Drehungsfreie Bewegung

Ein Beobachter durchlaufe eine Weltlinie $x^m(s)$, die mit der Zeit parametrisiert sei, die seine Uhr anzeigt. Dann hat der Tangentialvektor $\frac{dx^m}{ds}= e_0{}^m$ Einheitslänge. Senkrecht im Sinne des Skalarproduktes stehen an jedem Punkt der Weltlinie drei Basisvektoren $e_i$, $i=1,2,3$, die räumlichen Maßstäbe des Beobachters, die von der Weltlinie zu gleichzeitigen, benachbarten Ereignissen zeigen, und die paarweise orthogonal und normiert sein mögen. Die vier orthonormalen Basisvektoren definieren längs der Weltlinie ein Vierbein (A.71)

$$e_a{}^m e_b{}^n g_{mn}= e_a\cdot e_b= \eta_{ab}\ ,\quad a,b\in\{0,1,2,3\}\ .$$ (11.125)

Auf der Weltlinie des Beobachters ist bei metrikverträglichem Paralleltransport die Ableitung eines Skalarprodukts $(a\cdot b)=a^m b^n g_{mn}$ nach dem Kurvenparameter gleich dem Skalarprodukt der gemäß Produktregel kovariant längs der Kurve differenzierten Vektoren (C.100). Da die Skalarprodukte $e_a \cdot e_b$ längs der Weltlinie konstant sind, gilt

$$\frac{\delta e_a{}}{\delta s}\cdot e_b+ e_a\cdot \frac{\delta e_b{}}{\delta s}=0\ .$$ (11.126)

Drückt man die kovariante Ableitung des Vierbeins wieder als Linearkombination des Vierbeins aus

$$\frac{\delta e_a{}^k}{\delta s}=\omega_a{}^c\, e_c{}^k\ ,$$ (11.127)

so besagt (C.127), daß die Koeffizienten $\omega_{ab}$ antisymmetrisch sind

$$\omega_{ab}=\omega_a{}^c\eta_{bc}\quad \omega_{ab}=-\omega_{ba}\ .$$ (11.128)

$\omega$ ist eine infinitesimale Lorentztransformation (B.13, E.100).

Die kovariante Ableitung des normierten Tangentialvektors $e_0$ einer zeitartigen Weltlinie definiert einen Vektor $b e_1$, die Beschleunigung, die wir als Betrag $b$ und einen zu $e_0$ senkrechten, normierten Vektor $e_1$ schreiben. Die kovariante Ableitung des Vektors $e_1$ kann als Linearkombination von $e_0$, $e_1$ und einem weiteren, normierten Vektor $e_2$ geschrieben werden, der senkrecht auf $e_0$ und $e_1$ steht. Durch fortlaufendes Differenzieren erhält man so die Gleichungen (C.128); allerdings verschwinden die Koeffizienten $\omega_a{}^c$ für $c>a+1$. Daher vereinfacht sich (C.128) zu den Frenet-Serretschen Formeln

$$\begin{aligned}\frac{\delta e_0{}}{\delta s}&=-\omega_{01} \,e_... ...\frac{\delta e_3{}}{\delta s}&=\omega_{23} \,e_2\ . \end{aligned}$$

Die Koeffizientenfunktion $\omega_{01}$ ist der Betrag der Beschleunigung, $\omega_{12}$ ist der Betrag der Änderung der Richtung der Beschleunigung und wirkt sich durch Coriolis-Kräfte und zusammen mit $\omega_{23}$ durch Präzession aus. Verschwindet $\omega_{23}$, so ist im flachen Raum die Bahnkurve eben. Verschwindet $\omega_{12}$, so ist im flachen Raum die Bahn räumlich gerade, verschwindet $\omega_{01}$, so ist die Bahnkurve eine Gerade in der Raumzeit, also geodätisch.

Aus vorgegebenen Koeffizientenfunktionen $\omega_{01}(s)$, $\omega_{12}(s)$ und $\omega_{23}(s)$ und den Anfangsbedingungen $x(0),e_a(0)$ kann die Bahnkurve $x(s)$ eindeutig bestimmt werden. Es ist ohne weiteres möglich, daß die Weltlinien zweier Zwillinge, die vom gleichen Ereignis $x(0)$ mit unterschiedlicher Geschwindigkeit $\frac{dx}{ds}_{\vert _{s=0}}=e_0(0)$ starten, sich später schneiden. Auch wenn alle Koeffizientenfunktionen $\omega_{01}(s)$, $\omega_{12}(s)$ und $\omega_{23}(s)$ des ersten Zwillings zwischen Start bei $s=0$ und Treffen bei $s=s_1$ mit denjenigen des anderen Zwillings zwischen $s=0$ und $s=s_1$ übereinstimmen, kann der zweite Zwilling eine andere Weltlinie durchlaufen haben, auf der das Treffen zu einer anderen Zeit bei $s_2\ne s_1$ stattfindet.

Das Vierbein, das durch die Frenet-Serretschen Formeln definiert ist, ist normalerweise nicht drehungsfrei. Drehungsfrei ist die Bewegung der Basisrichtungen $e_1$, $e_2$ und $e_3$ eines Beobachters, wenn genügend kurze Lichtwege umkehrbar sind und reflektierte Lichtstrahlen wieder aus der Richtung einfallen, in die sie ausgesendet worden waren.

Abbildung C.3: drehungsfreie Richtung

Was Drehungsfreiheit besagt, klärt die folgende Rechnung. Wir entwickeln bis zur zweiten Ordnung die nicht notwendig gerade Weltlinie $\Gamma:s\mapsto x(s)$ mit Tangentialvektor $e_0{}^m = \frac{dx^m}{ds}$ und das gemäß (C.128) mitgeführte Vierbein $e_a{}^m(s)$ um einen Punkt $x(0)$ und betrachten einen Lichtstrahl, der zur Zeit $-s$ in Richtung $n^i$ ausgesendet wird, dann zurück gestreut und zur Zeit $s$ wieder aus Richtung $n_E^i$ empfangen wird.

Die ausgesendeten und empfangenen Lichtstrahlen $y_{A}(\lambda)$ und $y_{E}(\lambda)$ lösen die Geodätengleichung. Die Weltlinie des Beobachters ist eventuell beschleunigt

$$\frac{d e_0{}^m}{ds}+\Gamma_{kl}{}^m e_0{}^ke_0{}^l=\omega_0{}^be_b{}^m\ .$$ (11.130)

Daher sind die Weltlinien in quadratischer Näherung in $s$ und $\lambda$

$$x^m(s) =x^m(0)+s e_0{}^m + \frac{1}{2}s^2\bigl ( -\Gamma_{kl}{}^m e_0{}^ke_0{}^l + \omega_0{}^be_b{}^m\bigr )\ ,$$ (11.131)

$$y_A^m(\lambda) =x^m(-s)+\lambda u{}^m - \frac{1}{2}\lambda^2 \Gamma_{kl}{}^m u{}^k u{}^l\ ,$$ (11.132)

$$y_E^m(\lambda) =x^m(s)-\lambda v{}^m - \frac{1}{2}\lambda^2 \Gamma_{kl}{}^m v{}^k v{}^l\ .$$ (11.133)

Dabei haben die Tangentialvektoren $u$ und $v$ an die Weltlinie der ein- und auslaufenden Lichtstrahlen räumliche Komponenten $n_E^i$ und $n^i$

$$u=e_0{}^m(-s)+ n^i e_i{}^m(-s)\ ,\quad v=e_0{}^m(s)- n_E^i e_i{}^m(s)\ ,\quad \sum_{i=1}^{i=3} n^i{}^2 = 1 = \sum_{i=1}^{i=3} n_E^i{}^2\ .$$ (11.134)

Die Vierbeine lösen die Differentialgleichung (C.128) und sind in linearer Ordnung

$$e_a{}^m(s)= e_a{}^m(0)+ s\bigl ( -\Gamma_{kl}{}^m e_0{}^ke_a{}^l + \omega_a{}^be_b{}^m\bigr )\ .$$ (11.135)

Die Bedingung, daß sich die Lichtstrahlen in einem Punkt schneiden

$$y_A(\lambda)=y_E(\lambda^\prime)\ ,$$ (11.136)

sind vier Gleichungen, die $\lambda$, $\lambda^\prime$ und die zwei unabhängigen Komponenten von $n_E$ als Funktion von $n$ und $s$ festlegen.

Wertet man diese Gleichungen zunächst in linearer Ordnung in $s$ aus, indem man Skalarprodukte mit $e_0$ und $e_j$, $j=1,2,3,$ betrachtet, so ergibt sich $\lambda=\lambda^\prime=s$ und $n_E^i=n^i$. Bis zur nächsten Ordnung gilt also

$$\lambda=s + s^2\lambda_2\ ,\quad\lambda^\prime=s + s^2\lambda_2^\prime\ ,\quad n_E^i=n^i+s\,\delta n^i\ .$$ (11.137)

In Ordnung $s^2$ heben sich in den Gleichungen (C.137) die symmetrischen Anteile $\Gamma_{kl}{}^m+\Gamma_{lk}{}^m$ der Konnektion weg. Für die Torsion $T_{kl}{}^m=\Gamma_{kl}{}^m-\Gamma_{lk}{}^m$ verwenden wir die Kurzschrift $T_{ab\,c}= T_{kl}{}^me_a{}^ke_b{}^le_c{}^ng_{mn}$. Dann besagt (C.137) in quadratischer Ordnung

$$\delta n_i=(\lambda_2-\lambda_2^\prime) n_i - 2 n^j\omega_{ji} + ... ...}n^j \ ,\quad \lambda_2+\lambda_2^\prime = 2 n^j\omega_{j0} - T_{0i\, 0} n^i\ .$$ (11.138)

Der reflektierte Lichtstrahl kommt jeweils aus derselben Richtung zurück, und das Bezugssystem ist drehungsfrei, wenn die Gleichung $\delta n^i=0$ für alle Richtungen $n^i$ gilt.

Wir zerlegen $T_{0i\,j}=S_{ij}+A_{ij}$ in den symmetrischen und antisymmetrischen Teil $S_{ij}=\frac{1}{2}(T_{0i\,j}+T_{0j\,i})$, $A_{ij}=\frac{1}{2}(T_{0i\,j}-T_{0j\,i})$. Die Gleichung $\delta n^i=0$ für alle Richtungen $n$ besagt, daß $n^j(S_{ji}+A_{ji}-2\omega_{ji}+ (\lambda_2-\lambda_2^\prime)\delta_{ji})=0$ für alle $n^j$ verschwindet, daß also die Matrixgleichung $S_{ji}+A_{ji}-2\omega_{ji}+ (\lambda_2-\lambda_2^\prime)\delta_{ji}= 0$ gilt. Es muß also beim drehungsfreien Transport des Vierbeins $\omega_{ij}$ so gewählt werden, daß $\omega_{ij}=\frac{1}{2}A_{ij}$ gilt. Zudem muß $S_{ji}$ ein Vielfaches von $\delta_{ji}$ sein, $S_{ji}=(\lambda_2^\prime-\lambda_2)\delta_{ji}$. Verschwindet der symmetrische, spurfreie Teil von $T_{0i\,j}$ nicht, so kann man nicht durch Wahl des Bezugssystems Drehungsfreiheit bezüglich aller Achsen sicherstellen.

Der symmetrische, spurfreie Teil von $T_{0i\,j}$ verschwindet für alle Beobachter, das heißt für alle Tangentialvektoren $e_0$ und darauf senkrechten Vektoren $e_i$, genau dann, wenn, wie wir ohne Beweis angeben, die Torsion die Form $T_{ab\,c}=\eta_{ca}u_b-\eta_{cb}u_a+\varepsilon_{abcd}v^d$ hat.

Falls die Torsion verschwindet, so ist das Bezugssystem drehungsfrei, wenn $\omega_{ij}=0$ für $i,j\in\{1,2,3\}$ gilt und das Vierbein die Gleichungen des Fermi-Walker-Transports erfüllt,

$$\frac{\delta e_0{}}{\delta s}=b_1 \,e_1+ b_2 \,e_2+b_3 \,e_3\ ,\ ... ...c{\delta e_2{}}{\delta s}=b_2 e_0\ , \ \frac{\delta e_3{}}{\delta s}=b_3 e_0\ .$$ (11.139)

Fermi-Walker-Transport längs einer Weltlinie ändert das Vierbein über Paralleltransport hinaus durch die drehungsfreie Lorentztransformation, die den zum Nachbarort parallel verschobenen Tangentialvektor in den dortigen Tangentialvektor transformiert.

Demgegenüber verdrehte räumliche Richtungen $\hat{e}_i = O_{ij}e_j$, $O_{ji}=O^{-1}{}_{ij}$, genügen dem Differentialgleichungssystem

$$\frac{\delta e_0}{\delta s}=\hat{b}_i \hat{e}_i\ ,\quad \frac{\delta \hat{e}_i}{\delta s}=\hat{b}_i e_0 +\omega_{ij}\hat{e}_j$$ (11.140)

mit $\hat{b}_i=O_{ij}b_j$ und rotieren mit der Winkelgeschwindigkeit

$$\Omega^i=\frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}\omega_{jk}\ ,\quad \omega_{ij}=\bigl (\frac{d}{ds}O_{ik} \bigr) O_{jk}$$ (11.141)

um die drehungsfrei transportierten Richtungen.