Möbiustransformationen von Lichtstrahlen

Für jeden Wellenvektor $k^m$ eines Lichtstrahls verschwindet die Determinante der Matrix $\hat{k}=k^m\eta_{mn}\sigma^n$, denn sie ist das Längenquadrat des Vierervektors $k$ (D.65) und $k$ ist lichtartig, $k^2 = 0$. Weil die Matrix $\hat{k}$ nur Rang $1$ hat, lassen sich ihre Matrixelemente als Produkte $k_{\alpha\dot{\beta}}=\chi_\alpha \chi^*_{\dot{\beta}}$ der Komponenten eines zweidimensionalen, komplexen Vektors $\chi$ schreiben

$$\begin{pmatrix}k^0 - k^3&-k^1+\mathrm{i}k^2\\ -k^1-\mathrm{i}k^2&... ...rix}\sqrt{k^0-k^3}\\ -\frac{k^1+\mathrm{i}k^2}{\sqrt{k^0-k^3}} \end{pmatrix}\ .$$ (12.78)

Dabei ist $\chi$ durch ein gegebenes $\hat{k}$, $\hat{k}=\hat{k}^\dagger\ne 0$, $\det \hat{k} = 0$, bis auf eine Phase bestimmt.

Lorentztransformationen ändern $k_{\alpha\dot{\beta}}=\chi_\alpha \chi^*_{\dot{\beta}}$ in $k^{\prime}_{\alpha\dot{\beta}}=M_\alpha{}^\gamma M^{*}_{\dot{\beta}}{}^{\dot{\delta}} k_{\gamma\dot{\delta}}$ (D.61) und transformieren demnach $\chi$ in $\chi^{\prime}_{\alpha} = M_\alpha{}^\beta \chi_\beta$

$$\begin{pmatrix}\chi^{\prime}_1\\ \chi^{\prime}_2 \end{pmatrix} = ... ...atrix}a&b\\ c&d \end{pmatrix} \ ,\quad a,b,c,d\in\mathbb{C}\ ,\quad ad-bc=1 \ .$$ (12.79)

Einen zweidimensionalen, komplexen Vektor, der wie $\chi$ linear unter $M\in$SL$(2,\mathbb{C})$ transformiert, nennen wir Spinor.

Das Verhältnis $z=\chi_1/\chi_2$ der Komponenten des zum Lichtstrahl gehörigen Spinors hängt umkehrbar eindeutig mit der Richtung $\vec{e}$ zusammen, aus der man den Lichtstrahl einfallen sieht. Denn der Wellenvektor eines Lichtstrahls hat die Form $(k^0,\vec{k})=k^0(1,-\vec{e})$. Drücken wir die Richtung wie in (2.26) durch die Winkel $\theta$ und $\varphi$ aus, $\vec{e}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$, so ergibt sich mit der trigonometrischen Identität (3.20)

$$z=\frac{\chi_1}{\chi_2}=-\frac{k^0-k^3}{k^1+\mathrm{i}k^2} =\frac... ...}^{\mathrm{i}\varphi}}=\cot\frac{\theta}{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}\ .$$ (12.80)

Da die Richtung $z$ eines Lichtstrahls das Verhältnis von Spinorkomponenten ist, ändern es Lorentztransformationen $\Lambda$ durch die zum Matrixpaar $\pm M(\Lambda)\in$SL$(2,{\mathbb{C}})/{\mathbb{Z}}_2$ gehörige Möbiustransformation

$$T_M:z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}\ .$$ (12.81)

Aberration und Drehung sind Möbiustransformationen von $z=\cot \frac{\theta}{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}$.

Zu gegebener Möbiustransformation mit Koeffizienten $a,b,c,d \in {\mathbb{C}}$ gehört jeweils ein Paar von linearen Transformationen mit Matrizen $\pm M$. Die Möbiusgruppe ist zur Gruppe $\mathrm{SL}(2,{\mathbb{C}})/{\mathbb{Z}}_2$ und demnach zur eigentlichen Lorentzgruppe SO $(1,3)^\uparrow$ isomorph.

Auf wunderschön geometrische Art werden Möbiustransformationen in [67] untersucht. Sind $z_1, z_2, z_3$ drei verschieden Punkte der Riemannschen Zahlenkugel $\mathbb{C}\cup \infty$ und sind $w_1, w_2, w_3$ ebenfalls verschieden, dann gibt es genau eine Möbiustransformation

$$z\mapsto Tz:\quad \frac{(Tz-w_1)(w_2-w_3)}{(Tz - w_2)(w_1-w_3)}= \frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z - z_2)(z_1-z_3)}\ ,$$ (12.82)

die $z_1$ in $w_1=Tz_1$, $z_2$ in $w_2=Tz_2$ und $z_3$ in $w_3=Tz_3$ überführt.

Demnach gibt es an einem Ort genau einen Beobachter, der drei vorgegebene Sterne in drei vorgegebenen Richtungen sieht. Die Örter der anderen Sterne liegen dann fest.

Der Spinorkalkül ist in [68] der Zugang zur relativistischen Physik.