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Die Drehgruppe $ \mathrm{SU}(2)/{\mathbb{Z}}_2$

Die Gruppe SO$ (3)$ der Drehungen in drei Dimensionen ist isomorph zur Faktorgruppe SU $ (2)/{\mathbb{Z}}_2$. Dieser mathematische Sachverhalt wird in diesem Abschnitt erläutert.

Jede Untergruppe $ H$ einer Gruppe $ G$ definiert durch (B.20)

$\displaystyle g\stackrel{H}{\sim} g^\prime \Leftrightarrow g^{-1}g^\prime\in H \ .$ (12.41)

eine Äquivalenzrelation zwischen Gruppenelementen von $ G$. Für die Menge der Äquivalenzklassen steht das Symbol $ G/H$. Gilt zudem $ g h g^{-1}\in H$ für alle $ g\in G$ und alle $ h\in H$, so heißt die Untergruppe $ H$ normal. Dann bilden die $ H$-Äquivalenzklassen eine Gruppe, die Faktorgruppe $ G/H$. Denn das Produkt $ g_2g_1$ ist äquivalent dem Produkt äquivalenter Elemente $ g_2 h_2 g_1 h_1 = g_2 g_1 (g_1^{-1}h_2 g_1)h_1= g_2 g_1 h^\prime$.

Beispielsweise ist $ {\mathbb{Z}}_2$, die zyklische Gruppe mit 2 Elementen, die Untergruppe von SU$ (2)$, die aus $ {{\mathbf 1}}$ und $ -{{\mathbf 1}}$ besteht, eine normale Untergruppe. Matrizen $ U\in$SU$ (2)$ sind $ {\mathbb{Z}}_2$-äquivalent, wenn sie sich höchstens im Vorzeichen unterscheiden. Die Gruppe SU $ (2)/{\mathbb{Z}}_2$ besteht aus SU$ (2)$-Transformationen ,,bis auf das Vorzeichen``.

Daß SU $ (2)/{\mathbb{Z}}_2$ isomorph zu SO$ (3)$ ist, besagt: es gibt eine bijektive, also invertierbare und ausschöpfende, Abbildung von SU $ (2)/{\mathbb{Z}}_2$, die jedem Paar $ \pm U$ unitärer 2$ \times$2-Matrizen mit $ \det U = 1$ eine 3$ \times$3-Drehmatrix $ D_U=D_{-U}$ zuordnet und mit der Gruppenverknüpfung verträglich ist, $ D_{U_1U_2}=D_{U_1}D_{U_2}$. Die Darstellung ist ausschöpfend, jede Drehung $ D\in$SO$ (3)$ läßt sich als Darstellung $ D_U$ einer unitären 2$ \times$2-Matrix $ U$ schreiben. Dabei ist das Urbild von $ D_U$ in SU $ (2)/{\mathbb{Z}}_2$ eindeutig. Wenn $ D_U=D_V$ gilt, dann ist $ U=V$ oder $ U=-V$.

Die Gruppe SU$ (2)$ ist die dreidimensionale Kugeloberfläche $ S^3$. Denn die Spalten jeder unitären 2$ \times$2-Matrix $ U$ bilden wegen $ U^\dagger U = {{\mathbf 1}}$ eine Orthonormalbasis. Hat also $ U$ die Form

$\displaystyle U= \begin{pmatrix}a & c\\ b & d \end{pmatrix}\ ,$ (12.42)

so gilt $ \vert a\vert^2+ \vert b\vert^2=1$. Die zweite Spalte steht genau dann senkrecht auf der ersten, $ a^* c + b^* d = 0$, wenn $ (c,d)$ ein Vielfaches von $ (-b^*,a^*)$ ist, und dieses Vielfache wird dadurch festgelegt, daß die Determinante von $ U$ Eins ist. Daher hat $ U$ die Form

$\displaystyle U= \begin{pmatrix}a & -b^*\\ b & \phantom{-}a^* \end{pmatrix}\ ,\quad (\Re a)^2 + (\Im a)^2 + (\Re b)^2+ (\Im b)^2=1\ .$ (12.43)

Zu jedem $ U$ gehört eine Punkt auf $ S^3=\{(v,w,x,y)\in \mathbb{R}^4:v^2+w^2+ x^2+y^2=1\}$ und zu jedem Punkt auf $ S^3$ gehört ein $ U\in$ SU$ (2)$ mit $ a=v +\mathrm{i}w$ und $ b=x+\mathrm{i}y\,$.

Da sich jeder Punkt auf $ S^3$ mit einem Winkel $ 0\le \alpha \le 2\pi$ und einem dreidimensionalen Einheitsvektor $ (n_x, n_y, n_z)$ als $ (v,w,x,y)=\cos \alpha/2\,(1,0,0,0)- \sin\alpha/2 \,(0,n_z,n_x,n_y) $ schreiben läßt, kann jede SU$ (2)$-Matrix als folgende Linearkombination der $ {\mathbf 1}$-Matrix $ \sigma^0$ und der drei Pauli-Matrizen $ \sigma^i$, $ i=1,2,3$, geschrieben werden:

$\displaystyle \sigma^0 = \begin{pmatrix}1&\\ &1 \end{pmatrix}\ ,\quad \sigma^1 ...
...m{i}& \end{pmatrix}\ ,\quad \sigma^3 = \begin{pmatrix}1&\\ &-1 \end{pmatrix}\ ,$ (12.44)

$\displaystyle U = (\cos \frac{\alpha}{2})\, {\mathbf 1}-\mathrm{i}\, (\sin\frac...
...os \frac{\alpha}{2} + \mathrm{i}\,(\sin\frac{\alpha}{2})\, n_z \end{pmatrix}\ .$ (12.45)

Für die neun Produkte der drei Pauli-Matrizen gilt, wie man elementar nachrechnet,

$\displaystyle \sigma^i \sigma^j = \delta^{ij}{{\mathbf 1}}+ \mathrm{i}\, \varepsilon^{ijk}\sigma^k\ ,\quad i,j,k\in\{1,2,3\}\ .$ (12.46)

Multipliziert und summiert mit $ m^i$ und $ n^j$ lautet dies

$\displaystyle (\vec{m}\vec{\sigma})( \vec{n}\vec{\sigma}) = (\vec{m}\cdot\vec{n}){{\mathbf 1}}+ \mathrm{i}(\vec{m}\times \vec{n})\vec{\sigma}\ .$ (12.47)

Insbesondere ist für einen Einheitsvektor $ \vec{n}$ das Quadrat $ (\vec{n}\vec{\sigma})^2 = {{\mathbf 1}}$ und mit $ (\vec{n}\vec{\sigma})^{2k} = {{\mathbf 1}}$ und $ (\vec{n}\vec{\sigma})^{2k+1} = \vec{n}\vec{\sigma}$ vereinfachen sich Potenzreihen der Matrix $ \vec{n}\vec{\sigma}$

\begin{displaymath}\begin{split}\exp(-\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}\, \vec{n}\vec{\...
...i}\, (\sin\frac{\alpha}{2})\,\vec{n}\vec{\sigma}\ . \end{split}\end{displaymath} (12.48)

Es wird also jedes $ U\in$ SU$ (2)$ von einer infinitesimalen Transformation $ -\mathrm{i}\, \frac{\alpha}{2}\, \vec{n}\vec{\sigma} $ erzeugt,

$\displaystyle U=\exp(-\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}\, \vec{n}\vec{\sigma})=\cos \f...
...}{2}\,{\mathbf 1}-\mathrm{i}\sin\frac{\alpha}{2}\, \vec{n}\cdot \vec{\sigma}\ .$ (12.49)

Die zu $ U\in$SU$ (2)$ gehörige Drehung $ D_U\in$   SO$ (3)$ ist die lineare Abbildung

$\displaystyle D_U: K \mapsto K^\prime = U K U^\dagger$ (12.50)

von hermiteschen, spurfreien $ 2\times 2$-Matrizen $ K$ auf hermitesche, spurfreie Matrizen $ K^\prime$. Eine 2$ \times$2-Matrix $ K$ ist hermitesch

$\displaystyle \begin{pmatrix}k^{11}&k^{12}\\ k^{21}& k^{22} \end{pmatrix}= \beg...
...er = \begin{pmatrix}k^{11\,*}&k^{21\,*}\\ k^{12\,*}& k^{22\,*} \end{pmatrix}\ ,$ (12.51)

wenn die Matrixelemente $ k^{11}$ und $ k^{22}$ reell sind und $ k^{12}$ das komplex konjugierte von $ k^{21}$ ist. Sie ist spurfrei, wenn $ k^{11}=-k^{22}$ gilt. Solche Matrizen bilden einen dreidimensionalen reellen Vektorraum und können als reelle Linearkombinationen der Pauli-Matrizen (D.44) geschrieben werden

$\displaystyle K=\vec{k}\vec{\sigma}=k^i\sigma^i = \begin{pmatrix}k^3&k^1-\mathrm{i}k^2\\ k^1+\mathrm{i}k^2& - k^3 \end{pmatrix}\ .$ (12.52)

Die lineare Transformation $ \vec{k}\vec{\sigma}\mapsto U(\vec{k}\vec{\sigma})U^\dagger =\vec{k}^\prime\vec{\sigma}$ ist eine Drehung $ \vec{k}\mapsto \vec{k}^\prime=D_U\vec{k}$. Um dies nachzurechnen, schreiben wir (D.49) mit $ c=\cos \frac{\alpha}{2}$ und $ s=\sin \frac{\alpha}{2}$ kurz als $ U=c - \mathrm{i}s \vec{n}\vec{\sigma}$ und zerlegen $ \vec{k}=k_\parallel\vec{n}+\vec{k}_\perp$ in einen zu $ \vec{n}$ parallelen und einen senkrechten Teil, $ K=K_\parallel+K_\perp$, wobei $ K_\parallel=k_\parallel\vec{n} \vec{\sigma}$ und $ K_\perp = \vec{k}_\perp \vec{\sigma}$ ist.

Der Anteil $ K_\parallel$ vertauscht mit jeder Potenzreihe von $ \vec{n}\vec{\sigma}$, also mit $ U$, und ist daher invariant

$\displaystyle U K_\parallel U^\dagger= K_\parallel U U^\dagger = K_\parallel\ .$ (12.53)

Bei der Berechnung der Transformation von $ \vec{k}_\perp\vec{\sigma}$ berücksichtigen wir, daß $ \vec{k}_\perp\vec{\sigma}$ mit $ \vec{n}\vec{\sigma}$ antivertauscht (D.47)

$\displaystyle (\vec{k}_\perp\vec{\sigma})(\vec{n}\vec{\sigma}) = - (\vec{n}\vec{\sigma})(\vec{k}_\perp\vec{\sigma})\ ,$ (12.54)

weil $ \vec{k}_\perp$ und $ \vec{n}$ senkrecht aufeinander stehen. Mit $ (\vec{n}\vec{\sigma})^2 = {{\mathbf 1}}$ und (D.47) erhalten wir

\begin{displaymath}\begin{split}U (\vec{k}_\perp\vec{\sigma}) U^\dagger &= (c - ...
...a\, \vec{n}\times \vec{k}_\perp )\, \vec{\sigma}\ . \end{split}\end{displaymath} (12.55)

Es bewirkt also $ U=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}\vec{n} \vec{\sigma}}$ durch $ \vec{k}\vec{\sigma}\mapsto U\vec{k}\vec{\sigma}U^{\dagger}=(D_U \vec{k})\vec{\sigma}$ die Drehung $ D_U$ von Vektoren $ \vec{k}$ um die Achse $ \vec{n}$ und den Winkel $ \alpha$

$\displaystyle D_U:\ \vec{k}\mapsto \vec{k}^\prime=\vec{k}_\parallel+ \cos\alpha\, \vec{k}_\perp+ \sin\alpha\,\vec{n}\times\vec{k}_\perp\ .$ (12.56)

Umgekehrt gehört zu jeder Drehmatrix $ D$ mit Drehachse $ \vec{n}$ und Drehwinkel $ \alpha$ das Paar unitärer Matrizen $ U=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}\vec{n} \vec{\sigma}}$ und $ -U=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\alpha+2\pi}{2}\vec{n} \vec{\sigma}}$.

Die Matrix $ U$ wird durch wiederholtes Anwenden der infinitesimalen Transformation $ \alpha\, n^j (-\frac{\mathrm{i}}{2} \sigma^j)$ erzeugt. Wie man mit (D.46) bestätigt, stellen die Basismatrizen $ -\frac{\mathrm{i}}{2}\sigma^j$ die Liealgebra (D.19) infinitesimaler Drehungen dar

$\displaystyle [(-\frac{\mathrm{i}}{2}\sigma^i),(-\frac{\mathrm{i}}{2}\sigma^j)]=\varepsilon^{ijk}(-\frac{\mathrm{i}}{2}\sigma^k)\ .$ (12.57)




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