Drehungsfreie Lorentztransformationen

Die Lorentzgruppe O$(p,q)$ besteht aus den reellen, linearen Transformationen $\Lambda$ der Punkte $x$ des $N$-dimensionalen Minkowskiraumes ${\mathbb{R}}^{p,q}$, $N=p+q$,

$$x^{\prime}= \Lambda\, x\ ,$$ (12.20)

die das Skalarprodukt $x\cdot y$ invariant lassen. Es ist in Matrixschreibweise $x\cdot y = x^T \eta\; y$. Dabei ist $\eta$ eine symmetrische, invertierbare Matrix, die bei geeigneter Wahl der Basis diagonal ist, und die $p$ positive und $q$ negative Diagonalelemente hat (A.71). Lorentztransformationen gehören also zu den Matrizen $\Lambda$, die für alle $x$ und alle $y$ die Gleichung $(\Lambda x)^T\eta \,\Lambda y=x^T \eta \,y$ und demnach die folgende Matrixgleichung erfüllen (B.54)

$$\Lambda^T \eta \Lambda = \eta\ .$$ (12.21)

Nehmen wir hiervon die Determinante, so folgt

$$(\det \Lambda)^2 = 1$$ (12.22)

wegen $\det (\Lambda^T \eta\,\Lambda) = (\det \Lambda^T)( \det \eta)( \det \Lambda)$ und wegen $\det \Lambda^T = \det \Lambda$.

Die Determinante einer Lorentztransformation kann also nur die Werte $+1$ oder $-1$ haben. Die speziellen Transformationen $\Lambda$, deren Determinante den Wert 1 hat, bilden die spezielle, orthogonale Gruppe SO$(p,q)$, oder SO$(N)$, falls $p=0$ oder $q=0$ ist.

Für $p>0$ und $q>0$ ist die Gruppe O$(p,q)$ die Mannigfaltigkeit O $(p)\times$   O$(q)\times \mathbb{R}^{pq}$ und hat vier Zusammenhangskomponenten.

Um dies zu zeigen, zerlegen wir die $(p+q)\times (p+q)$-Matrizen $\eta$ und $\Lambda$

$$\eta= \begin{pmatrix}1\\ &-1 \end{pmatrix}\ ,\quad \Lambda = \begin{pmatrix}A & B \\ C & D \end{pmatrix}$$ (12.23)

in einen $p\times p\,$-Block $1$ und $A$, einen $q\times q\,$-Block $-1$ und $D$, einen $q\times p\,$-Block $C$ und einen $p\times q\,$-Block $B$ und schreiben (D.21) aus

$$A^T A = 1 + C^T C\ ,\quad D^T D = 1 + B^T B\ ,\quad A^T B = C^T D\ .$$ (12.24)

Da für jede reelle Matrix $C$ die symmetrische Matrix $C^T C$ durch eine Drehung diagonalisierbar ist, und da $C^T C$ nicht negative Diagonalelemente $\lambda_j=\sum_i C_{ij}C_{ij}$ hat, hat $1 + C^T C$ Eigenwerte, die nicht kleiner als $1$ sind. Also ist $A$ invertierbar, $(\det A)^2= \det(1+C^T C)\ge 1$, und ebenso $D$, $(\det D)^2 \ge 1$.

Jede reelle, invertierbare Matrix $A$ kann eindeutig in ein Produkt einer orthogonalen Matrix $O$, $O^T=O^{-1}$, mit einer positiv definiten, symmetrischen Matrix $S$, $S=S^T$, zerlegt werden,

$$A=O S\ .$$ (12.25)

Denn $A^T A$ definiert eine symmetrische Matrix $S^2$ mit positiven Eigenwerten $\lambda_i>0$, $i=1,\dots p$, und dadurch auch die positive, symmetrische Matrix

$$S =\sqrt{A^TA}\ ,\quad S = S^T\ ,$$ (12.26)

mit denselben Eigenvektoren wie $S^2$ und den positiven Eigenwerten $\sqrt{\lambda_i}$. Die Matrix

$$O=A S^{-1}\ ,\quad O^T = O^{-1}\ ,$$ (12.27)

ist orthogonal, wie $S^{T-1}A^T A S^{-1}= S^{-1}S^2 S^{-1}=1$ zeigt.

Da $A$ und $D$ invertierbar sind, kann $\Lambda$ (D.23) eindeutig zerlegt werden

$$\Lambda = \begin{pmatrix}O \\ & \hat{O} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}S & Q\\ P & \hat{S} \end{pmatrix}\ ,$$ (12.28)

wobei wir abkürzend $P=\hat{O}^{-1}C$ und $Q=O^{-1}B$ schreiben. $S$ und $\hat{S}$ sind invertierbar und symmetrisch, $O$ und $\hat{O}$ sind orthogonale Matrizen. Gleichung (D.21) besagt

$$S^2=1+P^T P\ ,\quad S Q = P^T \hat{S}\ ,\quad \hat{S}^2= 1 + Q^T Q\ .$$ (12.29)

Setzen wir $Q= S^{-1}P^T\hat{S}$ und $S^{-2}=(1+P^T P)^{-1}$ in der letzten Gleichung ein, so folgt

$$\hat{S}^2 = 1 + \hat{S}P S^{-1}S^{-1}P^T \hat{S} \quad 1=\hat{S}^{-2}+ P (1+P^TP)^{-1}P^T\ .$$ (12.30)

Was dies für $\hat{S}^{-2}$ besagt, finden wir heraus, indem wir die Matrizen auf eine Basis, nämlich die Eigenvektoren $w$ von $PP^T$ anwenden, $PP^T w = \lambda w$. Wenn $P^T w$ nicht verschwindet, ist $P^T w$ Eigenvektor von $P^T P$, $(P^TP)P^T w = \lambda P^Tw$, zu demselben Eigenwert. Dann gilt

$$P (1+P^TP)^{-1}P^Tw=P \frac{1}{1+\lambda}P^Tw=\frac{\lambda}{1+\lambda}w\ .$$ (12.31)

Dies gilt auch, wenn $P^T w$ verschwindet, denn dann ist $PP^T w = 0$, also $\lambda = 0$. In (D.30) eingesetzt ergibt sich $\frac{1}{1+\lambda}w=\hat{S}^{-2}w$ oder $\hat{S}^2 w = (1+\lambda) w$. Also ist

$$\hat{S}^2=1 + P P^T\ .$$ (12.32)

Dies gilt auf Eigenvektoren von $PP^T$ angewendet. Da sie eine Basis in $\mathbb{R}^q$ bilden, gilt dies auch angewendet auf einen beliebigen Vektor, also als Matrixgleichung.

Aus gleichen Grund ist, angewendet auf Eigenvektoren von $PP^T$ und demnach für alle Vektoren,

$$Q=S^{-1} P^T \hat{S}=\sqrt{1+P^T P}^{\,-1}P^T\sqrt{1+PP^T} =P^T\ .$$ (12.33)

Also ist jede Lorentzmatrix eindeutig durch ein Paar von Drehspiegelungen $O\in$O$(p)$, $\hat{O}\in$O$(q)$ und eine drehungsfreie Lorentztransformation $L_P$, $L_P=(L_P)^T$, gegeben, die durch eine Matrix $P$ mit $q$ Zeilen und $p$ Spalten bestimmt ist

$$\Lambda = \begin{pmatrix}O \\ & \hat{O} \end{pmatrix}L_P\ ,\quad L_P= \begin{pmatrix}\sqrt{1+P^TP} & P^T \\ P & \sqrt{1+P P^T} \end{pmatrix}\ .$$ (12.34)

Da $q \times p$ Matrizen $P$ den Vektorraum $\mathbb{R}^{qp}$ bilden, gehört zu jeder Lorentztransformation genau ein Punkt in der Mannigfaltigkeit O $(p)\times$   O$(q)\times \mathbb{R}^{qp}$, die aus Tripeln $(O,\hat{O},P)$ besteht. Da $\mathbb{R}^{qp}$ zusammenhängend ist und die Drehspiegelungen jeweils zwei Zusammenhangskomponenten haben, hat O$(p,q)$ mit $p>0$ und $q>0$ genau vier Zusammenhangskomponenten.

Lorentztransformationen $\Lambda$ mit $\det O = \det \hat{O}=1$ erhalten die Orientierung der zeitartigen und der raumartigen Richtungen und bilden die eigentliche Lorentzgruppe SO $(p,q)^{\uparrow}$, die zusammenhängend ist. Die anderen Zusammenhangskomponenten von O$(p,q)$ erhält man durch Multiplikation mit der Zeitumkehr $\mathcal{T}$ und mit der Raumspiegelung $\mathcal{P}$, die eine ungerade Anzahl zeitlicher oder räumlicher Koordinaten spiegeln, sowie mit $\mathcal{TP}$.

$$\mathcal{T}= \begin{pmatrix}-1\\ &1\\ && \ddots \\ & & & 1 \end{p... ...in{pmatrix}1\\ & \ddots \\ & & 1\\ & & & \hspace{-\minuslaenge}-1 \end{pmatrix}$$ (12.35)

Die Lorentztransformation $L_P$ wirkt in $1+1$-dimensionalen Unterräumen $U_i$ des Minkowskiraumes $\mathbb{R}^{p,q}$, die zueinander senkrecht stehen, jeweils wie die Lorentztransformation (3.4). Der zu diesen Unterräumen senkrechte Unterraum bleibt punktweise invariant.

Dies sieht man durch Betrachtung der Eigenvektoren $w_i$ von $PP^T$. Sie stehen aufeinander senkrecht, wenn sie zu verschiedenen Eigenwerten gehören, und können zueinander senkrecht gewählt werden, wenn der Eigenwert entartet ist. Wir wählen sie zudem normiert $w_j^T w_i = \delta_{ij}$. Gleiches gilt für die Eigenvektoren von $P^T P$, die durch $P^Tw_{i}/\sqrt{\lambda_i}$ gegeben sind, wenn der zugehörige Eigenwert nicht verschwindet. Im weiteren bezeichne $w_i$ einschränkender Eigenvektoren mit nichtverschwindendem Eigenwert.

Die Eigenvektoren $u_j$ von $PP^T$ zum Eigenwert 0, $PP^T u_j=0$, werden schon von $P^T$ vernichtet, $P^T u_j = 0$, denn aus $PP^T u_j=0$ folgt $u_j^T P P^Tu_j = 0$. Dies ist die Summe der Quadrate der Komponenten von $P^Tu_j$ und verschwindet nur, falls $P^T u_j = 0$ ist. Entsprechend gilt $Pv_k=0$ für Eigenvektoren $v_k$ von $P^T P$ zum Eigenwert 0.

Da die Eigenvektoren von $PP^T$ ebenso wie die Eigenvektoren von $P^T P$ aufeinander senkrecht stehen, sind die $N$ Vektoren des Minkowskiraumes

$$t_{i}= \frac{1}{\sqrt{\lambda_i}} \begin{pmatrix}P^T w_i\\ 0 \end... ...rix}v_k\\ 0 \end{pmatrix}\ ,\quad m_j = \begin{pmatrix}0\\ u_j \end{pmatrix}\ ,$$ (12.36)

ein Vielbein, also eine orthonormierte Basis.

Die Vektoren $n_k$ und $m_j$ werden von $L_P$ invariant gelassen. Die Punkte $a t_i + b x_i$ der Unterräume $U_i$, die von $t_i$ und $x_i$ aufgespannt werden, transformieren ineinander

$$\begin{aligned}L_P t_i = \sqrt{1+\lambda_i}\, t_i + \sqrt{\lamb... ...\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\ b \end{pmatrix}\ . \end{aligned}$$

Dies sind zweidimensionale Lorentztransformationen wie in (3.4) mit Geschwindigkeit

$$v=\sqrt{\frac{\lambda_i}{1+\lambda_i}}\ .$$ (12.38)

Beim Vorzeichen der Geschwindigkeit $v$ ist zu beachten, daß (3.4) eine Koordinatentransformation beschreibt und nicht eine Transformation von Punkten.

In der vierdimensionalen Raumzeit $\mathbb{R}^{1,3}$ hat die drehungsfreie Lorentztransformation (D.34) die Form

$$L_p=\frac{1}{m} \begin{pmatrix}p^0 & p^j\\ p^i & m\delta^{ij}+ \frac{p^ip^j}{p^0+m} \end{pmatrix} \ ,\quad p^0=\sqrt{m^2+\vec{p}^{\,\,2}}\ .$$ (12.39)

Dabei haben wir die Komponenten der $3\times 1$-Matrix $P$ als $p^i/m$, $i=1,2,3$, bezeichnet, die räumlichen Spalten zählen wir durch $j$, $j=1,2,3$, ab. Die Koeffizienten bei $\delta^{ij}$ und $p^ip^j$ sind dadurch bestimmt, daß die $3\times 3$-Matrix, in der sie auftreten, auf Eigenvektoren der Matrix $PP^T$ wie $\sqrt{1+PP^T}$ wirkt. Da $P$ einfach ein Spaltenvektor ist, sind dazu senkrechte Vektoren Eigenvektoren von $PP^T$ zum Eigenwert 0, $P$ ist Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda=\vec{p}^{\,2}/m^2$.

Die drehungsfreie Lorentztransformation $L_p$ transformiert den Vierimpuls $\underline{p}$ eines ruhenden Teilchens der Masse $m$, $\underline{p}=(m,0,0,0)^T$, in den Viererimpuls $p=(p^0,p^1,p^2,p^3)^T$ eines Teilchens, das sich mit Geschwindigkeit $v^i = {p^i}/{p^0}$ (3.50) bewegt.

$$L_p\, \underline{p}= p$$ (12.40)