Drehungen in drei Dimensionen

In ungeraden Dimensionen hat jede Drehung einen Eigenwert $1$, denn die Determinante eines $2\times 2$-Blocks (D.7) ist $1$ und Eigenwerte $-1$ treten paarweise auf. Es gibt also in drei Dimensionen für jede Drehung eine Achse $\vec{n}$, deren Punkte ungeändert bleiben, $D\vec{n} = \vec{n}$. Die Drehachse steht senkrecht auf Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$, auf die die Drehung mit (D.7) mit $0\le \alpha \le \pi$ wirkt. Normiert man $\vec{n}$ und $\vec{u}$ und wählt man geeignet das Vorzeichen von $\vec{n}$, so bilden $\vec{n}$, $\vec{u}$ und $\vec{v}=\vec{n}\times \vec{u}$ eine rechtshändige Orthonormalbasis.

Zerlegen wir einen Vektor $\vec{k}$ in Anteile, die parallel und senkrecht zur Drehachse sind, $\vec{k}=\vec{k}_\parallel+\vec{k}_\perp$, so schreibt sich in drei Dimensionen die Drehung als

$$D(\vec{k}_\parallel+\vec{k}_\perp) = \vec{k}_\parallel + (\cos\alpha)\, \vec{k}_\perp + (\sin\alpha)\, (\vec{n}\times \vec{k}_\perp)\ .$$ (12.15)

Sie wird durch Angabe eines Vektors $\vec{d}=\alpha \vec{n}$ der Länge $0\le \alpha \le \pi$ charakterisiert. Bis auf die Komplikation, daß die Drehung um $\alpha = \pi$ um jede Achse $\vec{n}$ mit der Drehung um $-\vec{n}$ übereinstimmt, ist die Beziehung von Drehungen und Vektoren $\vec{d}$ mit $\vert\vec{d}\vert\le \pi$ umkehrbar eindeutig.

Die Drehgruppe SO$(3)$ kann als Mannigfaltigkeit $S^3/{\mathbb{Z}}_2$ aufgefaßt werden. Dabei ist $S^3$ die dreidimensionale Sphäre, die Oberfläche der Einheitskugel in vier Dimensionen. Auf $S^3$ wirkt die zyklische Gruppe ${\mathbb{Z}}_2$ mit zwei Elementen ${{\mathbf 1}}$ und $-{{\mathbf 1}}$, wobei $-{{\mathbf 1}}$ jeden Punkt $p$ auf seinen antipodalen Punkt $-p$ abbildet. Mit $S^3/{\mathbb{Z}}_2$ bezeichnet man die Menge, die von antipodalen Punktpaaren gebildet wird. Jedes antipodale Punktepaar, das nicht auf dem Äquator liegt, kann man durch den Punkt auf der Nordhalbkugel repräsentieren. Diesen Punkt kann man eindeutig durch einen Vektor $\vec{d}=\alpha \vec{n}$, $0\le \alpha< \pi$, bezeichnen, wobei $\vec{n}$ die Richtung vom Nordpol zum Punkt und $\alpha/2$ die Länge des Kreisbogens vom Nordpol zum Punkt angibt. Am Äquator $\alpha = \pi$ bezeichnen $\vec{d}=\pi\vec{n}$ und $-\vec{d}$ dasselbe Paar antipodaler Punkte.

In drei Dimensionen gehört zur Drehung um die Achse $\vec{n}$, $\vec{n}^{\,2}=1$, um den Winkel $\alpha$ die infinitesimale Transformation $\delta$, die jeden Vektor $\vec{k}$ auf das Kreuzprodukt mit $\alpha\, \vec{n}$ abbildet

$$\delta: \vec{k} \mapsto \alpha\, \vec{n}\times \vec{k} \ .$$ (12.16)

Angewendet auf $\vec{n}$, gilt $\delta \vec{n} = 0$. Auf einen zu $\vec{n}$ senkrechten Vektor $\vec{u}$ angewendet, ergibt sich $\delta \vec{u}= \alpha\, \vec{n}\times \vec{u}= \alpha\,\vec{v}$, wobei $\vec{v}$ die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{u}$ zu einer rechtshändigen Orthonormalbasis ergänzt; auf $\vec{v}$ angewendet gilt $\delta \vec{v}= \alpha\, \vec{n}\times(\vec{n}\times \vec{u}) = -\alpha \,\vec{u}$, also (D.12).

Die infinitesimale Transformation ist eine Linearkombination $\alpha\, n^i \delta_i$ der infinitesimalen Drehungen $\delta_i$, $i=1,2,3$, um die $x$-, $y$- und $z$-Achse. Diese infinitesimalen Drehungen um die Koordinatenachsen ändern die Komponenten $x^j$ von Vektoren um

$$\delta_i x^k = - \varepsilon^{ikl}x^l\ .$$ (12.17)

Der Kommutator zweier infinitesimaler Drehungen ist wieder eine infinitesimale Drehung

$$\begin{split}[\delta_i, \delta_j]x^r &= -\varepsilon^{irs}(\d... ...leftrightarrow j = \varepsilon^{ijk}\delta_k x^r\ . \end{split}$$ (12.18)

Es bilden also infinitesimale Drehungen in drei Dimensionen die Liealgebra

$$[\delta_i,\delta_j]=\varepsilon^{ijk}\delta_k\ , \quad [\delta_x,\delta_y]=\delta_z\ .$$ (12.19)