Satz des Minkowski

Die Entfernung zweier Punkte ist in gewöhnlicher Geometrie die Länge der geraden Verbindungsstrecke. In der Raumzeit definiert die Zeit, die auf einer gleichförmig bewegten Uhr zwischen zwei Ereignissen vergeht, die zeitliche Entfernung dieser Ereignisse.

Um zu bestimmen, welche Zeit auf einer gleichförmig bewegten Uhr $\mathcal U$ vergeht, liest sie ein Beobachter $\mathcal B$ wie in Diagramm 2.1 ab und vergleicht dabei mit der eigenen Uhr [11].

Abbildung 2.1: Strahlensatz

Einfachheitshalber mögen die Uhr und der Beobachter zu einem Zeitpunkt denselben Ort durchlaufen. Ihre Weltlinien schneiden sich in diesem Ereignis $O$, dem Ursprung. Dabei stellen wir beide Uhren auf Null, dann zeigen die Uhren in jedem Ereignis die zeitliche Entfernung zum Ursprung.

Wenn der Beobachter auf die Uhr $\mathcal U$ schaut, die sich gleichmäßig in Sichtlinie von ihm entfernt, und eine Zeit $T_{\mathcal U}$ abliest, so ist dies die Zeit, die auf $\mathcal U$ bis zum Aussenden des Lichtes vergangen war, das der Beobachter gerade sieht. Dabei zeige ihm seine eigene Uhr die Empfangszeit $T_{\mathcal B}$ an. Sie ist der Sendezeit proportional^2.1

$${T_{\mathcal B}}= \kappa({\mathcal B},{\mathcal U})\, {T_{\mathcal U}}\ T_{\mathcal U}>0\ ,$$ (2.1)

mit einem Faktor $\kappa({\mathcal B},{\mathcal U})$, der nicht von der Sendezeit abhängt [12]. Denn wenn der Beobachter später auf der bewegten Uhr die Zeit $T_{\mathcal U}^\prime$ abliest, so ist das Dreieck $O T_{\mathcal U}^\prime T_{\mathcal B}^\prime$ dem Dreieck $O T_{\mathcal U} T_{\mathcal B}$ ähnlich und in allen Abmessungen um denselben Faktor vergrößert. Daher sind die Verhältnisse $T_{\mathcal B}/T_{\mathcal U}$ und $T^\prime_{\mathcal B}/T^\prime_{\mathcal U}$ gleich.

Schwingt in der Zeit $T_{\mathcal U}$ ein von der Uhr mitgeführter Quarz $n$-mal mit einer Frequenz $\nu_{\mathcal U}= n / T_{\mathcal U}$, so sieht der Beobachter diese $n$ Schwingungen, während auf seiner Uhr die Zeit $T_{\mathcal B}$ vergeht. Er beobachtet also die Frequenz

$$\nu_{\mathcal{B}}=\frac{1}{\kappa({\mathcal B},{\mathcal U})}\,\nu_{\mathcal{U}}\ .$$ (2.2)

Die sichtbare Frequenzänderung der Uhr, die sich in Sichtlinie entfernt, ist der longitudinale Dopplereffekt. Er ist dem akustischen Dopplereffekt verwandt, den man als jaulendes Abfallen der Tonhöhe vorbeifahrender Polizeisirenen oder Rennwagen hört.

Da sich gleichförmige Bewegung nicht von Ruhe unterscheiden läßt, hängt $\kappa$ nur von der Relativgeschwindigkeit von $\mathcal{U}$ und $\mathcal{B}$ ab und nicht, wie bei Schall, auch von ihrer Geschwindigkeit gegenüber einem Medium. Zudem hängt $\kappa$ davon ab, ob die verwendeten

Abbildung 2.2: Uhrenvergleich

Uhren gleich gehen. Das kann man einfach ablesen, wenn sie ruhen. Bewegen sie sich, so muß man die Laufzeiten berücksichtigen, die das Licht von beiden Uhren bis zu demjenigen braucht, der sie abliest. Solch eine Laufzeitkorrektur erübrigt sich aber für einen Schiedsrichter $\mathcal{S}$, der wie in Abbildung 2.2 stets mitten zwischen den Uhren ist. Lichtpulse, die er zu einer Zeit zu $\mathcal{B}$ und $\mathcal{U}$ aussendet, und die jeweils zurückgestreut werden, treffen beide immer zur gleichen Zeit wieder bei ihm ein. Da er stets gleich weit von beiden Uhren entfernt ist, sind die Lichtlaufzeiten von beiden Uhren zum Schiedsrichter gleich [13].

Beide Uhren gehen gleich, wenn sie dem Schiedsrichter gleiche Zeiten anzeigen:

$$\tau^\prime = \tau\ .$$ (2.3)

Dies definiert geometrisch, welche Längen auf geraden Weltlinien gegeneinander bewegter Beobachter und Uhren gleich sind, und stimmt ausnahmslos in allen Beobachtungen mit dem physikalischen Verhalten gleicher, realer Uhren überein.

Wir verlängern die Weltlinien des Lichtpulses, der von der Uhr $\mathcal{U}$ empfangen und reflektiert wird, wenn sie die Zeit $\tau$ anzeigt, bis zur Weltlinie des Beobachters $\mathcal{B}$ und bezeichnen in Abbildung 2.3 mit $T_-$ und $T_+$ die Zeiten, die die Uhr von $\mathcal{B}$ anzeigt, wenn

Abbildung 2.3: Satz des Minkowski

er den Lichtpuls zu $\mathcal{U}$ aussendet und wieder empfängt [14]. Wegen (2.1) zeigt die Uhr von $\mathcal{B}$ die Zeit

$$\tau^\prime =\kappa({\mathcal{B}},{\mathcal{S}})\kappa({\mathcal{S}},{\mathcal{B}})\,T_-$$ (2.4)

an, wenn der Lichtpuls wieder einläuft, der zur Zeit $T_-$ ausgesendet wurde und der von $\mathcal{S}$ reflektiert wurde. Denn $\tau^\prime=\kappa({\mathcal{B}},{\mathcal{S}})\,t_-$ ist ein Vielfaches der Zeit $t_-$, zu der der Lichtpuls von $\mathcal{S}$ reflektiert wird, und $t_-=\kappa({\mathcal{S}},{\mathcal{B}})\,T_-$ ist ein Vielfaches der Zeit $T_-$, zu der der Lichtpuls von $\mathcal{B}$ ausgesendet wurde. Ebenso folgt

$$T_+=\kappa({\mathcal{B}},{\mathcal{S}})\kappa({\mathcal{S}},{\mathcal{B}})\,\tau^\prime \ .$$ (2.5)

Also ist $\tau^\prime$ das geometrische Mittel von $T_-$ und $T_+$

$$\frac{\tau^\prime}{T_-}= \frac{T_+}{\tau^\prime}\ ,\quad \tau^{\prime\, 2} = T_+T_-\ ,$$ (2.6)

und wegen $\tau^\prime=\tau$ (2.3) gilt der

Satz des Minkowski 1   Durchlaufen zwei gleichförmig bewegte Beobachter $\mathcal{B}$ und $\mathcal{U}$ ein Ereignis $O$ und stellen sie dabei ihre gleichen Uhren auf Null, so ist die Zeit $\tau$, die auf der Uhr von $\mathcal{U}$ bis zum Durchlaufen eines späteren Ereignisses $E$ vergeht, das geometrische Mittel derjenigen Zeit $T_-$, die die Uhr des Beobachters $\mathcal{B}$ anzeigt, wenn er einen Lichtpuls zu $E$ aussendet, und der Zeit $T_+$, die sie anzeigt, wenn er den Lichtpuls von $E$ empfängt,

$$\tau^2=T_+T_-\ .$$ (2.7)

Dieser Zusammenhang ist für die Geometrie der Raumzeit so wichtig, wie der Satz des Pythagoras $a^2+b^2=c^2$ für die Euklidische Geometrie. Nach dem Satz des Pythagoras sind in der Ebene alle Punkte auf einem Kreis gleich weit vom Mittelpunkt entfernt. Die Gleichung $\tau^2=T_+T_-$ besagt, daß in Raumzeitdiagrammen Punkte gleicher zeitlicher Entfernung vom Ursprung $O$ auf Hyperbeln liegen.