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Liealgebrawertiger Zusammenhang

In jedem sternförmigen Gebiet kann man durch Basiswahl die Konnektion vereinfachen. Ein sternförmiges Gebiet enthält definitionsgemäß einen Ursprung $ U$ und mit jedem Punkt $ A$ eine Verbindungslinie, den Strahl $ \Gamma_A$ von $ U$ nach $ A$, wobei sich diese Strahlen nur in $ U$ schneiden. Wir wählen in solch einem Gebiet am Ursprung eine Basis $ e_{a_{\vert _{U}}}$, verschieben sie parallel längs der Strahlen $ \Gamma_A$ und wählen diese parallel verschobene Basis als Basis an jedem Punkt $ A$ auf dem Strahl und daher im gesamten Gebiet

$\displaystyle e_{a_{\,\vert _{A}}}= P_{\Gamma_A} e_{a_{\,\vert _{U}}}\ .$ (11.80)

Verschiebt man diese Basis von einem Punkt $ A$ im Gebiet parallel längs einer beliebigen Kurve $ \Gamma$ zu einem anderen Punkt $ B$ im Gebiet und entwickelt man in der dortigen Basis

$\displaystyle P_{\Gamma} e_{a_{\,\vert _{A}}} = M^{-1}{}_{a}{}^b e_{b_{\,\vert _{B}}}\ ,$ (11.81)

so gehört die hier auftretende Matrix $ M^{-1}$ zur Holonomiegruppe $ G_U$ des Punktes $ U$, nämlich zur Parallelverschiebung von $ U$ längs des Strahls zu $ A$, längs der Kurve $ \Gamma$ zu $ B$ und dann zurück längs des Strahls zu $ U$

$\displaystyle M^{-1}{}_{a}{}^b e_{b_{\,\vert _{U}}}= P_{\Gamma_B^{\smash{-1}}}P_{\Gamma} P_{\Gamma_A} e_{a_{\,\vert _{U}}}\ .$ (11.82)

Insbesondere gehören zu Paralleltransport $ P_\xi$ längs infinitesimaler Kurven von $ x$ zu $ x+\xi$ Matrizen $ M^{-1}={{\mathbf 1}}-T$ der Holonomiegruppe $ G_U$, die dem Einselement infinitesimal benachbart sind

\begin{equation*}\begin{aligned}(\delta_a{}^b - T_a{}^b )e_{b_{\vert _{U}}} &= P...
...i^m \omega_{m\,a}{}^b(x) e_b\bigr )_{\vert _{U}}\ . \end{aligned}\end{equation*}

Die Matrix mit Elementen $ T_a{}^b = \xi^m \omega_{m\,a}{}^b(x)$ gehört folglich zu infinitesimalen Holonomietransformationen, daher schreibt sich die Konnektion mit einer Basis $ T_i$ von Matrizen, die diese Liealgebra aufspannen, als

$\displaystyle \omega_{m\,a}{}^b(x)=\omega_{m}{}^i(x) T_{i\,a}{}^b\ ,\quad [T_i,T_j]=f_{ij}{}^k T_k\ .$ (11.84)

Der Paralleltransport ist durch liealgebrawertige Vektorfelder $ \omega_m^i(x)$ gegeben, deren Anzahl mit der Dimension der Holonomiegruppe übereinstimmt. Die parallel verschobenen Basisvektoren haben an jedem Punkt des sternförmigen Gebietes die Form

$\displaystyle P_\xi e_{a\,\vert _x}$ $\displaystyle = (e_a - \xi^m \omega_m^i T_{i\,a}{}^b e_b)_{\vert _{x+xi}}\ .$ (11.85)

Daher sind die Komponenten des Riemanntensors (C.20) Linearkombinationen der $ x$-unabhängigen Matrizen $ T_i$

$\displaystyle R_{cda}{}^b = e_c{}^m e_d{}^n \bigl ( \partial_m \omega_n^i - \partial_n \omega_{m}^i -\omega_{m}^j \omega_{n}^k f_{jk}{}^i \bigl )T_{i\,a}{}^b\ .$ (11.86)

Dies gilt allerdings normalerweise nicht in der Koordinatenbasis mit Konnektion $ \Gamma_{kl}{}^m$, denn wählt man am Ursprung $ U$ des sternförmigen Gebiets als Basis die Tangentialvektoren der Koordinatenlinien und verwendet man, um die Konnektion zu vereinfachen, diese parallel längs Strahlen verschobenen Vektoren als Basis im gesamten Gebiet, so sind sie normalerweise an anderen Punkten nicht die Tangentialvektoren an Koordinatenlinien.

Wir haben zur Vereinfachung mit einer Basis gearbeitet, die durch Paralleltransport vom Ursprung längs Strahlen definiert ist, und den Ursprung dadurch ausgezeichnet, daß dort $ \omega_n^i$ verschwindet. Gehen wir an jedem Punkt durch eine Holonomietransformation oder eine Transformation aus einer eventuell größeren Gruppe, die wir Eich- oder Strukturgruppe nennen, zu einer anderen Basis über, die differenzierbar mit der bisherigen Basis zusammenhängt, solch einen Basiswechsel nennen wir Eichtransformation, so sind der Ursprung und Strahlen vom Ursprung nicht mehr ausgezeichnet.




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