Eichtheorien

Die Vektoren, die man parallel verschieben kann, müssen nicht unbedingt geometrisch anschauliche Vektoren sein, wie sie als Tangentialvektoren an Kurven auftreten. In der Theorie der Elementarteilchen beschreibt man Materie durch ein Feld $\psi(x) = \psi^c(x)f_{c\,{\vert _x}}$, das Werte in einem Vektorraum $\mathcal{I}$, dem Isoraum, annimmt. Die Komponentenfelder $\psi^c(x)$ gehören zu Teilchen wie Elektronen, Neutrinos oder Quarks. Sie unterscheiden sich in Eigenschaften, den Isoladungen, die in der Elementarteilchenphysik mit Namen wie Ladung, Geschmack (Flavour) und Farbe (Colour) bezeichnet werden.

Für die Isovektoren $f_{c\,{\vert _x} }$ ist an jedem Punkt $x$ Addition und Multiplikation mit Zahlen erklärt, sie bilden eine Basis, $\psi(x)=\psi^c(x)f_c{c\,{\vert _x}}$. Dabei durchläuft der Index $c$ die natürlichen Zahlen bis zur Dimension dim$(\mathcal{I})$ des Isoraumes.

Der Paralleltransport von Isovektoren von $x$ zum infinitesimal benachbarten Punkt $x+\xi$ ist aus den gleichen Gründen wie bei Vektoren von der Form

$$P_\xi f_{c\,{\vert _x}} = \bigl ( f_a - \xi^m A_{m\,c}{}^d f_d\bigr )_{\vert _{x+\xi}}\ .$$ (11.87)

Ebenso lassen sich die Felder $A_{m\, c}{}^d =A_m^i \tau_{i\, c}{}^d$ als Linearkombination von $x$-unabhängigen Darstellungsmatrizen $\tau_i$ der Liealgebra infinitesimaler Holonomietransformationen oder Eichtransformationen schreiben. Die Felder $A_{m}^i(x)$, die den Paralleltransport von Isovektoren definieren, heißen in der Physik Viererpotential, Eichfeld oder Yang-Mills-Feld und gehören zu Photonen, $W$- und $Z$-Bosonen und Gluonen, die elektromagnetische, schwache und starke Wechselwirkungen verursachen.

Die kovariante Ableitung von Isovektorfeldern ist wie in (C.37) durch

$$D_a (\psi^c f_c) = e_a{}^m (\partial_m \psi^c + A_m^i \tau_{i\, d}{}^c \psi^d)f_c$$ (11.88)

gegeben. Nur zählen hier die Indizes $c$ und $d$ die Basis des Isoraumes ab und durchlaufen die natürlichen Zahlen bis dim$(\mathcal{I})$.

Aus $D_a(D_b f_c)- D_b(D_a f_c)- D_{[e_a, e_b]}f_c = F_{ab}{}^i \tau_{i\, c}{}^d f_d$ liest man die Isokrümmung $F_{ab}{}^i$, die Feldstärke der Eichfelder $A_m^i$, ab

$$F_{ab}{}^i = e_c{}^m e_d{}^n \bigl ( \partial_m A_n^i - \partial_n A_m^i -A_m^j A_n^k f_{jk}{}^i \bigl )\ .$$ (11.89)

Hier treten die Strukturkonstanten $f_{jk}{}^i$ der Liealgebra der Eichtransformationen auf, $[\tau_i,\tau_j]=f_{ij}{}^k\tau_k$. Sie bestimmen zusammen mit den Darstellungsmatrizen $\tau_{i}$ im Standardmodell der Elementarteilchen die Kopplungen von Eichfeldern und Materiefeldern.

Die Eichfelder $A_m{}^i$ und die Darstellungsmatrizen $\tau_i$ definieren durch $A= dx^m A_m{}^i\tau_{i}$ eine Liealgebrawertige Differentialform $A$, mit der sich die Feldstärke, so wie die Krümmung (C.23), indexfrei als Zweiform schreibt

$$F = d A - A^2\ ,\quad F = e^a e^b \frac{1}{2}F_{ab}{}^i \tau_i\ .$$ (11.90)

Differenziert man erneut, so folgt mit $d^2 = 0$ (A.60) und der Produktregel (A.59)

$$d F = -(dA) A + A dA = \frac{1}{2}((de^a)e^b F_{ab}{}^i \tau_i -e^a(de^b) F_{ab}{}^i \tau_i + e^a e^b e^c e_c{}^m \partial_m F_{ab}{}^i \tau_i)\ .$$ (11.91)

Setzt man hier (C.14) und (C.91) ein und bringt alle Terme auf eine Seite, so kombinieren sich die partielle Ableitung und die $AF$- und $\omega F$-Terme zur kovarianten Ableitung und man erhält die zweite Bianchiidentität (C.62)

$$\mathop{\mathchoice {\makebox [0pt][l]{\,$\bigcirc$}\sum } {\parb... ...\textstyle \circ$}}\sum }}_{abc}(D_a F_{bc}{}^i + T_{ab}{}^e F_{ec}{}^i) = 0\ .$$ (11.92)