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Die Gruppe % latex2html id marker 89293
$ \mathrm{SL}(2,{\mathbb{C}})$

Jede invertierbare, komplexe Matrix $ M$ kann eindeutig in ein Produkt einer unitären Matrix $ U$, $ U^\dagger=U^{-1}$, und einer hermiteschen Matrix $ \mathrm{e}^H$, $ H=H^\dagger$, mit positiven Eigenwerten zerlegt werden

$\displaystyle M = U \mathrm{e}^H\ .$ (12.58)

Denn die Gleichung

$\displaystyle \mathrm{e}^{2H} = M^\dagger M$ (12.59)

ist für hermitesches $ H=H^\dagger$ lösbar und legt $ H$ eindeutig fest: $ M^\dagger M$ ist hermitesch, also diagonalisierbar, und hat positive Eigenwerte $ \lambda=\mathrm{e}^{2h}$. Demnach existiert diejenige hermitesche Matrix $ H=\frac{1}{2}\ln{M^\dagger M}$, die dieselben Eigenvektoren wie $ M^\dagger M$ hat und die reellen Eigenwerte $ h$. Die Matrix

$\displaystyle U = M \mathrm{e}^{-H}$ (12.60)

ist unitär, wie $ ( M \mathrm{e}^{-H})^\dagger ( M\mathrm{e}^{-H}) = \mathrm{e}^{-H} M^\dagger M \mathrm{e}^{-H} = \mathrm{e}^{-H}\mathrm{e}^{2H}\mathrm{e}^{-H}= {{\mathbf 1}}$ zeigt.

Weil jede invertierbare, komplexe Matrix $ M$ eindeutig zu einem Paar $ (U,H)$ einer unitären und einer hermiteschen Matrix gehört, und weil die hermiteschen $ N\times N$-Matrizen einen reellen, $ N^2$-dimensionalen Vektorraum bilden, ist die Gruppe GL $ (N,\mathbb{C})$ der generellen linearen Transformationen in $ N$ komplexen Dimensionen die Mannigfaltigkeit U $ (N)\times\mathbb{R}^{N^2}$.

Wenn die Matrix $ M$ aus der Untergruppe SL $ (N,\mathbb{C})$ der speziellen linearen Transformationen mit $ \det M = 1$ ist, dann verschwindet die Spur von $ H$, $ \tr H = 0$, denn es ist $ \det(\mathrm{e}^{2H})=\det(M^\dagger M)=1$, und $ \det (\mathrm{e}^{2H})$ ist das Produkt der Eigenwerte $ \mathrm{e}^{2h}$. Zudem ist $ \det U = \det(M \mathrm{e}^{-H})=1.$ Die Gruppe SL $ (N,\mathbb{C})$ ist also die Mannigfaltigkeit SU $ (N)\times \mathbb{R}^{(N^2-1)}$.

Insbesondere ist SU$ (2)$ die Mannigfaltigkeit $ S^3$ (D.43), und SL $ (2,\mathbb{C})$ ist die Mannigfaltigkeit $ S^3\times \mathbb{R}^3$.

Die eindeutige Zerlegung von Lorentztransformationen in orthogonale Transformationen und drehungsfreie Lorentztransformationen (D.34) zeigt, daß die zeit- und raumorientierungstreuen Lorentztransformationen SO $ (1,3)^\uparrow$ die Mannigfaltigkeit SO $ (3)\times \mathbb{R}^3$ bilden. Die Drehgruppe SO$ (3)$ ist $ S^3/\mathbb{Z}_2$. Es ist also SL $ (2,\mathbb{C})$ die Überlagerungsmannigfaltigkeit von SO $ (1,3)^\uparrow$.

Auch als Gruppe ist SL $ (2,{\mathbb{C}})$ die Überlagerung von SO $ (1,3)^{\uparrow}$. Das heißt: es gibt eine vierdimensionale, reelle Darstellung von SL $ (2,{\mathbb{C}})$, die jeder komplexen 2$ \times$2-Matrix $ M$ mit $ \det M = 1$ eine Lorentztransformation $ \Lambda_M$ mit $ \Lambda^0{}_0 \ge 1$ und $ \det \Lambda=1$ zuordnet und mit der Gruppenverknüpfung verträglich ist, $ \Lambda_{M_1M_2}=\Lambda_{M_1}\Lambda_{M_2}$. Die Darstellung ist ausschöpfend, jede Lorentztransformation $ \Lambda$ mit $ \Lambda^0{}_0 \ge 1$ und $ \det \Lambda=1$ läßt sich als Darstellung $ \Lambda_M$ einer komplexen Matrix $ M$ mit $ \det M = 1$ schreiben. Dabei ist das Urbild von $ \Lambda$ eindeutig bis auf das Vorzeichen. Es gilt $ \Lambda_M=\Lambda_N$ genau dann, wenn $ M=N$ oder $ M=-N$ ist.

Die zu $ M$ und $ -M$ gehörige Transformation $ \Lambda_M$ ist die lineare Abbildung

$\displaystyle \Lambda_M: \ \hat{k} \mapsto \hat{k^\prime}=M\hat{k}M^\dagger$ (12.61)

hermitescher $ 2\times 2$-Matrizen $ \hat{k}=\hat{k}^\dagger$ auf hermitesche Matrizen $ \hat{k^\prime}$. Sie sind reelle Linearkombinationen

$\displaystyle \hat{k}=k^m\eta_{mn}\sigma^n = \begin{pmatrix}\phantom{-}\!k^0 - k^3&-k^1+\mathrm{i}k^2\\ -k^1-\mathrm{i}k^2&\phantom{-}\!k^0 + k^3 \end{pmatrix}$ (12.62)

der Matrix $ \sigma^0={\mathbf 1}$ und der drei Pauli-Matrizen (D.44), bilden also einen vierdimensionalen, reellen Vektorraum. Auch $ \hat{k^\prime}=\hat{k^\prime}^\dagger$ ist hermitesch, $ \hat{k^\prime}=k^{\prime\,m}\eta_{mn}\sigma^n$ mit reellen $ k^{\prime\, m}$, und

$\displaystyle k^{\prime\,m}=\Lambda^m{}_n k^n$ (12.63)

ist linear in $ k$ mit reellen Matrixelementen $ \Lambda^m{}_n$.

Die Matrizen $ \Lambda$ sind eine Darstellung der Gruppe SL $ (2,{\mathbb{C}})$, da $ \Lambda_{M_1M_2}=\Lambda_{M_1}\Lambda_{M_2}$ für hintereinander ausgeführte Transformationen gilt

\begin{equation*}\begin{aligned}\hat{k^{\prime\prime}}&=M_1M_2 \hat{k} M_2^\dagg...
..._2}){}^r{}_n k^n= (\Lambda_{M_1M_2}){}^m{}_n k^n\ . \end{aligned}\end{equation*}

Die Transformation $ \Lambda_M$ ist eine Lorentztransformation, denn die Determinante von $ \hat{k}$ ist das Längenquadrat des Vierervektors $ k$,

$\displaystyle \det \hat{k} =(k^0)^2-(k^1)^2-(k^2)^2-(k^3)^2\ ,$ (12.65)

und sie stimmt, weil $ \det M = 1$ und $ \det(AB)=(\det A)(\det B)$ ist, mit der Determinante von $ \hat{k^\prime}=M\hat{k}M^\dagger$ überein. Also ist $ k^{\prime\,2}=k^2$ und $ k^\prime=\Lambda k$ eine Lorentztransformation.

Daß sich jedes $ U\in$   SU$ (2)$ als $ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\alpha}{2}\vec{n}\vec{\sigma}}$ schreiben läßt (D.49) und ebenso wie $ -U$ eine Drehung von $ \vec{k}$ um die Achse $ \vec{n}$ um den Winkel $ \alpha$ bewirkt, haben wir schon gezeigt (D.56). Wir berechnen die zu $ \mathrm{e}^H$, $ M=U\mathrm{e}^H$, gehörige Lorentztransformation.

Die spurfreie, hermitesche Matrix $ H$ können wir als Linearkombination $ H=-\frac{\beta}{2}\vec{n}\vec{\sigma}$ der drei Pauli-Matrizen (D.44) schreiben, wobei wir $ \vec{n}$ normiert wählen, $ (\vec{n})^2=1$. Die Exponentialreihe $ \mathrm{e}^H$ vereinfacht sich wegen $ (\vec{n}\vec{\sigma})^2={\mathbf 1}$ wie in (D.48)

$\displaystyle \mathrm{e}^H = \exp (-\frac{\beta}{2}\vec{n}\vec{\sigma})= (\cosh\frac{\beta}{2})- (\sinh\frac{\beta}{2})\, \vec{n}\vec{\sigma}\ ,$ (12.66)

wobei wir die $ {\mathbf 1}$-Matrix nicht explizit schreiben.

Die Matrix $ \hat{k}$, die auf $ \hat{k^\prime}=\mathrm{e}^H\hat{k}\,(\mathrm{e}^H)^\dagger=\mathrm{e}^H\hat{k}\,\mathrm{e}^H$ abgebildet wird, schreiben wir als $ \hat{k}=\hat{k}_\parallel + \hat{k}_\perp$, wobei $ \hat{k}_\parallel=k^0 -k_\parallel\vec{n}\vec{\sigma}$ und $ \hat{k}_\perp=-\vec{k}_\perp\vec{\sigma}$ ist und $ \vec{k}=k_\parallel\vec{n}+\vec{k}_\perp$ den Vektor in seinen zu $ \vec{n}$ parallelen und senkrechten Anteil zerlegt.

Zur Berechnung der Transformation von $ \hat{k}_\perp$ brauchen wir nur, daß $ \hat{k}_\perp$ mit $ H\propto \vec{n}\vec{\sigma}$ antivertauscht (D.54), $ \hat{k}_\perp H = - H \hat{k}_\perp$, weil $ \vec{k}_\perp$ und $ \vec{n}$ senkrecht aufeinander stehen,

$\displaystyle \mathrm{e}^H\hat{k}_\perp \mathrm{e}^H = \mathrm{e}^H\mathrm{e}^{-H }\hat{k}_\perp=\hat{k}_\perp\ .$ (12.67)

Der zu $ \vec{n}$ senkrechte Anteil $ \vec{k}_\perp$ bleibt unverändert.

Die Matrix $ \hat{k}_\parallel$ vertauscht mit $ \mathrm{e}^H$. Wegen $ (\vec{n}\vec{\sigma})^2 = {{\mathbf 1}}$ gilt

\begin{equation*}\begin{aligned}\mathrm{e}^H \hat{k}_\parallel\, \mathrm{e}^H &=...
...me\, 0} - k_\parallel^\prime \vec{n}\vec{\sigma}\ . \end{aligned}\end{equation*}

Hieraus lesen wir ab

$\displaystyle \begin{pmatrix}k^{\prime\,0}\\ k^{\prime}_\parallel \end{pmatrix}...
... & \cosh\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}k^{0}\\ k_\parallel \end{pmatrix}\ .$ (12.69)

Dies ist die drehungsfreie Lorentztransformation in $ \vec{n}$-Richtung mit Geschwindigkeit $ v=$tanh$ \beta$. Bis auf das Vorzeichen der Geschwindigkeit stimmt diese Transformation mit (3.4) überein.

Schreiben wir $ \mathrm{e}^H$ als Darstellung der Lorentztransformation $ L_p$ (D.39), die ein ruhendes Teilchen mit Masse $ m$ auf ein Teilchen mit Viererimpuls $ p$, $ p^0=\sqrt{m^2+\vec{p}^{\,2}}$, abbildet, so ist $ \vec{n}=\vec{p}/\vert\vec{p}\vert$ und tanh$ \beta=v=\vert\vec{p}\vert/p^0$. Um $ \mathrm{e}^H$ durch $ p$ statt durch $ \beta$ und $ \vec{n}$ zu parametrisieren, brauchen wir die Hyperbelfunktionen von $ \beta/2$. Wegen

$\displaystyle \cosh \beta = \frac{1}{\sqrt{1-\tanh^2 \beta}}=\frac{p^0}{m}$ (12.70)

und der Additionstheoreme sind sie

$\displaystyle \cosh \frac{\beta}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}(\cosh \beta + 1)}=\sqrt{\...
... \frac{\beta}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}(\cosh \beta - 1)}=\sqrt{\frac{p^0-m}{2m}}\ .$ (12.71)

Die zur drehungsfreien Lorentztransformation $ L_p$ (D.39) gehörige Matrix $ \mathrm{e}^H$ (D.66) ist

$\displaystyle D(L_p)=\frac{1}{\sqrt{2m(p^0+m)}}(m+p^0 - \vec{p}\vec{\sigma}) =\frac{m+\hat{p}}{\sqrt{2m(p^0+m)}}\ .$ (12.72)

Mit ihr konstruiert man die Spinoren des Diracfeldes. Die definierenden Relationen $ \det D(L_p)=1$, $ D(L_p)=D(L_p)^\dagger$ und $ D(L_p)m D(L_p)^\dagger = \hat{p}$, entsprechend $ L_p \,\underline{p}= p$ (D.40), können probehalber einfach nachgerechnet werden.

Da sich jede zeitrichtungstreue und volumentreue Lorentztransformation eindeutig in eine Drehung $ D$ und eine drehungsfreie Lorentztransformation $ L_P$ zerlegen läßt (D.34) und ebenso jede Matrix $ M$ mit $ \det M = 1$ in ein Produkt $ U\mathrm{e}^H$ (D.58) einer unitären Matrix $ U$, $ \det U = 1$, mit einer hermiteschen Matrix $ \mathrm{e}^H$, $ \det \mathrm{e}^H=1$, und da zu jeder Drehung in drei Dimensionen genau ein Paar $ \pm U$ unitärer Matrizen aus SU$ (2)$ gehört (D.56) und zu jeder drehungsfreien Lorentztransformation $ L_p$ aus SO $ (1,3)^\uparrow$ genau eine Matrix $ D(L_p)$ (D.72), die durch $ \hat{k}\mapsto \hat{k^\prime}=M \hat{k} M^\dagger$ die entsprechende Lorentztransformation bewirkt, ist, wie behauptet, SL $ (2,\mathbb{C})$ die Überlagerung von SO $ (1,3)^\uparrow$.

Die Basismatrizen $ -\frac{\mathrm{i}}{2}\sigma^i$ und $ -\frac{1}{2}\sigma^j$, die zu infinitesimalen Drehungen und drehungsfreien Lorentztransformationen gehören, fassen wir mit der Schreibweise

$\displaystyle \sigma^{ab}= \frac{1}{4}(\sigma^a\overline\sigma^b - \sigma^b\overline\sigma^a)\ ,\quad \sigma^{ab}= - \sigma^{ba}\ ,\quad a,b \in\{0,1,2,3\}\ ,$ (12.73)

zusammen. Dabei sind die Matrizen $ \overline{\sigma}^{\,a}=(\sigma^0, -\sigma^1,-\sigma^2,-\sigma^3)$. Die untere Indexstellung ist vereinbarungsgemäß $ \sigma_{ab}=\eta_{ac}\eta_{bd} \sigma^{cd}$. Explizit gilt

$\displaystyle \sigma_{0i}= - \sigma^{0i} = \frac{1}{2}\sigma^i\ ,\quad \sigma_{...
...j}= -\frac{\mathrm{i}}{2}\varepsilon^{ijk}\sigma^k\ ,\quad i,j,k\in\{1,2,3\}\ .$ (12.74)

Diese Matrizen stellen, wie man mit (D.46) nachprüft, die reelle Lorentzalgebra (B.17) dar

$\displaystyle [\sigma_{ab},\sigma_{cd}] = -\eta_{ac}\sigma_{bd}+\eta_{bc}\sigma_{ad}+\eta_{ad}\sigma_{bc}-\eta_{bd}\sigma_{ac}\ .$ (12.75)

Anders als bei Drehungen oder drehungsfreien Lorentztransformationen können nicht alle Matrizen $ M\in$SL$ (2,{\mathbb{C}})$ als Exponentialreihe infinitesimaler Transformationen

$\displaystyle N=\exp ((\vec{k}+\mathrm{i}\vec{l}\,)\vec{\sigma}) =\cosh z + \fr...
...\mathrm{i}\vec{l}\,)\vec{\sigma}\ ,\quad (\vec{k}+\mathrm{i}\vec{l}\,)^2=z^2\ ,$ (12.76)

geschrieben werden. Die Ausnahmen sind von der Form

$\displaystyle M=\begin{pmatrix}-1& \;b\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\ ,\quad b\ne 0\ .$ (12.77)

Denn damit $ M=N$ gelten kann, muß $ \frac{\sinh z}{z}$ von Null verschieden sein, sonst wäre $ N$ diagonal. Damit die Hauptdiagonalelemente übereinstimmen, muß $ k^3=l^3= 0$ sein. $ N_{12}= 0$ besagt $ k^1+\mathrm{i}l^1 + \mathrm{i}(k^2+\mathrm{i}l^2) = 0$. Als Folge ist $ z=0$ und $ N_{11}=\cosh z = 1 \ne M_{11}$.




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