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Drehungen

Drehspiegelungen $ D:\mathcal{V}\rightarrow \mathcal{V}$ sind lineare Transformationen eines $ d$-dimensionalen, Euklidischen Vektorraums $ \mathcal{V}$, die das Skalarprodukt $ \vec{u}\cdot\vec{v}=u^iv^i$ aller Vektoren, also Längen und Winkel, invariant lassen

$\displaystyle D^i{}_j{u}^j D^i{}_k{v}^k={u}^j\delta_{jk}{v}^k\ .$ (12.1)

Dies ist genau dann der Fall, wenn die Orthogonalitätsrelation (B.54)

$\displaystyle D^i{}_j D^i{}_k=\delta_{jk}$ (12.2)

gilt, die besagt, daß die Spalten der Matrix $ D$ die Komponenten von orthonormalen Vektoren sind, oder, als Matrixeigenschaft formuliert, wenn die transponierte Matrix $ D^T$, $ D^T{}_j{}^i = D^i{_j}$, die inverse Matrix ist,

$\displaystyle D^T D = {\mathbf 1}\ .$ (12.3)

Insbesondere gilt $ (\det D)^2=1$ wegen $ \det D^T = \det D$ und wegen des Determinantenproduktsatzes. Die Determinante von $ D$ ist also entweder $ 1$ oder $ -1$.

Die Drehspiegelungen bilden die Gruppe O$ (d)$ der orthogonalen Transformationen in $ d$ Dimensionen. Als Drehungen bezeichnen wir die orientierungstreuen, orthogonalen Transformationen mit $ \det D = 1$. Sie bilden die Untergruppe SO$ (d)$ der speziellen orthogonalen Transformationen, deren Determinante den Wert $ 1$ hat.

Da die Determinante eine stetige Funktion der Matrixelemente ist, gibt es keine stetig von einem Parameter $ \lambda$ abhängende Schar von Drehspiegelungen $ D_\lambda$ mit $ \det D_{\lambda=0} = 1$ und $ \det D_{\lambda=1}=-1$: Drehungen hängen nicht stetig mit Spiegelungen zusammen.

Jede Drehung kann durch Hintereinanderausführen einer infinitesimalen Drehung erzeugt werden. Sie hängt demnach stetig mit der $ {\mathbf 1}$ zusammen. Folglich ist die Drehgruppe zusammenhängend. Dies ergibt sich aus der Eigenwertgleichung

$\displaystyle D \vec{w} = \lambda \vec{w}\ ,\quad \vec{w}\ne 0\ ,$ (12.4)

von Drehspiegelungen $ D$. Die Eigenwerte $ \lambda$ müssen die charakteristische Gleichung

$\displaystyle \det(D-\lambda{{\mathbf 1}}) = 0$ (12.5)

lösen. Dies ist für reelle $ d \times d$-Matrizen $ D$ eine polynomiale Gleichung vom Grad $ d$ mit reellen Koeffizienten und mit $ d$ nicht notwendig verschiedenen, komplexen Lösungen. Dabei zählen wir jede reelle Lösung als, wenn auch spezielle, komplexe Lösung.

Zu jedem komplexen Eigenwert $ \lambda=\sigma+\mathrm{i}\tau$ der reellen Drehspiegelung $ D=D^*$ gehört ein Eigenvektor mit komplexen Komponenten $ w^i=u^i+\mathrm{i}\,v^i$. Zudem ist $ \lambda^*=\sigma-\mathrm{i}\tau$ Eigenwert zu $ w^{*\,i}=u^i-\mathrm{i}\, v^i$. Denn da $ D=D^*$ reell ist, gilt $ 0=((D-\lambda{{\mathbf 1}})^i{}_j w^j)^*=(D-\lambda^*{{\mathbf 1}})^i{}_jw^{*\,j}$.

Wegen der Orthogonalitätsrelation (D.2) und der Eigenwertgleichung gilt auch bei komplexen Komponenten

$\displaystyle (D\vec{w}^*)^i(D\vec{w})^i-w^{*\,i}w^i =0=(\lambda^*\lambda -1)w^{*\,i}w^i=(\vert\lambda\vert^2-1)(\vec{u}^{\,2}+\vec{v}^{\,2})\ ,$ (12.6)

und weil $ \vec{u}^{\,2}+\vec{v}^{\,2}$ nicht Null ist, hat jeder Eigenwert einer Drehspiegelung den Betrag $ \vert\lambda\vert^2=1$ . Jeder reelle Eigenwert $ \lambda$ ist $ 1$ oder $ -1$. Der zugehörige reelle Eigenvektor ist invariant, $ D\vec{n} = \vec{n}$, oder wird gespiegelt, $ D\vec{a} = -\vec{a}$.

Ist der Eigenwert $ \lambda$ nicht reell, so bezeichnen wir im Eigenwertpaar $ \lambda$ und $ \lambda^*$ mit $ \lambda$ den Eigenwert mit negativem Imaginärteil. Wegen $ \vert\lambda\vert=1$ und $ \Im (\lambda) < 0$ läßt sich $ \lambda$ mit einem Winkel $ \alpha$ aus dem Intervall $ 0 < \alpha < \pi$ als $ \cos \alpha - \mathrm{i}\sin\alpha$ schreiben. In Real- und Imaginärteil zerlegt, besagt dann die Eigenwertgleichung

\begin{displaymath}\begin{split}D(\vec{u}+\mathrm{i}\vec{v}) &= (\cos\alpha -\ma...
...-(\sin\alpha)\, \vec{u} + (\cos\alpha)\, \vec{v}\ . \end{split}\end{displaymath} (12.7)

Die Gleichung $ (D\vec{w})^i(D\vec{w})^i - w^i w^i= 0 =(\lambda^2-1) w^iw^i=
(\lambda^2-1)(\vec{u}^{\,2} - \vec{v}^{\,2} + 2 \mathrm{i}\vec{u}\cdot \vec{v})$ erzwingt $ \vec{u}^{\,2}=\vec{v}^{\,2}$ und $ \vec{u}\cdot \vec{v}= 0$, falls $ \lambda$ nicht reell, also $ \lambda^2\ne 1$ ist.

Der reelle Unterraum $ U_\perp$ der Vektoren $ \vec{y}$, die auf einem reellen oder komplexen Eigenvektor $ \vec{w}$ senkrecht stehen, $ \vec{y}\cdot \vec{w}= 0$, wird durch $ D$ auf sich abgebildet

$\displaystyle \vec{y}\cdot \vec{w} = 0 = (D\vec{y})\cdot (D \vec{w}) = \lambda (D\vec{y})\cdot \vec{w}\ ,\quad D(U_\perp)\subset U_\perp\ .$ (12.8)

$ U_\perp$ spannt zusammen mit $ \vec{u}$ und $ \vec{v}$ oder $ \vec{n}$ oder $ \vec{a}$ den gesamten Raum auf, denn da das Skalarprodukt positiv definit ist, sind die Vektoren in $ U_\perp$ linear unabhängig von $ \vec{u}$ und $ \vec{v}$ oder $ \vec{n}$ oder $ \vec{a}$.

Ergänzen wir eine Basis von $ U_\perp$ durch $ \vec{e}_1=\vec{u}/\vert\vec{u}\vert$ und $ \vec{e}_2=\vec{v}/\vert\vec{v}\vert$ oder durch $ \vec{n}/\vert\vec{n}\vert$ oder durch $ \vec{a}/\vert\vec{a}\vert$ zu einer Basis von $ \mathcal{V}$, so hat die Matrix $ D$ in dieser Basis die Form

$\displaystyle D = \begin{pmatrix}D_\alpha\\ & \hat{D} \end{pmatrix} \ ,\quad D_...
...s\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \phantom{-}\cos\alpha \\ \end{pmatrix}\ ,$   oder$\displaystyle \quad D = \begin{pmatrix}\pm1\\ & \hat{D} \end{pmatrix}\ ,$ (12.9)

wobei Nullen nicht ausgeschrieben sind und $ \hat{D}$ eine orthogonale Transformation in $ U_\perp$ ist. Sie ist in angemessener Basis wieder von obiger Form. Es gibt daher für jede Drehung $ D$ eine Orthonormalbasis, in der die zugehörige Matrix blockdiagonal von der Form

$\displaystyle D = \begin{pmatrix}D_\alpha \\ & \ddots\\ & & D_\beta\\ & & & {\mathbf 1}\\ & & & & -{\mathbf 1}\\ \end{pmatrix}$ (12.10)

ist, wobei $ {\mathbf 1}$ für einen Block von Eigenwerten $ 1$ und $ -{\mathbf 1}$ für einen anderen Block von Eigenwerten $ -1$ steht. Wenn die Dimension des Vektorraumes ungerade ist, muß ein reeller Eigenwert $ 1$ oder $ -1$ auftreten, es gibt eine Drehachse oder eine Spiegelachse.

Bei Spiegelungen ist die Anzahl der Eigenwerte $ -1$ ungerade, bei Drehungen gerade. Jedes Paar

$\displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\ & -1 \end{pmatrix}\ ,$   oder$\displaystyle \quad \begin{pmatrix}1 \\ & 1 \end{pmatrix}$ (12.11)

von Eigenwerten $ -1$ oder $ 1$ kann als zu einer Drehung $ D_\pi$ um $ 180\degree $ oder als zu einer Drehung $ D_0$ um $ \alpha = 0$ gehörig aufgefaßt werden.

Jede Drehung $ D$ kann als wiederholte infinitesimale Drehung $ \delta$ geschrieben werden, $ D=\mathrm{e}^\delta$. Denn definiert man für jeden $ 2\times 2$-Block

$\displaystyle \delta \vec{u} = \alpha\, \vec{v} \ ,\quad \delta \vec{v} = -\alpha\, \vec{u}\ ,$ (12.12)

so gilt einfach $ \delta^2 \vec{u}= -\alpha^2\vec{u}$ und $ \delta^2 \vec{v}=-\alpha^2\vec{v}$. Verwendet man dies in der auf $ u$ oder $ v$ angewendeten Exponentialreihe $ \mathrm{e}^\delta$ und trennt man dort gerade und ungerade Potenzen

$\displaystyle \mathrm{e}^\delta = \sum_k \frac{1}{(2k)!}\delta^{2k}+\sum_k \fra...
...rac{(-1)^k}{(2k)!}\alpha^{2k}+\sum_k \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\alpha^{2k}\delta\ ,$ (12.13)

so erhält man (D.7)

$\displaystyle \mathrm{e}^\delta \vec{u} = \cos \alpha\, \vec{u} + \sin \alpha \...
...\mathrm{e}^\delta \vec{v} = - \sin \alpha\, \vec{u} + \cos \alpha\, \vec{v} \ .$ (12.14)

Definiert man für die zu den Eigenwerten $ 1$ gehörigen Vektoren $ \delta \vec{n} = 0$, so ist $ \mathrm{e}^\delta \vec{n}=\delta^0 \vec{n}=\vec{n}$ und es gilt $ D=\mathrm{e}^\delta$ auf den Vektoren $ \vec{u}_i$ und $ \vec{v}_i$, die um einen Drehwinkel $ \alpha_i$ gedreht werden, auf Paaren von Vektoren $ \vec{a}_k$, die um $ \alpha = \pi$ gedreht werden, $ D\vec{a}_k=-\vec{a}_k$, und auf den Drehachsen $ \vec{n}_j$, $ D\vec{n}_j = \vec{n}_j$. Also gilt $ D=\mathrm{e}^\delta$ auf einer Basis und daher im ganzen Raum.

Da man die Drehwinkel stetig von Null auf $ \alpha$ vergrößern kann, hängen alle Drehungen stetig mit der $ \mathbf 1$ und untereinander zusammen. Folglich besteht die Gruppe der Drehspiegelungen O$ (d)$ aus zwei Zusammenhangskomponenten, SO$ (d)$ und $ \mathcal{P}\cdot$SO$ (d)$, wobei die Paritätstransformation $ \mathcal P$ einen Unterraum ungerader Dimension spiegelt, $ \mathcal{P}\vec{a}=-\vec{a}$, und den dazu orthogonalen Unterraum punktweise invariant läßt, $ \mathcal{P}\vec{n}=\vec{n}$.



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