn in der Gravitation gibt es keine Entsprechung zu leitenden Drähten in der Elektrodynamik, die die Bewegung von Ladungsträgern, deren Trägheit man vernachlässigen kann, auf den Draht einer Induktionsspule begrenzen.