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Drehungsfreie Lorentztransformationen

Die Lorentzgruppe O$ (p,q)$ besteht aus den reellen, linearen Transformationen $ \Lambda$ der Punkte $ x$ des $ N$-dimensionalen Minkowskiraumes $ {\mathbb{R}}^{p,q}$, $ N=p+q$,

$\displaystyle x^{\prime}= \Lambda\, x\ ,$ (12.20)

die das Skalarprodukt $ x\cdot y$ invariant lassen. Es ist in Matrixschreibweise $ x\cdot y = x^T \eta\; y$. Dabei ist $ \eta$ eine symmetrische, invertierbare Matrix, die bei geeigneter Wahl der Basis diagonal ist, und die $ p$ positive und $ q$ negative Diagonalelemente hat (A.71). Lorentztransformationen gehören also zu den Matrizen $ \Lambda$, die für alle $ x$ und alle $ y$ die Gleichung $ (\Lambda x)^T\eta \,\Lambda y=x^T \eta \,y$ und demnach die folgende Matrixgleichung erfüllen (B.54)

$\displaystyle \Lambda^T \eta \Lambda = \eta\ .$ (12.21)

Nehmen wir hiervon die Determinante, so folgt

$\displaystyle (\det \Lambda)^2 = 1$ (12.22)

wegen $ \det (\Lambda^T \eta\,\Lambda) = (\det \Lambda^T)( \det \eta)( \det \Lambda)$ und wegen $ \det \Lambda^T = \det \Lambda$.

Die Determinante einer Lorentztransformation kann also nur die Werte $ +1$ oder $ -1$ haben. Die speziellen Transformationen $ \Lambda$, deren Determinante den Wert 1 hat, bilden die spezielle, orthogonale Gruppe SO$ (p,q)$, oder SO$ (N)$, falls $ p=0$ oder $ q=0$ ist.

Für $ p>0$ und $ q>0$ ist die Gruppe O$ (p,q)$ die Mannigfaltigkeit O $ (p)\times$   O$ (q)\times \mathbb{R}^{pq}$ und hat vier Zusammenhangskomponenten.

Um dies zu zeigen, zerlegen wir die $ (p+q)\times (p+q)$-Matrizen $ \eta$ und $ \Lambda$

$\displaystyle \eta= \begin{pmatrix}1\\ &-1 \end{pmatrix}\ ,\quad \Lambda = \begin{pmatrix}A & B \\ C & D \end{pmatrix}$ (12.23)

in einen $ p\times p\,$-Block $ 1$ und $ A$, einen $ q\times q\,$-Block $ -1$ und $ D$, einen $ q\times p\,$-Block $ C$ und einen $ p\times q\,$-Block $ B$ und schreiben (D.21) aus

$\displaystyle A^T A = 1 + C^T C\ ,\quad D^T D = 1 + B^T B\ ,\quad A^T B = C^T D\ .$ (12.24)

Da für jede reelle Matrix $ C$ die symmetrische Matrix $ C^T C$ durch eine Drehung diagonalisierbar ist, und da $ C^T C$ nicht negative Diagonalelemente $ \lambda_j=\sum_i C_{ij}C_{ij}$ hat, hat $ 1 + C^T C$ Eigenwerte, die nicht kleiner als $ 1$ sind. Also ist $ A$ invertierbar, $ (\det A)^2= \det(1+C^T C)\ge 1$, und ebenso $ D$, $ (\det D)^2 \ge 1$.

Jede reelle, invertierbare Matrix $ A$ kann eindeutig in ein Produkt einer orthogonalen Matrix $ O$, $ O^T=O^{-1}$, mit einer positiv definiten, symmetrischen Matrix $ S$, $ S=S^T$, zerlegt werden,

$\displaystyle A=O S\ .$ (12.25)

Denn $ A^T A$ definiert eine symmetrische Matrix $ S^2$ mit positiven Eigenwerten $ \lambda_i>0$, $ i=1,\dots p$, und dadurch auch die positive, symmetrische Matrix

$\displaystyle S =\sqrt{A^TA}\ ,\quad S = S^T\ ,$ (12.26)

mit denselben Eigenvektoren wie $ S^2$ und den positiven Eigenwerten $ \sqrt{\lambda_i}$. Die Matrix

$\displaystyle O=A S^{-1}\ ,\quad O^T = O^{-1}\ ,$ (12.27)

ist orthogonal, wie $ S^{T-1}A^T A S^{-1}= S^{-1}S^2 S^{-1}=1$ zeigt.

Da $ A$ und $ D$ invertierbar sind, kann $ \Lambda$ (D.23) eindeutig zerlegt werden

$\displaystyle \Lambda = \begin{pmatrix}O \\ & \hat{O} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}S & Q\\ P & \hat{S} \end{pmatrix}\ ,$ (12.28)

wobei wir abkürzend $ P=\hat{O}^{-1}C$ und $ Q=O^{-1}B$ schreiben. $ S$ und $ \hat{S}$ sind invertierbar und symmetrisch, $ O$ und $ \hat{O}$ sind orthogonale Matrizen. Gleichung (D.21) besagt

$\displaystyle S^2=1+P^T P\ ,\quad S Q = P^T \hat{S}\ ,\quad \hat{S}^2= 1 + Q^T Q\ .$ (12.29)

Setzen wir $ Q= S^{-1}P^T\hat{S}$ und $ S^{-2}=(1+P^T P)^{-1}$ in der letzten Gleichung ein, so folgt

$\displaystyle \hat{S}^2 = 1 + \hat{S}P S^{-1}S^{-1}P^T \hat{S}$   oder$\displaystyle \quad 1=\hat{S}^{-2}+ P (1+P^TP)^{-1}P^T\ .$ (12.30)

Was dies für $ \hat{S}^{-2}$ besagt, finden wir heraus, indem wir die Matrizen auf eine Basis, nämlich die Eigenvektoren $ w$ von $ PP^T$ anwenden, $ PP^T w = \lambda w$. Wenn $ P^T w $ nicht verschwindet, ist $ P^T w $ Eigenvektor von $ P^T P$, $ (P^TP)P^T w = \lambda P^Tw$, zu demselben Eigenwert. Dann gilt

$\displaystyle P (1+P^TP)^{-1}P^Tw=P \frac{1}{1+\lambda}P^Tw=\frac{\lambda}{1+\lambda}w\ .$ (12.31)

Dies gilt auch, wenn $ P^T w $ verschwindet, denn dann ist $ PP^T w = 0$, also $ \lambda = 0$. In (D.30) eingesetzt ergibt sich $ \frac{1}{1+\lambda}w=\hat{S}^{-2}w$ oder $ \hat{S}^2 w = (1+\lambda) w$. Also ist

$\displaystyle \hat{S}^2=1 + P P^T\ .$ (12.32)

Dies gilt auf Eigenvektoren von $ PP^T$ angewendet. Da sie eine Basis in $ \mathbb{R}^q$ bilden, gilt dies auch angewendet auf einen beliebigen Vektor, also als Matrixgleichung.

Aus gleichen Grund ist, angewendet auf Eigenvektoren von $ PP^T$ und demnach für alle Vektoren,

$\displaystyle Q=S^{-1} P^T \hat{S}=\sqrt{1+P^T P}^{\,-1}P^T\sqrt{1+PP^T} =P^T\ .$ (12.33)

Also ist jede Lorentzmatrix eindeutig durch ein Paar von Drehspiegelungen $ O\in$O$ (p)$, $ \hat{O}\in$O$ (q)$ und eine drehungsfreie Lorentztransformation $ L_P$, $ L_P=(L_P)^T$, gegeben, die durch eine Matrix $ P$ mit $ q$ Zeilen und $ p$ Spalten bestimmt ist

$\displaystyle \Lambda = \begin{pmatrix}O \\ & \hat{O} \end{pmatrix}L_P\ ,\quad L_P= \begin{pmatrix}\sqrt{1+P^TP} & P^T \\ P & \sqrt{1+P P^T} \end{pmatrix}\ .$ (12.34)

Da $ q \times p$ Matrizen $ P$ den Vektorraum $ \mathbb{R}^{qp}$ bilden, gehört zu jeder Lorentztransformation genau ein Punkt in der Mannigfaltigkeit O $ (p)\times$   O$ (q)\times \mathbb{R}^{qp}$, die aus Tripeln $ (O,\hat{O},P)$ besteht. Da $ \mathbb{R}^{qp}$ zusammenhängend ist und die Drehspiegelungen jeweils zwei Zusammenhangskomponenten haben, hat O$ (p,q)$ mit $ p>0$ und $ q>0$ genau vier Zusammenhangskomponenten.

Lorentztransformationen $ \Lambda$ mit $ \det O = \det \hat{O}=1$ erhalten die Orientierung der zeitartigen und der raumartigen Richtungen und bilden die eigentliche Lorentzgruppe SO $ (p,q)^{\uparrow}$, die zusammenhängend ist. Die anderen Zusammenhangskomponenten von O$ (p,q)$ erhält man durch Multiplikation mit der Zeitumkehr $ \mathcal{T}$ und mit der Raumspiegelung $ \mathcal{P}$, die eine ungerade Anzahl zeitlicher oder räumlicher Koordinaten spiegeln, sowie mit $ \mathcal{TP}$.

$\displaystyle \mathcal{T}= \begin{pmatrix}-1\\ &1\\ && \ddots \\ & & & 1 \end{p...
...in{pmatrix}1\\ & \ddots \\ & & 1\\ & & & \hspace{-\minuslaenge}-1 \end{pmatrix}$ (12.35)

Die Lorentztransformation $ L_P$ wirkt in $ 1+1$-dimensionalen Unterräumen $ U_i$ des Minkowskiraumes $ \mathbb{R}^{p,q}$, die zueinander senkrecht stehen, jeweils wie die Lorentztransformation (3.4). Der zu diesen Unterräumen senkrechte Unterraum bleibt punktweise invariant.

Dies sieht man durch Betrachtung der Eigenvektoren $ w_i$ von $ PP^T$. Sie stehen aufeinander senkrecht, wenn sie zu verschiedenen Eigenwerten gehören, und können zueinander senkrecht gewählt werden, wenn der Eigenwert entartet ist. Wir wählen sie zudem normiert $ w_j^T w_i = \delta_{ij}$. Gleiches gilt für die Eigenvektoren von $ P^T P$, die durch $ P^Tw_{i}/\sqrt{\lambda_i}$ gegeben sind, wenn der zugehörige Eigenwert nicht verschwindet. Im weiteren bezeichne $ w_i$ einschränkender Eigenvektoren mit nichtverschwindendem Eigenwert.

Die Eigenvektoren $ u_j$ von $ PP^T$ zum Eigenwert 0, $ PP^T u_j=0$, werden schon von $ P^T$ vernichtet, $ P^T u_j = 0$, denn aus $ PP^T u_j=0$ folgt $ u_j^T P P^Tu_j = 0$. Dies ist die Summe der Quadrate der Komponenten von $ P^Tu_j$ und verschwindet nur, falls $ P^T u_j = 0$ ist. Entsprechend gilt $ Pv_k=0$ für Eigenvektoren $ v_k$ von $ P^T P$ zum Eigenwert 0.

Da die Eigenvektoren von $ PP^T$ ebenso wie die Eigenvektoren von $ P^T P$ aufeinander senkrecht stehen, sind die $ N$ Vektoren des Minkowskiraumes

$\displaystyle t_{i}= \frac{1}{\sqrt{\lambda_i}} \begin{pmatrix}P^T w_i\\ 0 \end...
...rix}v_k\\ 0 \end{pmatrix}\ ,\quad m_j = \begin{pmatrix}0\\ u_j \end{pmatrix}\ ,$ (12.36)

ein Vielbein, also eine orthonormierte Basis.

Die Vektoren $ n_k$ und $ m_j$ werden von $ L_P$ invariant gelassen. Die Punkte $ a t_i + b x_i $ der Unterräume $ U_i$, die von $ t_i$ und $ x_i$ aufgespannt werden, transformieren ineinander

\begin{equation*}\begin{aligned}L_P t_i = \sqrt{1+\lambda_i}\, t_i + \sqrt{\lamb...
...\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\ b \end{pmatrix}\ . \end{aligned}\end{equation*}

Dies sind zweidimensionale Lorentztransformationen wie in (3.4) mit Geschwindigkeit

$\displaystyle v=\sqrt{\frac{\lambda_i}{1+\lambda_i}}\ .$ (12.38)

Beim Vorzeichen der Geschwindigkeit $ v$ ist zu beachten, daß (3.4) eine Koordinatentransformation beschreibt und nicht eine Transformation von Punkten.

In der vierdimensionalen Raumzeit $ \mathbb{R}^{1,3}$ hat die drehungsfreie Lorentztransformation (D.34) die Form

$\displaystyle L_p=\frac{1}{m} \begin{pmatrix}p^0 & p^j\\ p^i & m\delta^{ij}+ \frac{p^ip^j}{p^0+m} \end{pmatrix} \ ,\quad p^0=\sqrt{m^2+\vec{p}^{\,\,2}}\ .$ (12.39)

Dabei haben wir die Komponenten der $ 3\times 1$-Matrix $ P$ als $ p^i/m$, $ i=1,2,3$, bezeichnet, die räumlichen Spalten zählen wir durch $ j$, $ j=1,2,3$, ab. Die Koeffizienten bei $ \delta^{ij}$ und $ p^ip^j$ sind dadurch bestimmt, daß die $ 3\times 3$-Matrix, in der sie auftreten, auf Eigenvektoren der Matrix $ PP^T$ wie $ \sqrt{1+PP^T}$ wirkt. Da $ P$ einfach ein Spaltenvektor ist, sind dazu senkrechte Vektoren Eigenvektoren von $ PP^T$ zum Eigenwert 0, $ P$ ist Eigenvektor zum Eigenwert $ \lambda=\vec{p}^{\,2}/m^2$.

Die drehungsfreie Lorentztransformation $ L_p$ transformiert den Vierimpuls $ \underline{p}$ eines ruhenden Teilchens der Masse $ m$, $ \underline{p}=(m,0,0,0)^T$, in den Viererimpuls $ p=(p^0,p^1,p^2,p^3)^T$ eines Teilchens, das sich mit Geschwindigkeit $ v^i = {p^i}/{p^0}$ (3.50) bewegt.

$\displaystyle L_p\, \underline{p}= p$ (12.40)




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