Basiswechsel

In unseren Formeln für die kovariante Ableitung und für Torsion und Krümmung haben wir keine einschränkenden Annahmen über die an jedem Punkt verwendete Basis $e_a$ von Vektoren und die dazu duale Basis $e^b$ gemacht. Sie gelten daher für jede Basis. Wechseln wir die Basis, solch einen Wechsel $e_a \mapsto e^\prime_a$ der Basis an jedem Ort nennt man eine Eichtransformation, so ändern sich unter solch einer Eichtransformation

$$e^\prime_{a\,{\vert _x}}=M_a{}^b(x) e_{b\,{\vert _x}}\ ,\quad e^{\prime\, b}{}_{\vert _x}=M^{-1}{}_b{}^a(x) e^b{}_{\vert _x}$$ (11.63)

die Komponenten $T_{a\dots}{}^{b\dots}= T(e_a, \dots, e^b \dots )$ von Tensoren linear

$$T^\prime_{a\dots}{}^{b\dots}= T(e^\prime_a, \dots, e^{\prime\, b}... ...}_d{}^b e^d \dots )= M_a{}^c\dots M^{-1}{}_d{}^b\dots T_{c\dots}{}^{d \dots}\ .$$ (11.64)

Insbesondere hängen die Komponenten der Torsion und der Krümmung bezüglich einer Basis $e_a=e_a{}^m \partial_m$ und der Koordinatenbasis, den Tangentialvektoren $\partial_m$ längs der Koordinatenlinien, durch

$$T_{ab}{}^c = e_a{}^k e_b{}^l e_m{}^c T_{kl}{}^m\ ,\quad R_{abc}{}^d = e_a{}^k e_b{}^l e_c{}^m e_n{}^d R_{klm}{}^n$$ (11.65)

zusammen, wobei $e_n{}^d$ die Kurzschrift (A.74) für $e^{-1}{}_n{}^d$ ist, $e_a{}^n e_n{}^d= \delta_a{}^d$. Ist die Eichtransformation ein Wechsel des Koordinatensystems, so gilt wegen

$$T^\prime{}_{m\dots }{}^{n\dots}= T(\partial^\prime{}_m,\dots, dx^{\prime\,n},\dots)\ \ \partial^\prime{}_m = \frac{\partial x^r}{\partial x^{\prime m}}\partial_r\ \ dx^{\prime\, n} = \frac{\partial x^{\prime\, n}}{\partial x^{s}... ...x^{\prime m}} \frac{\partial x^{\prime\, n}}{\partial x^{u}} R_{rst}{}^u (x)\ .$$ (11.66)

Die Koordinaten $x^\prime$ und $x$ bezeichnen hierbei denselben Punkt. Aus (C.36) entnehmen wir die zur Basis $e^\prime_a$ gehörigen Komponentenfunktionen der Konnektion

$$% latex2html id marker 86954 \begin{aligned}\omega^\prime_{ab}... ..._a{}^d M_b{}^e e_d{}^m\partial_m M^{-1}{}_e{}^c \ . \end{aligned}$$

Beim letzten Schritt haben wir die Gleichung $(\partial_m M_b{}^e)M^{-1}{}_e{}^c = - M_b{}^e\partial_m M^{-1}{}_e{}^c$ verwendet, die man durch Ableiten von $M_b{}^e M^{-1}{}_e{}^c = \delta_b{}^c$ zeigt.

Die Komponentenfunktionen der Konnektion bezüglich einer Koordinatenbasis $\partial_m$ schreibt man als $\Gamma_{kl}{}^m$ und nennt sie affine Konnektion im Unterschied zu den Komponentenfunktionen $\omega_{ab}{}^c$, die man Spinkonnektion nennt, wenn die zugehörige Basis $e_a$ an jedem Punkt orthonormal ist bezüglich eines Skalarproduktes und wenn der Paralleltransport Längen unverändert läßt. Wegen $\partial_m = e_m{}^a e_a$ oder $e_a=e_a{}^m \partial_m$ gilt nach (C.68) für die affine Konnektion und die Spinkonnektion

$$\Gamma_{kl}{}^m = e_k{}^a e_l{}^b e_c{}^m \omega_{ab}{}^c - e_l{}^b \partial_k e_b{}^m\ ,$$ (11.68)

$$\omega_{ab}{}^c = e_a{}^k e_b{}^l e_m{}^c \Gamma_{kl}{}^m - e_a{}^k e_b{}^l \partial_k e_l{}^c\ ,$$ (11.69)

und für verschiedene Koordinatenbasen $\partial^\prime{}_m = \frac{\partial x^r}{\partial x^{\prime m}}\partial_r$ besagt (C.68)

$$\Gamma^\prime_{rs}{}^t (x^\prime(x)) = \frac{\partial x^{k}}{\partial x^{\prime\, r}} \frac{\partial x... ...l x^{\prime\, s}} \frac{\partial^2 x^{\prime\, t}}{\partial x^k\partial x^l}\ .$$ (11.70)

Ist die Transformation $x^\prime (x)$ nicht affin, also nicht linear inhomogen von der Form $M x+ a$, so transformiert die affine Konnektion inhomogen. In flachen Räumen gilt die einfache Vorschrift für Parallelverschiebung, daß parallel verschobene Vektoren unveränderte Komponenten haben und daß $\Gamma_{kl}{}^n$ verschwindet, nur in kartesischen Koordinatensystemen. Sie hängen durch affine Transformationen miteinander zusammen.

Die symmetrischen und antisymmetrischen Anteile der affinen Konnektion

$$\Gamma_{kl}{}^m=S_{kl}{}^m+\frac{1}{2}T_{kl}{}^m\ ,$$ (11.71)

$$S_{kl}{}^m=\frac{1}{2}\bigl (\Gamma_{kl}{}^m+\Gamma_{lk}{}^m\bigr ) =S_{lk}{}^m\ ,\quad T_{kl}{}^m=\Gamma_{kl}{}^m-\Gamma_{lk}{}^m= -T_{lk}{}^m \ ,$$ (11.72)

transformieren getrennt voneinander

$$S^\prime_{rs}{}^t (x^\prime) = \frac{\partial x^{k}}{\partial x^{\prime\, r}} \frac{\partial x... ...tial x^{\prime\, s}} \frac{\partial^2 x^{\prime\, t}}{\partial x^k\partial x^l}$$ (11.73)

$$T^\prime_{rs}{}^t (x^\prime) = \frac{\partial x^{k}}{\partial x^{\prime\, r}} \frac{\partial x... ... s}} \frac{\partial x^{\prime\, t}}{\partial x^m} T_{kl}{}^m(x(x^{\prime})) \ .$$ (11.74)

Denn die zweiten Ableitungen von $x^\prime$ nach $x$ hängen nicht von der Reihenfolge der Ableitungen ab und sind symmetrisch unter Vertauschen der Indizes $k$ und $l$. Daher transformiert der antisymmetrische Anteil $T_{kl}{}^m$ homogen als Tensor. Er besteht, wie wir gleich sehen werden, aus den Komponentenfunktionen der Torsion.

Im Koordinatensystem $x^{\prime\, n}=x^{n} + \frac{1}{2}(x^{k}-c^k)(x^{l}-c^l)S_{kl}{}^n$, das in einer Umgebung von $x^n=c^n$ invertierbar mit $x$-Koordinaten zusammenhängt, verschwindet bei $x^n=c^n$ gemäß (C.74) der symmetrische Teil der Konnektion. Er kann an jedem vorgegebenen Punkt durch Wahl eines Koordinatensystems zum Verschwinden gebracht werden.

Die Torsion verschwindet in allen Koordinatensystemen, wenn sie in einem verschwindet.

Notwendig dafür, daß in einem Koordinatensystem alle Komponenten $\Gamma_{kl}{}^m$ der affinen Konnektion überall verschwinden, ist offensichtlich, daß Torsion und Krümmung verschwinden, denn wenn $\Gamma_{kl}{}^m=0$ überall gilt, verschwinden die Tensoren $T_{kl}{}^n$ und $R_{klm}{}^n$. Wenn umgekehrt Torsion und Krümmung verschwinden, so lassen sich Koordinatensysteme finden, in denen die Komponenten der Konnektion verschwinden: zur Konstruktion dieser Koordinaten verschleppt man von einem Ausgangpunkt eine Basis von Tangentialvektoren parallel zu jedem anderen Punkt. Das Ergebnis ist wegunabhängig, weil die Krümmung verschwindet. Zudem verschwindet mit der Torsion der Kommutator dieser parallelen Vektorfelder. Dies ist notwendig und hinreichend dafür, daß sie Tangentialvektorfelder $\partial_m$ mit $[\partial_m,\partial_n]=0$ sind, die zu Koordinatenlinien gehören.

Fassen wir eine Koordinatenbasis als Spezialfall einer Basis $e_a$ mit $e_a{}^m = \delta_a{}^m$ und mit Konnektion $\Gamma$ auf, so besagen (C.12) und (C.20) für die Komponenten der Torsion und der Krümmung bezüglich jeder Koordinatenbasis

$$T_{kl}{}^m = \Gamma_{kl}{}^m - \Gamma_{lk}{}^m\ ,\quad R_{klm}{}^... ...}{}^n -\Gamma_{km}{}^r\, \Gamma_{lr}{}^n + \Gamma_{lm}{}^r\, \Gamma_{kr}{}^n\ .$$ (11.75)

Die kovarianten Ableitungen von Vektor- und Tensorfeldern (C.37, C.39, C.40) haben in einer Koordinatenbasis die Komponenten

$$D_m V^n = \, \partial_m V^n + \Gamma_{mk}{}^n V^k\ ,$$ (11.76)

$$D_m X_n = \, \partial_m X_n - \Gamma_{mn}{}^k X_k\ ,$$ (11.77)

$$\begin{aligned}D_r W_{m\dots n}{}^{k\dots l} = \, \partial_r W_... ...s - \Gamma_{rn}{}^s W_{m \dots s}{}^{k \dots l} \ . \end{aligned}$$

Obwohl die Lieableitung (A.100) ohne Konnektion gebildet wird, so läßt sie sich dennoch durch kovariante Ableitungen ausdrücken

$$\begin{split}{\mathcal{L}}_\xi W_{k_1\dots k_r}{}^{l_1\dots l... ...}^{l_1} W_{k_1\dots k_r}{}^{m\dots l_s} - \dots \ , \end{split}$$ (11.79)

denn alle Konnektionsterme auf der rechten Seite heben sich gegenseitig weg.