Die Gruppe $\mathrm{SL}(2,{\mathbb{C}})$

Jede invertierbare, komplexe Matrix $M$ kann eindeutig in ein Produkt einer unitären Matrix $U$, $U^\dagger=U^{-1}$, und einer hermiteschen Matrix $\mathrm{e}^H$, $H=H^\dagger$, mit positiven Eigenwerten zerlegt werden

$$M = U \mathrm{e}^H\ .$$ (12.58)

Denn die Gleichung

$$\mathrm{e}^{2H} = M^\dagger M$$ (12.59)

ist für hermitesches $H=H^\dagger$ lösbar und legt $H$ eindeutig fest: $M^\dagger M$ ist hermitesch, also diagonalisierbar, und hat positive Eigenwerte $\lambda=\mathrm{e}^{2h}$. Demnach existiert diejenige hermitesche Matrix $H=\frac{1}{2}\ln{M^\dagger M}$, die dieselben Eigenvektoren wie $M^\dagger M$ hat und die reellen Eigenwerte $h$. Die Matrix

$$U = M \mathrm{e}^{-H}$$ (12.60)

ist unitär, wie $( M \mathrm{e}^{-H})^\dagger ( M\mathrm{e}^{-H}) = \mathrm{e}^{-H} M^\dagger M \mathrm{e}^{-H} = \mathrm{e}^{-H}\mathrm{e}^{2H}\mathrm{e}^{-H}= {{\mathbf 1}}$ zeigt.

Weil jede invertierbare, komplexe Matrix $M$ eindeutig zu einem Paar $(U,H)$ einer unitären und einer hermiteschen Matrix gehört, und weil die hermiteschen $N\times N$-Matrizen einen reellen, $N^2$-dimensionalen Vektorraum bilden, ist die Gruppe GL $(N,\mathbb{C})$ der generellen linearen Transformationen in $N$ komplexen Dimensionen die Mannigfaltigkeit U $(N)\times\mathbb{R}^{N^2}$.

Wenn die Matrix $M$ aus der Untergruppe SL $(N,\mathbb{C})$ der speziellen linearen Transformationen mit $\det M = 1$ ist, dann verschwindet die Spur von $H$, $\tr H = 0$, denn es ist $\det(\mathrm{e}^{2H})=\det(M^\dagger M)=1$, und $\det (\mathrm{e}^{2H})$ ist das Produkt der Eigenwerte $\mathrm{e}^{2h}$. Zudem ist $\det U = \det(M \mathrm{e}^{-H})=1.$ Die Gruppe SL $(N,\mathbb{C})$ ist also die Mannigfaltigkeit SU $(N)\times \mathbb{R}^{(N^2-1)}$.

Insbesondere ist SU$(2)$ die Mannigfaltigkeit $S^3$ (D.43), und SL $(2,\mathbb{C})$ ist die Mannigfaltigkeit $S^3\times \mathbb{R}^3$.

Die eindeutige Zerlegung von Lorentztransformationen in orthogonale Transformationen und drehungsfreie Lorentztransformationen (D.34) zeigt, daß die zeit- und raumorientierungstreuen Lorentztransformationen SO $(1,3)^\uparrow$ die Mannigfaltigkeit SO $(3)\times \mathbb{R}^3$ bilden. Die Drehgruppe SO$(3)$ ist $S^3/\mathbb{Z}_2$. Es ist also SL $(2,\mathbb{C})$ die Überlagerungsmannigfaltigkeit von SO $(1,3)^\uparrow$.

Auch als Gruppe ist SL $(2,{\mathbb{C}})$ die Überlagerung von SO $(1,3)^{\uparrow}$. Das heißt: es gibt eine vierdimensionale, reelle Darstellung von SL $(2,{\mathbb{C}})$, die jeder komplexen 2$\times$2-Matrix $M$ mit $\det M = 1$ eine Lorentztransformation $\Lambda_M$ mit $\Lambda^0{}_0 \ge 1$ und $\det \Lambda=1$ zuordnet und mit der Gruppenverknüpfung verträglich ist, $\Lambda_{M_1M_2}=\Lambda_{M_1}\Lambda_{M_2}$. Die Darstellung ist ausschöpfend, jede Lorentztransformation $\Lambda$ mit $\Lambda^0{}_0 \ge 1$ und $\det \Lambda=1$ läßt sich als Darstellung $\Lambda_M$ einer komplexen Matrix $M$ mit $\det M = 1$ schreiben. Dabei ist das Urbild von $\Lambda$ eindeutig bis auf das Vorzeichen. Es gilt $\Lambda_M=\Lambda_N$ genau dann, wenn $M=N$ oder $M=-N$ ist.

Die zu $M$ und $-M$ gehörige Transformation $\Lambda_M$ ist die lineare Abbildung

$$\Lambda_M: \ \hat{k} \mapsto \hat{k^\prime}=M\hat{k}M^\dagger$$ (12.61)

hermitescher $2\times 2$-Matrizen $\hat{k}=\hat{k}^\dagger$ auf hermitesche Matrizen $\hat{k^\prime}$. Sie sind reelle Linearkombinationen

$$\hat{k}=k^m\eta_{mn}\sigma^n = \begin{pmatrix}\phantom{-}\!k^0 - k^3&-k^1+\mathrm{i}k^2\\ -k^1-\mathrm{i}k^2&\phantom{-}\!k^0 + k^3 \end{pmatrix}$$ (12.62)

der Matrix $\sigma^0={\mathbf 1}$ und der drei Pauli-Matrizen (D.44), bilden also einen vierdimensionalen, reellen Vektorraum. Auch $\hat{k^\prime}=\hat{k^\prime}^\dagger$ ist hermitesch, $\hat{k^\prime}=k^{\prime\,m}\eta_{mn}\sigma^n$ mit reellen $k^{\prime\, m}$, und

$$k^{\prime\,m}=\Lambda^m{}_n k^n$$ (12.63)

ist linear in $k$ mit reellen Matrixelementen $\Lambda^m{}_n$.

Die Matrizen $\Lambda$ sind eine Darstellung der Gruppe SL $(2,{\mathbb{C}})$, da $\Lambda_{M_1M_2}=\Lambda_{M_1}\Lambda_{M_2}$ für hintereinander ausgeführte Transformationen gilt

$$\begin{aligned}\hat{k^{\prime\prime}}&=M_1M_2 \hat{k} M_2^\dagg... ..._2}){}^r{}_n k^n= (\Lambda_{M_1M_2}){}^m{}_n k^n\ . \end{aligned}$$

Die Transformation $\Lambda_M$ ist eine Lorentztransformation, denn die Determinante von $\hat{k}$ ist das Längenquadrat des Vierervektors $k$,

$$\det \hat{k} =(k^0)^2-(k^1)^2-(k^2)^2-(k^3)^2\ ,$$ (12.65)

und sie stimmt, weil $\det M = 1$ und $\det(AB)=(\det A)(\det B)$ ist, mit der Determinante von $\hat{k^\prime}=M\hat{k}M^\dagger$ überein. Also ist $k^{\prime\,2}=k^2$ und $k^\prime=\Lambda k$ eine Lorentztransformation.

Daß sich jedes $U\in$   SU$(2)$ als $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}\vec{n}\vec{\sigma}}$ schreiben läßt (D.49) und ebenso wie $-U$ eine Drehung von $\vec{k}$ um die Achse $\vec{n}$ um den Winkel $\alpha$ bewirkt, haben wir schon gezeigt (D.56). Wir berechnen die zu $\mathrm{e}^H$, $M=U\mathrm{e}^H$, gehörige Lorentztransformation.

Die spurfreie, hermitesche Matrix $H$ können wir als Linearkombination $H=-\frac{\beta}{2}\vec{n}\vec{\sigma}$ der drei Pauli-Matrizen (D.44) schreiben, wobei wir $\vec{n}$ normiert wählen, $(\vec{n})^2=1$. Die Exponentialreihe $\mathrm{e}^H$ vereinfacht sich wegen $(\vec{n}\vec{\sigma})^2={\mathbf 1}$ wie in (D.48)

$$\mathrm{e}^H = \exp (-\frac{\beta}{2}\vec{n}\vec{\sigma})= (\cosh\frac{\beta}{2})- (\sinh\frac{\beta}{2})\, \vec{n}\vec{\sigma}\ ,$$ (12.66)

wobei wir die ${\mathbf 1}$-Matrix nicht explizit schreiben.

Die Matrix $\hat{k}$, die auf $\hat{k^\prime}=\mathrm{e}^H\hat{k}\,(\mathrm{e}^H)^\dagger=\mathrm{e}^H\hat{k}\,\mathrm{e}^H$ abgebildet wird, schreiben wir als $\hat{k}=\hat{k}_\parallel + \hat{k}_\perp$, wobei $\hat{k}_\parallel=k^0 -k_\parallel\vec{n}\vec{\sigma}$ und $\hat{k}_\perp=-\vec{k}_\perp\vec{\sigma}$ ist und $\vec{k}=k_\parallel\vec{n}+\vec{k}_\perp$ den Vektor in seinen zu $\vec{n}$ parallelen und senkrechten Anteil zerlegt.

Zur Berechnung der Transformation von $\hat{k}_\perp$ brauchen wir nur, daß $\hat{k}_\perp$ mit $H\propto \vec{n}\vec{\sigma}$ antivertauscht (D.54), $\hat{k}_\perp H = - H \hat{k}_\perp$, weil $\vec{k}_\perp$ und $\vec{n}$ senkrecht aufeinander stehen,

$$\mathrm{e}^H\hat{k}_\perp \mathrm{e}^H = \mathrm{e}^H\mathrm{e}^{-H }\hat{k}_\perp=\hat{k}_\perp\ .$$ (12.67)

Der zu $\vec{n}$ senkrechte Anteil $\vec{k}_\perp$ bleibt unverändert.

Die Matrix $\hat{k}_\parallel$ vertauscht mit $\mathrm{e}^H$. Wegen $(\vec{n}\vec{\sigma})^2 = {{\mathbf 1}}$ gilt

$$\begin{aligned}\mathrm{e}^H \hat{k}_\parallel\, \mathrm{e}^H &=... ...me\, 0} - k_\parallel^\prime \vec{n}\vec{\sigma}\ . \end{aligned}$$

Hieraus lesen wir ab

$$\begin{pmatrix}k^{\prime\,0}\\ k^{\prime}_\parallel \end{pmatrix}... ... & \cosh\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}k^{0}\\ k_\parallel \end{pmatrix}\ .$$ (12.69)

Dies ist die drehungsfreie Lorentztransformation in $\vec{n}$-Richtung mit Geschwindigkeit $v=$tanh$\beta$. Bis auf das Vorzeichen der Geschwindigkeit stimmt diese Transformation mit (3.4) überein.

Schreiben wir $\mathrm{e}^H$ als Darstellung der Lorentztransformation $L_p$ (D.39), die ein ruhendes Teilchen mit Masse $m$ auf ein Teilchen mit Viererimpuls $p$, $p^0=\sqrt{m^2+\vec{p}^{\,2}}$, abbildet, so ist $\vec{n}=\vec{p}/\vert\vec{p}\vert$ und tanh$\beta=v=\vert\vec{p}\vert/p^0$. Um $\mathrm{e}^H$ durch $p$ statt durch $\beta$ und $\vec{n}$ zu parametrisieren, brauchen wir die Hyperbelfunktionen von $\beta/2$. Wegen

$$\cosh \beta = \frac{1}{\sqrt{1-\tanh^2 \beta}}=\frac{p^0}{m}$$ (12.70)

und der Additionstheoreme sind sie

$$\cosh \frac{\beta}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}(\cosh \beta + 1)}=\sqrt{\... ... \frac{\beta}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}(\cosh \beta - 1)}=\sqrt{\frac{p^0-m}{2m}}\ .$$ (12.71)

Die zur drehungsfreien Lorentztransformation $L_p$ (D.39) gehörige Matrix $\mathrm{e}^H$ (D.66) ist

$$D(L_p)=\frac{1}{\sqrt{2m(p^0+m)}}(m+p^0 - \vec{p}\vec{\sigma}) =\frac{m+\hat{p}}{\sqrt{2m(p^0+m)}}\ .$$ (12.72)

Mit ihr konstruiert man die Spinoren des Diracfeldes. Die definierenden Relationen $\det D(L_p)=1$, $D(L_p)=D(L_p)^\dagger$ und $D(L_p)m D(L_p)^\dagger = \hat{p}$, entsprechend $L_p \,\underline{p}= p$ (D.40), können probehalber einfach nachgerechnet werden.

Da sich jede zeitrichtungstreue und volumentreue Lorentztransformation eindeutig in eine Drehung $D$ und eine drehungsfreie Lorentztransformation $L_P$ zerlegen läßt (D.34) und ebenso jede Matrix $M$ mit $\det M = 1$ in ein Produkt $U\mathrm{e}^H$ (D.58) einer unitären Matrix $U$, $\det U = 1$, mit einer hermiteschen Matrix $\mathrm{e}^H$, $\det \mathrm{e}^H=1$, und da zu jeder Drehung in drei Dimensionen genau ein Paar $\pm U$ unitärer Matrizen aus SU$(2)$ gehört (D.56) und zu jeder drehungsfreien Lorentztransformation $L_p$ aus SO $(1,3)^\uparrow$ genau eine Matrix $D(L_p)$ (D.72), die durch $\hat{k}\mapsto \hat{k^\prime}=M \hat{k} M^\dagger$ die entsprechende Lorentztransformation bewirkt, ist, wie behauptet, SL $(2,\mathbb{C})$ die Überlagerung von SO $(1,3)^\uparrow$.

Die Basismatrizen $-\frac{\mathrm{i}}{2}\sigma^i$ und $-\frac{1}{2}\sigma^j$, die zu infinitesimalen Drehungen und drehungsfreien Lorentztransformationen gehören, fassen wir mit der Schreibweise

$$\sigma^{ab}= \frac{1}{4}(\sigma^a\overline\sigma^b - \sigma^b\overline\sigma^a)\ ,\quad \sigma^{ab}= - \sigma^{ba}\ ,\quad a,b \in\{0,1,2,3\}\ ,$$ (12.73)

zusammen. Dabei sind die Matrizen $\overline{\sigma}^{\,a}=(\sigma^0, -\sigma^1,-\sigma^2,-\sigma^3)$. Die untere Indexstellung ist vereinbarungsgemäß $\sigma_{ab}=\eta_{ac}\eta_{bd} \sigma^{cd}$. Explizit gilt

$$\sigma_{0i}= - \sigma^{0i} = \frac{1}{2}\sigma^i\ ,\quad \sigma_{... ...j}= -\frac{\mathrm{i}}{2}\varepsilon^{ijk}\sigma^k\ ,\quad i,j,k\in\{1,2,3\}\ .$$ (12.74)

Diese Matrizen stellen, wie man mit (D.46) nachprüft, die reelle Lorentzalgebra (B.17) dar

$$[\sigma_{ab},\sigma_{cd}] = -\eta_{ac}\sigma_{bd}+\eta_{bc}\sigma_{ad}+\eta_{ad}\sigma_{bc}-\eta_{bd}\sigma_{ac}\ .$$ (12.75)

Anders als bei Drehungen oder drehungsfreien Lorentztransformationen können nicht alle Matrizen $M\in$SL$(2,{\mathbb{C}})$ als Exponentialreihe infinitesimaler Transformationen

$$N=\exp ((\vec{k}+\mathrm{i}\vec{l}\,)\vec{\sigma}) =\cosh z + \fr... ...\mathrm{i}\vec{l}\,)\vec{\sigma}\ ,\quad (\vec{k}+\mathrm{i}\vec{l}\,)^2=z^2\ ,$$ (12.76)

geschrieben werden. Die Ausnahmen sind von der Form

$$M=\begin{pmatrix}-1& \;b\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\ ,\quad b\ne 0\ .$$ (12.77)

Denn damit $M=N$ gelten kann, muß $\frac{\sinh z}{z}$ von Null verschieden sein, sonst wäre $N$ diagonal. Damit die Hauptdiagonalelemente übereinstimmen, muß $k^3=l^3= 0$ sein. $N_{12}= 0$ besagt $k^1+\mathrm{i}l^1 + \mathrm{i}(k^2+\mathrm{i}l^2) = 0$. Als Folge ist $z=0$ und $N_{11}=\cosh z = 1 \ne M_{11}$.