Metrikverträgliche Parallelverschiebung

Ist für Tangentialvektoren $u$ an jedem Punkt $x$ ein Längenquadrat erklärt

$$u^2{}_{\vert _x}=g_{mn}(x)u^m(x)u^n(x)\ , \quad g_{mn}(x)=g_{nm}(x)\ ,$$ (11.93)

so ist Parallelverschiebung verträglich mit der Metrik $g_{mn}(x)$, wenn sie die Länge des Vektors nicht verändert, wenn also bis auf Terme der Ordnung $(\xi)^2$ gilt

$$(P_\xi u)^2=u^2\ .$$ (11.94)

Setzen wir die Komponenten (C.3) des parallel verschobenen Vektors ein und berechnen wir das Längenquadrat am Ort $x+\xi$, so heißt dies

$$\begin{aligned}0=& g_{mn}(x+\xi)(u^m - \xi^k \Gamma_{kl}{}^m u^... ..._{kn}{}^l - g_{ln} \Gamma_{km}{}^l\bigr ) u^mu^n\ . \end{aligned}$$

Diese Gleichung gilt für alle $\xi^k$ und alle $u^m$ genau dann, wenn

$$\partial_k g_{mn} - g_{ml} \Gamma_{kn}{}^l - g_{ln} \Gamma_{km}{}^l=0$$ (11.96)

erfüllt ist, denn wir können in der Identität (C.96) die Komponenten von $\xi$ und $u$ als Variable betrachten und nach ihnen differenzieren.

Parallelverschiebung ist genau dann metrikverträglich (C.97), wenn die kovariante Ableitung (C.79) der Metrik verschwindet

$$D_k g_{mn}=\partial_k g_{mn} - \Gamma_{km}{}^l g_{ln} - \Gamma_{kn}{}^l g_{ml} = 0\ .$$ (11.97)

In basisunabhängiger Schreibweise heißt dies für Vektorfelder $X$, $U$ und $V$

$$0 = (D_X g)(U,V) = D_X (g(U,V)) - g(D_X U, V) - g(U,D_X V)$$ (11.98)

oder in der Notation $U\cdot V = g(U,V) = U^m V^n g_{mn}$

$$X^m \partial_m (U\cdot V) = (D_X U)\cdot V + U \cdot (D_X V)\ .$$ (11.99)

Die Metrikverträglichkeit legt den symmetrischen Teil $S_{kl}{}^m$ der Konnektion fest. Dies sieht man, wenn man zur Vereinfachung die Notation

$$\Gamma_{kl\,m}=g_{mn} \Gamma_{kl}{}^n$$ (11.100)

einführt, $\Gamma_{kl\,m}$ wie in (C.72) in einen symmetrischen und antisymmetrischen Teil zerlegt und die permutierten Versionen von (C.97) geeignet linear kombiniert

$$\begin{aligned}\phantom{-}\partial_k g_{mn} - \frac{1}{2}T_{kn\... ... \frac{1}{2}T_{nk\,m} &= -S_{nm\, k} - S_{nk\,m}\ . \end{aligned}$$

Addiert man diese drei Gleichungen, so heben sich wegen $S_{kn\,m}=S_{nk\,m}$ und $S_{mn\,k}=S_{nm\,k}$ auf der rechten Seite vier Terme weg und man erhält

$$S_{km\,n}= \frac{1}{2}\bigl ( \partial_k g_{mn}+\partial_m g_{nk}-\partial_n g_{km} \bigr ) - \frac{1}{2}T_{kn\, m} - \frac{1}{2}T_{mn\, k}\ .$$ (11.102)

Wir verwenden, daß die Metrik invertierbar ist^11.4, lösen $S_{kl\,n}=g_{nm} S_{kl}{}^m$ nach $S_{kl}{}^m$ durch Multiplikation mit der inversen Metrik (A.70) auf und setzten in (C.72) ein.

Die Komponenten des metrikverträglichen, affinen Zusammenhangs sind

$$\Gamma_{kl}{}^m= \frac{1}{2\vphantom{_.}}g^{mn}\bigl ( \partial_k... ...tial_l g_{nk}-\partial_n g_{kl} + T_{nk\, l} + T_{nl\, k}+ T_{kl\,n }\bigr )\ .$$ (11.103)

Die zugehörige metrikverträgliche Spinkonnektion (C.69) eines Vielbeins, also einer orthonormierten Basis $e_a\cdot e_b = \eta_{ab}$, schreibt sich wegen (A.68) mit der Notation $\omega_{c\,ab}=e_c{}^n\eta_{bd}\omega_{n\, a}{}^d$ und $T_{ab\,c}= e_a{}^k e_b{}^l e_m{}^d \eta_{cd} T_{kl}{}^m$ als

$$\begin{split}\omega_{c\,ab}=&\frac{1}{2}\bigl ( \eta_{cd}e_a{... ...{1}{2}\bigl ( T_{ca\,b} - T_{cb\,a} -T_{ab\,c} )\ . \end{split}$$ (11.104)

Sie ist antisymmetrisch in den letzten beiden Indizes $\omega_{c\,ab}=-\omega_{c\,ba}$. Es sind $\omega_{n\,a}{}^b$ Vektorfelder, die zur Liealgebra infinitesimaler Lorentztransformationen (B.13) gehören.

Der torsionsfreie Teil der metrikverträglichen, affinen Konnektion und der Spinkonnektion ist, anders als die Eichfelder des Standardmodells, aus anderen Feldern, der Metrik oder dem Vielbein, und ihren Ableitungen zusammengesetzt.

Die metrikverträgliche, torsionsfreie Konnektion heißt Levi-Civita-Konnektion. Sie ist durch das Christoffelsysmbol gegeben

$$\Gamma_{kl}{}^m= \frac{1}{2}g^{mn}\bigl ( \partial_k g_{nl}+\partial_l g_{nk}-\partial_n g_{kl} \bigr )\ .$$ (11.105)

Verschwindet die Torsion nicht, so trägt sie auch zum symmetrischen Teil $S_{kl}{}^m$ der metrikverträglichen Konnektion bei und macht sich in der Geradengleichung (C.114) bemerkbar. Die Gerade ist dann nicht die Linie, die je zwei ihrer Punkte mit extremaler Länge verbindet.

Schreiben wir die Lieableitung (A.100) der Metrik

$${\mathcal{L}}_\xi g_{mn}= \xi^k\partial_k g_{mn} + (\partial_m\xi^k) g_{kn} + (\partial_n \xi^k) g_{mk}$$ (11.106)

mit kovarianten Ableitungen (C.80)

$${\mathcal{L}}_\xi g_{mn}= \xi^k D_k g_{mn} + (D_m\xi^k) g_{kn}+ \xi^l T_{lm}{}^k g_{kn} + (D_n \xi^k) g_{mk}+ \xi^l T_{ln}{}^k g_{mk}\ ,$$ (11.107)

der Levi-Civita-Konnektion, $T_{kl}{}^m = 0 = D_m g_{nk}$, so erweist sich die Lieableitung der Metrik längs $\xi$ als die symmetrisierte, kovariante Ableitung von $\xi_m = g_{mn}\xi^n$

$${\mathcal{L}}_\xi g_{mn} =D_m \xi_n + D_n \xi_m\ .$$ (11.108)

Die symmetrisierte, kovariante Ableitung des Feldes $\xi_m$ ist proportional zur Metrik (E.27), falls $\xi^m$ zu einer infinitesimalen konformen Transformation gehört und verschwindet für infinitesimale Isometrien.

Wenn Parallelverschiebung torsionsfrei und metrikverträglich ist, die affine Konnektion also durch das Christoffelsymbol (C.106) gegeben ist, so vereinfacht sich die erste Bianchi-Identität (C.60) zu

$$R_{klm}{}^n+R_{lmk}{}^n+R_{mkl}{}^n= 0\ .$$ (11.109)

Hieraus und aus der Antisymmetrie im ersten und im zweiten Indexpaar (C.25) folgt, daß der Riemanntensor unter Vertauschung der beiden Indexpaare symmetrisch ist

$$\begin{gather*}\begin{aligned}R_{klmn}&= - R_{lmkn} - R_{mkln}= R_{lmnk} + R_{mk... ...\\ &= 2R_{mnkl}+R_{nlkm}+R_{knlm}=2 R_{mnkl}-R_{lknm} \end{aligned}\end{gather*}$$

$$R_{klmn}=R_{mnkl}$$ (11.110)

und daß der Riccitensor $R_{kl}=R_{kml}{}^m$ symmetrisch ist

$$R_{kl}=R_{lk}\ .$$ (11.111)

In der Standardformulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie wird der Paralleltransport so gewählt, daß die Torsion verschwindet. Dies ist zunächst eine Einfachheitsforderung; Formulierungen mit nichtverschwindender Torsion sind genauso denkbar. Um zu entscheiden, welcher Paralleltransport physikalisch durch Testteilchen und Licht realisiert ist, müssen die Auswirkungen von Torsion in Spielarten der Allgemeinen Relativitätstheorie untersucht und mit den Beobachtungen verglichen werden. Wir lassen daher zu, daß die Torsion nicht verschwindet, auch wenn wir in Kapitel 7 zeigen, daß Testteilchen und Licht dem torsionsfreien Paralleltransport unterliegen. Dies ist keine Einfachheitsannahme, sondern folgt aus der Koordinateninvarianz der Wirkung