Geraden

Eine Kurve $x(s)$ ist definitionsgemäß gerade oder geodätisch, wenn der Tangentialvektor $U^m(s)=\frac{dx^m}{ds}$ bei Parallelverschiebung längs der Kurve zum Punkt $x(s+\varepsilon)=x+\varepsilon U$ mit dem dortigen Tangentialvektor bis auf Terme der Ordnung $\varepsilon^2$ übereinstimmt. Dann verschwindet auf der Kurve die kovariante Ableitung $D_U U$ des Tangentialvektors in Richtung des Tangentialvektors.

Auf einer Kurve $x(s)$ erfordert der Begriff der kovarianten Ableitung $D_U V$ eines Vektors $V(s)$ längs des Tangentialvektors $U=\frac{dx}{ds}$ nicht, daß $V(s)$ ein in der Umgebung der Kurve definiertes Vektorfeld $V(x)$ ist, denn die Ableitung $\frac{dx^m}{ds}\partial_m$ wirkt als Ableitung $\frac{d}{ds}$ nach dem Kurvenparameter

$$\frac{\delta V^n}{\delta s} = D_{\frac{dx}{ds}} V^n = \frac{dV^n}{ds}+ \frac{dx^k}{ds}\Gamma_{kl}{}^n V^l\ .$$ (11.112)

Hierbei haben wir die Kurzschrift $\frac{\delta}{\delta s}$ für die kovariante Ableitung $D_{\frac{dx}{ds}}$ eingeführt.

Da Geraden definitionsgemäß $D_U U= 0$ mit $U^m = \frac{dx^m}{ds}$ erfüllen, lösen ihre Koordinatenfunktionen die Geodätengleichung

$$\frac{d^2x^m}{ds^2}+ \Gamma_{kl}{}^m\frac{dx^k}{ds}\frac{dx^l}{ds}=0\ .$$ (11.113)

Falls die affine Konnektion überall verschwindet, sind die Koordinaten von Geraden lineare Funktionen $x^m(s)=U^m \cdot s + x^m(0)$ des Bahnparameters.

Es ist $\frac{dx^k}{ds}\frac{dx^l}{ds}=\frac{dx^l}{ds}\frac{dx^k}{ds}$ symmetrisch unter Vertauschung der Indizes. Daher trägt zur Geradengleichung nur der symmetrische Teil $S_{kl}{}^m$ der Konnektion bei.

Ungleichmäßige Gravitation verändert durch Gezeiteneffekte den Abstand zwischen frei fallenden Teilchen, die gerade Weltlinien durchlaufen und die Geodätengleichung erfüllen. Parametrisieren wir die Teilchen durch Parameter $v$ und parametrisieren wir für festes $v$ jede Weltlinie durch einen Bahnparameter $u$, so ist diese Schar von Weltlinien durch $x^m(u,v)$ gegeben. Dabei ist $\frac{\partial x^m}{\partial u{\phantom{^n}}}=U^m$ der Tangentialvektor an die jeweilige geodätische Linie und erfüllt die Geodätengleichung $D_U U= 0$, der Vektor $V^m = \frac{\partial x^m}{\partial v{\phantom{m}}}$ zeigt zur benachbarten geodätischen Linie.

Wenn die Vektoren $U$ und $V$, längs derer differenziert wird, nur auf Kurven oder Flächen oder allgemeiner Untermannigfaltigkeiten definiert sind, wobei die $r$-dimensionale Untermannigfaltigkeiten in einem Koordinatensystem durch Funktionen $x^m(s^1, ..., s^r)$ gegeben sei, so behalten die Gleichungen (C.45) und (C.44) ihre Gültigkeit, falls $U$ und $V$ tangential, das heißt von der Form

$$U^m{}_{\vert _{x(s)}} = U^a(s) \frac{\partial x^m}{\partial s^a}\ ,\quad a=1,\dots, r \ ,$$ (11.114)

sind. Dann wirken die Ableitungen $U^m\partial_{x^m}$ als Ableitungen $U^a\partial_{s^a}$ innerhalb der Untermannigfaltigkeit. Das gilt insbesondere für den Kommutator

$$[U,V]^m{}_{\vert _{x(s)}}= (U^b\partial_{s^b}V^a - V^b\partial_{s^b}U^a) \frac{\partial x^m}{\partial s^a}\ .$$ (11.115)

Auf der zweidimensionalen Fläche $x(u,v)$ sind $U=U^m \partial_{x^m}$ und $V=V^m \partial_{x^m}$ tangentiale Vektorfelder, deren Kommutator verschwindet

$$[U,V]^m = \frac{\partial x^k}{\partial u} \frac{\partial}{\partia... ...rtial v}x^m - \frac{\partial}{\partial v} \frac{\partial}{\partial u}x^m = 0\ .$$

Daher unterscheidet sich die kovariante Ableitung von $V$ längs $U$ von der Ableitung von $U$ längs $V$ um die Torsion (C.45)

$$D_U V = D_V U + T(U,V)\ ,$$ (11.116)

und bei verschwindender Torsion gilt $D_U V = D_V U$.

Längs jeder geodätischen Linie ist wegen (C.100) und $\frac{1}{2}\frac{d}{du} (U\cdot U) =(D_U U)\cdot U = 0$ die Länge des Tangentialvektors konstant. Sind die geodätischen Linien zudem so parametrisiert, daß diese Länge für jede geodätische Linie gleich ist, und verschwindet die Torsion, so ist das Skalarprodukt von $V$ mit $U$ konstant

$$0 = \frac{1}{2}\frac{d}{dv}(U \cdot U) = (D_V U )\cdot U = (D_U V)\cdot U = \frac{d}{du} ( V\cdot U )\ .$$ (11.117)

Ist also der Vektor $V$ zu Beginn für ein $u$ senkrecht zur Tangente $U$ und zeigt er demnach von der geodätischen Weltlinie zu einem gleichzeitigen Ereignis auf der benachbarten geodätischen, so tut er das auch später. Der Vektor $V$ heißt geodätische Abweichung.

Längs jeder geodätischen Linie gilt für die Änderung von $V$ wegen (C.44, C.45) und, weil $D_U U$ und $[U,V]$ verschwinden, die Gleichung

$$D_U D_U V = D_U (D_V U + T(U,V)) = R(U,V,U) + D_U (T(U,V))\ .$$ (11.118)

In Komponenten lautet die Gleichung der geodätischen Abweichung

$$\frac{\delta^2 V^m}{\delta u^2}= R_{kln}{}^m U^k V^l U^n + \frac{\delta}{\delta u}\bigl ( U^k T_{kl}{}^m V^l\bigr )\ .$$ (11.119)

Längs jeder geodätischen Linie ist dies ein linear homogenes Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung für den Vektor $V^m$, der zur benachbarten Geodäten zeigt. Im flachen Raum verschwinden die Krümmung und Torsion und die Differenz $V^m$ zur Nachbargeraden wächst linear an.

Wegen (C.111) ist die Matrix $\omega^2$

$$\omega^2_{mn}= - R_{kmln} U^k U^l=\omega^2_{nm}\ ,\quad \omega^2_{mn}U^n=0\ ,$$ (11.120)

symmetrisch, wenn der Paralleltransport metrikverträglich und torsionsfrei ist. Sie bildet $U^m$ auf Null und den zu $U^m$ orthogonalen Raum auf sich ab. Die Gleichung der geodätischen Abweichung (C.120) hat dann die Form

$$\frac{\delta^2 V^m}{\delta u^2\rule[-2mm]{0pt}{7mm}}+\omega^2{}_{n}{}^m V^n = 0\ .$$ (11.121)

An jedem vorgegebenen Punkt $P$ der geodätischen Linie kann ein Koordinatensystem eingeführt werden, so daß an diesem Punkt die Konnektion verschwindet, die Metrik gleich der flachen Metrik $g_{mn\,\vert _{P}}= \eta_{mn}$ ist, der Tangentialvektor $U^m=(1,0,0,0)$ nur eine Zeitkomponente hat und die Matrix $\omega^2$ diagonal mit Diagonalelementen $\kappa_i$ ist. In einer kleinen Umgebung dieses Punktes lautet dann die Gleichung für geodätische Abweichung ungefähr

$$\frac{d^2 V^i}{d t^2} + \kappa_i V^i = 0\ , \quad ( i)\ ,\quad i=1,2,3\ .$$ (11.122)

Ist $\kappa_i$ positiv, so ist dies die Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators mit Einheitsmasse $m=1$ und Federkonstante $\kappa_i$. Zu negativem $\kappa_i$ gehört Abstoßung in Richtung der Auslenkung. Im Vakuum und bei verschwindender kosmologischen Konstante besagen die Einsteingleichungen $R_{kmln}g^{mn}=0$ (8.19), daß die Matrix $\omega^2$ spurfrei ist und daß die Summe der drei Federkonstanten $\sum_i\kappa_i$ verschwindet. Wirken die Gezeitenkräfte zwischen zwei benachbarten geodätischen Linien wie eine rücktreibende, anziehende Kraft, so gibt es in einer Richtung senkrecht dazu Abstoßung.

Gleiches gilt übrigens auch in Newtonscher Gravitation. Denn das Newtonsche Gravitationspotential im Vakuum erfüllt die Laplace-Gleichung (5.44)

$$\Delta \phi = 0\ .$$ (11.123)

Entwickelt man das Potential um einen Punkt

$$\phi(x,y,z) = \phi(0,0,0)+ \sum_{i=1}^{i=3} g^i x^i + \frac{1}{2}\bigl ( ax^2+b y^2+c z^2\bigr )+O(x^3)\ ,$$ (11.124)

wobei die quadratischen Terme durch Basiswahl diagonalisiert sind, dann besagt die Laplace-Gleichung, daß die Summe $a+b+c$ der drei Federkonstanten verschwindet.

Wenn in Newtonscher Gravitation im Vakuum Teilchen im freien Fall die Erde umkreisen, so pendeln die Weltlinien von nebeneinander laufenden Teilchen umeinander, die Gezeitenkräfte wirken also in dieser Richtung anziehend. Ist der Abstandsvektor zweier Teilchen dazu senkrecht und laufen sie mit unterschiedlichem Abstand um die Erde, so bewirken die Gezeitenkräfte Abstoßung und die Teilchen entfernen sich voneinander.

Ein senkrecht auf eine Zentralmasse fallender Körper wird durch Gezeitenkräfte in Fallrichtung gestreckt und quer dazu gestaucht. Ein so durch Gezeitenkräfte zerrissener Komet, der Komet Shoemaker-Levy, schlug 1994 als Kette von hintereinander fallenden Bruchstücken auf dem Jupiter ein.

In einem fiktiven Tunnel, der durch eine Zentralmasse gebohrt ist, die sich einfachheitshalber nicht dreht, wirken Gezeitenkräfte für hintereinander fallende Teilchen anziehend, auf nebeneinander fallende Teilchen wirken sie abstoßend.

Gravitation bewirkt, daß sich der Abstand frei fallender Teilchen ändert, ohne daß die Teilchen einer spürbaren Kraft ausgesetzt sind. Diese Änderung der beiderseitigen Abstände durch geodätische Abweichung beruht auf Gezeitenkräften der Gravitation, die von anderen Massen verursacht wird, nicht auf gegenseitiger Gravitation der Testteilchen. Die geodätische Abweichung ist unabhängig von den Massen der beteiligten Testteilchen, wächst mit ihrem Abstand, sofern er klein ist, und ist normalerweise richtungsabhängig.